2019年中考数学一轮复习第二讲空间与图形第四章4.2测试4(1)

4.2 三角形

[过关演练] (30分钟 75分)

1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C= (C) A.45° B.60° C.75° D.90°

【解析】∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∴设∠A=3x,则∠B=4x,∠C=5x,∴3x+4x+5x=180°,即12x=180°,解得x=15°,∴∠C=5x=75°. 2.下列长度的三条线段能组成三角形的是 (A) A.5,6,10 B.5,6,11 C.2,4,8 D.4a,4a,8a(a>0) 【解析】A项,∵10-5<6<10+5,∴三条线段能组成三角形,故正确;B项,∵5+6=11,∴三条线段不能组成三角形;C项,∵2+4=6<8,∴三条线段不能组成三角形;D项,∵4a+4a=8a,∴三条线段不能组成三角形.

3.一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3,则这个三角形一定是 (B) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形

【解析】设三角形三个内角分别为x,2x,3x,则x+2x+3x=180°,解得x=30°,则3x=90°,所以该三角形是直角三角形.

4.如图,下列条件中,不能证明△ABC≌△DCB的是 (D)

A.AB=DC,AC=DB

B.AB=DC,∠ABC=∠DCB C.BO=CO,∠A=∠D D.AB=DC,∠A=∠D 【解析】对于A项,由题中隐含BC=CB,利用SSS可判定其全等;对于B项,由题中隐含BC=CB,利用SAS可判定其全等;对于C项,由题中隐含BC=CB,利用AAS可判定其全等;对于D项,根据已知条件不能证明其全等.

5.(2018·长春)如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A=54°,∠B=48°,则∠CDE的大小为(C) A.44° B.40° C.39° D.38° 【解析】∵∠A=54°,∠B=48°,∴∠ACB=180°-54°-48°=78°,∵CD平分∠ACB交AB于点

D,∴∠DCB=×78°=39°,∵DE∥BC,∴∠CDE=∠DCB=39°.

6.(2018·南京)如图,AB⊥CD,且AB=CD.E,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为 (D)

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A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c 【解析】∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,∴∠A=∠C,∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE=a,BF=DE=b,∵EF=c,∴AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c. 7.已知a,b,c是△ABC的三条边长,化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为 (D) A.2a+2b-2c B.2a+2b C.2c D.0

【解析】根据三角形三边满足的条件:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,即可确定a+b-c>0,c-a-b<0,所以|a+b-c|-|c-a-b|=a+b-c+c-a-b=0.

8.如图,有一张三角形纸片ABC,已知∠B=∠C=x°,按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开,可能得不到全等三角形纸片的是 (C)

【解析】由全等三角形的判定定理SAS证得选项A中两个小三角形全等,故A不符合题意;由全等三角形的判定定理SAS证得选项B中两个小三角形全等,故B不符合题意;选项D中能判定两个小三角形全等,故D不符合题意.

9.小明把一副含45°,30°的直角三角板如图摆放,其中∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠D=30°,则∠α+∠β等于 210° .

【解析】∵∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠D=30°,∴∠B=45°,∠E=60°,∴∠2+∠3=120°,∴∠α+∠β=∠A+∠1+∠4+∠B=∠A+∠B+∠2+∠3=90°+120°=210°.

10.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,连接AC.若AC=6,则四边形ABCD的面积为 18 .

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【解析】过点A作AE⊥AC交CD的延长线于点E,∴∠CAE=∠BAD=90°,即∠CAD+∠DAE=∠CAD+∠BAC,∴∠DAE=∠BAC,又∵∠ADE+∠ADC=180°,∠ADC+∠B=360°-∠BAD-∠BCD=180°,∴∠ADE=∠B,又∵AB=AD,∴△AED≌△ACB,∴AE=AC=6,且四边形ABCD的面积等于△ACE的面积,

即四边形ABCD的面积=AC×AE=×6×6=18.

11.在△ABC中,AB=5,AC=3,AD是△ABC的中线,设AD长为m,则m的取值范围是 1

【解析】延长AD至点E,使DE=AD,连接EC,∵BD=CD,DE=AD,∠ADB=∠EDC,∴△ABD≌△ECD,∴CE=AB=5,∵AC=3,AE=2AD=2m,∴2<2m<8,∴1

12.(8分)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AD,∠B=∠D,∠1=∠2. 求证:BC=DE.

