1.2 向量范数与矩阵范数

matlab

§1.4 向量和矩阵范数 向量范数 ( vector norms ) 定义1 定义 ：

(3) || x + y || ≤|| x || +|| y ||常用向量范数： 常用向量范数：v || x || 1 =

v v v v (1) || x || ≥ 0 ; || x || = 0 x = 0 v v (2) ||v x || =| λ |v|| x || v 对任意 λ∈C λ v

Rn空间的向量范数 空间的向量范数

v v n || · || ,对任意 x, y ∈ R 满足下列条件 对任意

Σi=1

n

| xi |

v || x || =2

Σ

n

| x |i

2

i=1

v || x || ∞ = max | x i |1≤ i ≤ n

matlab

主要性质 主要性质性质1:‖-x‖=‖x‖ 性质1:‖ 1: 性质2: ‖x‖-‖y‖|≤‖x性质2:|‖x‖-‖y‖|≤‖x-y‖ 性质3: 向量范数‖x‖是 上向量x的连续函数. 性质3: 向量范数‖x‖是Rn上向量x的连续函数. 范数等价:设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在 上任意两种范数， 范数等价: ‖ ‖ 常数 C1、C2 > 0 使得 ,则称 ‖ 等价。 ‖·‖A 和‖·‖B 等价。 ‖ 定理1.4.1 定理 一切范数都等价 范数都等价。 Rn 上一切范数都等价。

matlab

定义2:设{xk}是Rn上的向量序列， 定义2:设 上的向量序列， 2: k=1,2, . 令 xk=(xk1,xk2,…,xkn)T, k=1,2,…., , 又设x =(x 上的向量. 又设x*=(x1*,x2*,…,xn*)T是Rn上的向量. , 对所有的i=1,2, i=1,2,…, 成立， 如果lim 如果lim xki=xi对所有的i=1,2, ,n成立， 那么,称向量x*是向量序列{xk}的极限 ， 那么,称向量x 是向量序列{ 若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的 收敛的. 若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的. 定理1.4.2 定理1.4.2 对任意一种向量范数‖ ‖而言， 对任意一种向量范数‖·‖而言，向量 序列{ 收敛于向量x 序列{xk}收敛于向量x*的充分必要条件是

li m || x k xk → ∞

*

||= 0

matlab

矩阵范数 ( matrix norms )× 空间的矩阵 定义3:对任意 定义3:对任意 A, B ∈ Rm×n ,称|| · || 为Rm×n空间的矩阵 3:

范数, 满足(1) 范数 指|| · ||满足(1)-(3): 满足(1)-(3):

(1) || A||≥0; || A||=0 A=0 (2) || λA|| =| λ| || A|| 对任意 α ∈C (3) ||A+B||≤||A||+||B||若还满足(4),称为相容的矩阵范数 若还满足(4),称为相容的矩阵范数 (4), (4) || AB || ≤ || A || · || B ||

matlab

例5:

设A=(aij)∈M. 定义

1 | | A ||= 2 n

i, j =1

∑

n

| a ij |

证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数. 证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.

1 1 1 1 证明：设 A = , B = 1 1 1 1

2 2 AB = 2 2 从而

|| A ||= 1,|| B ||= 1,|| AB ||= 2

|| AB ||>|| A || || B ||

matlab

相容性(1)矩阵范数与矩阵范数的相 矩阵范数与矩阵范数的相 矩阵 容:‖AB‖≤‖A‖‖B‖ 矩阵范数与向量 向量范数 (2)矩阵范数与向量范数 A∈M,‖A‖是矩阵范数 是矩阵范数, ‖x‖是 设A∈M,‖A‖是矩阵

范数,x∈Rn,‖x‖是 向量范数.如果满足不等式: 向量范数.如果满足不等式:

‖Ax‖≤‖A‖‖x‖则称矩阵范数‖A‖与向量范数 x‖相容 与向量范数‖ 相容. 则称矩阵范数‖A‖与向量范数‖x‖相容.

matlab

向量|| Frobenius范数: || A || F = ∑ ∑ | a ij |2 (向量|| Frobenius范数: 范数i =1 j =1

n

n

· ||2的直接推广) 的直接推广)

|| 可以证明,对方阵 可以证明 对方阵 A∈ Rn×n和 x ∈ Rn有: , Ax ||2 ≤ || A ||F || x ||2

算子范数 又称为从属的矩阵范数: 算子范数 ( operator norm ),又称为从属的矩阵范数 又称为从属的矩阵范数 × 范数: 由向量范数 || · ||p 导出关于矩阵 A ∈ Rn×n 的 p 范数:利用Cauchy 不等式 利用 v 则 || AB|| p ≤ || A ||p || B ||p || A x || p v || A || p = max = max || A x || p y | ≤ ||vx || || y ||v v |x v v v 2 2 x≠0 || x || p = 1 || x || p || Ax || p ≤ || A || p || x || p

