圆锥曲线最值问题求解的六种策略

圆锥曲线最值问题求解的六种策略

上海中学数学?2011年第5期35 圆锥曲线最值问题求解的六种策略 317523浙江省温岭市泽国中学王强 圆锥曲线中最值问题是高中数学的重点 内容,是高考中的一类常见问题,由于它能很 好地考查学生的逻辑思维能力,体现了圆锥 曲线与三角,函数,不等式,方程,平面向量等 代数知识之间的横向联系,使问题具有高度 的综合性和灵活性.圆锥曲线中的最值问题, 通常有两类:一类是有关长度,面积,角度等 的最值问题;另一类是圆锥曲线中有关几何 元素的最值问题.这些问题往往通过回归定 义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数 的性质或不等式等知识以及观图,设参,转 化,替换等途径来解决. 一

,利用圆锥曲线定义

圆锥曲线的定义统一刻画了动点与两定点 距离和或差的不变性,或者动点到定点,定直线

距离比的不变性.利用这种不变关系将动态与 静态结合,解题策略是转化思想,通过”化曲为 AF=,又AG=,易得EC=4,FG=, 046√6 1

由余弦定理可得cos//AFG一一÷,故二面角’ A—DE～C的大小为120..

点评:思路3抓住DE_l-面BCE这一有利 条件,依据”一条直线垂直于两个平行平面中的 一

个平面,那么它也垂直于另一个平面”,由垂 面法作出二面角的平面角,最后用余弦定理解 出AFG,计算更直接. 思路4:(体积转化 法)如图4,由,,一一 一

一,求出点A到平面 DEC的距离d一-6-,再厶 求点A到DE的距离 /-~A

h一,设二面角A—o DE—C的大小为,易知

曰 图4 C

>9’.sino=y-～~.一12...

点评:思路4虽不必添加辅助线,但需建立 直”处理就可很快地解决值问题. 例1已知抛物线Y.一4x,定点A(3,1),F 是抛物线的焦点,在抛物线上求一点P,使 JAPJ+JPFJ取最小值,并求的最小值. 分析:由点A引准线的垂线,垂足Q,则 1APl+lPF1一IAPl+lPQl,即为最小值. 解:如图1,..Y一4x, ..

声一2,焦点F(1,0),由 点A引准线一1的垂 线,垂足Q,则lAPI+lPFI —

IAPl+lPQl,即为最 小值.(1APl+IPFI)… 一4. , p,/

P/.,. /’ D\\\\F(1,0) \\ 由1(yZ 一 = 1 4x ,

得P(丢,1)为所求点.

若另取一点P,显然}APl+lPFl— APl+IPQl>IAPI+}PQ1.

点评:利用圆锥曲线定义求最值是一种特 在考生熟练掌握空间线面,距离,角度,椎体的 体积公式等相关基础之上,将问题化归为用公 式简捷求解. 思路5:如图5, 延长CB,DA交于点 Q,连SQ,EQ,由DE _i_面SBC,...DE_l_ 面SQC,...QEC

是二面角A—DE— C的平面角.’.’SQ一 QC—SC一2√2,又 ‘ .

‘SE一2EB,..点E图5 C

为正三角形SQC的中心,.’.Q=120.. 点评:思路5先延展半平面,由垂面法作出 了二面角的平面角,巧妙地运用了正三角形的 知识,沟通了立体几何与平面几何的联系,解法 别具匠心.

本题朴实无华,但内涵丰富,解法灵活多 样,不失为一道检测学生素质和能力的好题.数 学解题不在多,而在精,在于透,通过以某个试 题为载体,认真研究某个问题,真正做到知一题 会一类才能彻底摆脱题海. 上海中学数学?2011年第5期

殊方法.在利用时技巧性较强,但可以避繁就 简,化难为易.又如已知圆锥曲线内一点A与其 IDl

上一动点尸,求{AP}+的最值时,常考虑

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