解:∵∠1=∠2,

∴∠DAC+∠1=∠2+∠DAC, ∴∠BAC=∠DAE,

在△ABC和△ADE中,

∴△ADE≌△ABC(ASA), ∴BC=DE.

13.(10分)(2018·阜阳模拟)如图,AD与BC相交于点F,FA=FC,∠A=∠C,点E在BD的垂直平分线上.

(1)如图1,求证:∠FBE=∠FDE;

(2)如图2,连接CE分别交BD,AD于点H,G,当∠FBD=∠DBE=∠ABF,CD=DE时,直接写出所有与△ABF全等的三角形.

解:(1)在△BAF和△DCF中,

∴△BAF≌△DCF(ASA),∴BF=DF,∴∠FBD=∠FDB,

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又∵点E在BD的垂直平分线上,∴EB=ED,

∴∠EBD=∠EDB,∵∠FBE=∠FBD+∠EBD,∠FDE=∠FDB+∠EDB,∴∠FBE=∠FDE. (2)△HBE,△CDF,△DCH,△GED. 14.(10分)操作示例

如图1,在△ABC中,AD为BC边上的中线,则S△ABD=S△ADC. 实践探究

(1)在图2中,E,F分别为矩形ABCD的边AD,BC的中点,则S阴和S矩形ABCD之间满足的关系式为 ;

(2)在图3中,E,F分别为平行四边形ABCD的边AD,BC的中点,则S阴和S?ABCD之间满足的关系式为 ;

(3)在图4中,E,F分别为任意四边形ABCD的边AD,BC的中点,则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为 . 解决问题

(4)在图5中,E,G,F,H分别为任意四边形ABCD的边AD,AB,BC,CD的中点,并且图中阴影部分的面积为20平方米,求图中四个小三角形的面积和,即S1+S2+S3+S4= 平方米. 解:(1)连接BD,∵E,F分别为AD,BC的中点,

∴S△BDE=S△ABD,S△BDF=S△BCD, ∵S阴=S△BDE+S△BDF, S矩形ABCD=S△ABD+S△BCD,

∴S阴=S矩形ABCD.

(2)连接BD,∵E,F分别为AD,BC的中点,

∴S△BED=S△ABD,S△DBF=S△DBC, ∵S阴=S△BED+S△DBF, S?ABCD=S△ABD+S△DBC,

∴S阴=S?ABCD.

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(3)S阴=S四边形ABCD.

(4)设空白处面积分别为x,y,m,n(如图),

由“实践探究”得S四边形BEDF=S四边形ABCD,S四边形AHCG=S四边形ABCD,

∴S△BCG+S△ADH=S四边形ABCD,S△ABE+S△CDF=S四边形ABCD,

∴S1+x+S2+S3+y+S4=S四边形ABCD,

S1+m+S4+S2+n+S3=S四边形ABCD,

∴(S1+x+S2+S3+y+S4)+(S1+m+S4+S2+n+S3)=S四边形ABCD,

∴(S1+x+S2+S3+y+S4)+(S1+m+S4+S2+n+S3)=S1+x+S2+n+S3+y+S4+m+S阴, ∴S1+S2+S3+S4=S阴=20平方米.

[名师预测]

1.已知三角形的三边长分别为4,x,15,若x为正整数,则这样的三角形共有 A.7个 B.6个 C.4个 D.3个

【解析】∵15-4=11,15+4=19,∴11

(A)

2.如图,在△ABC中,∠B+∠C=100°,AD是△ABC的角平分线,则∠BAD的度数是 (B) A.20° B.40° C.60° D.80°

【解析】∵∠B+∠C=100°,根据三角形的内角和定理∠BAC=180°-100°=80°,又∵AD是

△ABC的角平分线,∴∠BAD=∠BAC=40°.

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3.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AB∥CD,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件,使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能为(C) A.BE=DF B.BF=DE C.AE=CF D.∠1=∠2

【解析】由AB∥CD,可得∠ABE=∠CDF,而AB=CD,添加选项A的BE=DF,满足SAS;由选项B中BF=DE可得到BE=DF,满足SAS;添加选项D中的∠1=∠2,满足ASA,都能判断△ABE≌△CDF.添加选项C中的AE=CF,不能判断△ABE≌△CDF.