常用的算子范数： n|| A || 1 = maxj =1 n

可证( )。 可证(例6)。 || A || ∞ = max ∑ | a ij | (行和范数) 行和范数) 1≤ i ≤ n1≤ j ≤ n

∑ |ai =1

ij

| (列和范数) 列和范数)

|| A || 2 =

λ max ( A T A ) (谱范数 ( spectral norm ) )

matlab

定理1.4.6 对任意算子范数 || · || 有: ρ ( A ) ≤ || A || 定理v v 证明：由算子范数的相容性， 证明：由算子范数的相容性，得到 || Ax || ≤ || A || || x ||

将任意一个特征根 λ 所对应的特征向量 u 代入 v v v v | λ | || u || = || λu || = || Au || ≤ || A || || u ||

v

命题(P26,推论 ) 若A对称，则有: || A || 2 = ρ ( A ) ,推论1) 命题 对称，则有:证明： 证明：|| A ||2 = λmax ( A A) = λmax ( A )T 2

A对称 对称

的特征根。 的一个特征根， 若λ 是 A 的一个特征根，则λ2 必是 A2 的特征根。 λmax ( A2 ) = λ2 ( A) 对某个 A 的特征根λ 成立

为非负实数， 又：对称矩阵的特征根为实数，即 λ2(A) 为非负实数， 对称矩阵的特征根为实数， 所以2-范数亦称为 所以 范数亦称为 故得证。 故得证。 谱范数。 谱范数。

matlab

定理1.4.4 若矩阵 A 对某个算子范数满足 ||A|| < 1,则必有 定理 ，可逆； ①. I ± A 可逆； ②.

( I ± A)

1

1 ≤ 1 || A ||

有非零解， 证明： 若不然， 证明：① 若不然，则 ( I ± A) x = 0 有非零解，即存在非零向v x0 使得 量

± Ax0 = x0

|| Ax0 || =1 || x0 ||

|| A || ≥ 1

② ( I ± A) 1 ± A( I ± A) 1 = ( I ± A)( I ± A) 1 = I

( I ± A) 1 = I m A( I ± A) 1 || ( I ± A) 1 || ≤ 1+ || A || || ( I ± A) 1 ||

matlab

线性方程组的性态(误差分析) §1.5 线性方程组的性态(误差分析)( Error Analysis for Linear system of Equations )

思考:求解 思考 求解 A x = b 时, A 和 b 的误差对解 x 有何影响？ 精确， 设 A 精确，b 有误差 δ b ,得

到的解为 x + δ x ,即

A( x + δ x) = b + δ b 1

绝对误差放大因子

|| δ x || ≤ || A 1 || || δ b || δ x= A δb 相对误差放大因子 1 || A || || b || = || Ax || ≤ || A || || x || 又 ≤ || x || || b ||

|| δ x || || δ b || 1 ≤ || A || || A || || x || || b ||

matlab

精确， 有误差 设 b 精确，A有误差 δ A ,得到的解为 x + δ x ,即 || A || || A 1 || 是关键 的误差放大因子， 的误差放大因子，称为 ( A A的状态数 + δ x ) , b +的状态数 条件数 = δ A )( x 条件数), 的状态数(条件数 记为cond (A) , 记为 A ( x + δ x ) + δ A ( x + δ x ) = b ( A + δ A ) x + ( A + δ A )δ x = b ( A + δ A)δ x = δ Ax δ x = A 1δ A ( x + δ x ) A( I + A 1δ A)δ x = δ Ax || δ x || ≤ || A 1 || || δ A || || x + δ x || δ x = ( I + A 1δ A) 1 A 1δ Ax || δ A || 1 (只要δ A充分小，使得 只要 充分小，= || A || || A || || A |||| A 1δA || ≤ || A 1 || || δA || < 1 ) 1

|| δ A || || A || || A || 1 || δ x || || A || || δ A || || A || ≤ = 1 || x || 1 || A || || δ A || 1 || A || || A 1 || || δ A || || A ||

matlab

注:

cond (A) 与 所取的范数有关常用条件数有： 常用条件数有：

cond (A)1 =‖A‖1 ‖ A 1‖1 cond (A)∞ cond (A)2 =‖A‖∞ ‖ A 1‖∞= λmax ( AT A) / λmin ( AT A)

特别地， 对称， 特别地，若 A 对称，则max | λ | cond ( A) 2 = min | λ |

matlab

1 1 2 例：Hilbert 阵 H n = 1 n

1 2 1 3

1 n +1

1 2 n 1 1 n

cond (H2)∞ = 27 cond (H6)∞ = 2.9 × 106

cond (H3)∞ ≈ 748

注：现在用Matlab数学软件可以很方便 现在用Matlab数学软件可以很方便 Matlab 求矩阵的状态数! 求矩阵的状态数! 定义2: 设线性方程组的系数矩阵是非奇异的,如果 定义2: cond(A)越大,就称这个方程组越病态.反之,cond(A) 越大, 越小, 越小,就称这个方程组越良态.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/54oe.html