4.下列各图中a,b,c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是 (B)

A.甲和乙 B.乙和丙 C.甲和丙 D.只有丙

【解析】在△ABC和图乙的三角形中,满足SAS,所以乙和△ABC全等;在△ABC和图丙的三角形中,满足AAS,所以丙和△ABC全等;不能判定甲与△ABC全等.

5.如图,两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起,AB⊥CE,有以下结论:①∠ACH=30°;②△ACH≌△DCG;③F为AB的中点;④CG=EF;⑤AH∶BF∶DE=1∶2∶4.其中错误的结论有 (D) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【解析】∵AB⊥CE,∠A=60°,∴∠ACH=30°,故①正确;∵∠ACB=∠ECD,∴∠ACH=∠DCG,∵∠A=∠D,AC=CD,∴△ACH≌△DCG,故②正确;点F不一定是AB的中点,故③错误;CG不一定等于EF,故④错误;只有F为AB的中点时,AH∶BF∶DE=1∶2∶4成立,故⑤错误.

6.如图,已知在△ABC和△BAD中,∠CAB=∠DBA,要使△ABC≌△BAD,需添加的条件是 本题答案不唯一,如CA=DB或∠C=∠D或∠CBA=∠DAB .(写出一个条件即可) 【解析】在△ABC和△BAD中,∠CAB=∠DBA,AB=BA,根据全等三角形的判定定理SAS,ASA,AAS添加条件即可.

7.如图,点A,C,D在同一直线上,在△ABC中,∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶5∶10,若△EDC≌△ABC,则∠BCE∶∠BCD= 1∶4 .

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【解析】∵∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶5∶10,∴∠ACB=180°×=100°,∵△EDC≌△ABC,

∴∠ECD=∠ACB=100°,∴∠ECA=180°-∠ECD=180°-100°=80°,∠BCE=∠ACB-∠ECA=100°-80°=20°,∴∠BCD=80°,∴∠BCE∶∠BCD=20°∶80°=1∶4. 8.在如图所示的2×2方格中,连接AB,AC,则∠1+∠2的度数为 90° .

【解析】利用网格证明两个三角形全等,得到∠1+∠2=180°-90°=90°.

9.如图,CB,CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线,且AC=AB,给出下列结论:①AE=2AC;②CE=2CD;③∠ACD=∠BCE;④CB平分∠DCE.请写出正确结论的序号 ①②④ .(将你认为正确结论的序号都填上) 【解析】根据三角形的中线的概念得AE=2AB=2AC,故①正确;作CE的中点F,连接BF,根据三角形的中位线定理得AC=2BF,又AC=AB=2BD,所以BF=BD.根据三角形的中位线定理得到BF∥AC,则∠CBF=∠ACB=∠ABC.根据SAS得到△BCD≌△BCF,所以CF=CD,即CE=2CD,故②正确;由△BCD≌△BCF得∠BCD=∠BCE,若∠ACD=∠BCE,则需∠ACD=∠BCD,而CD只是△ABC的中线,所以③错误,④正确.

10.如图1,AD平分∠BAC,AE⊥BC,∠B=40°,∠C=70°. (1)求∠DAE的度数;

(2)如图2,若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上,FE⊥BC”,其他条件不变,求∠DFE的度数;

(3)如图3,若把“AE⊥BC”变成“AE平分∠BEC”,其他条件不变,∠DAE的大小是否变化,并请说明理由.

解:(1)∵∠B=40°,∠C=70°,∴∠BAC=70°,

∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=35°,∴∠ADE=∠B+∠BAD=75°, ∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°,∴∠DAE=90°-∠ADE=15°. (2)同(1)可得∠ADE=75°,

∵FE⊥BC,∴∠FEB=90°,∴∠DFE=90°-∠ADE=15°. (3)∠DAE的大小不变.

理由:∵AE平分∠BEC,∴∠AEB=∠AEC, ∴∠C+∠CAE=∠B+∠BAE,

∵∠CAE=∠CAD-∠DAE,∠BAE=∠BAD+∠DAE,

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∴∠C+∠CAD-∠DAE=∠B+∠BAD+∠DAE, ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,

∴2∠DAE=∠C-∠B=30°,∴∠DAE=15°

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