自考线性代数试卷及答案汇集 - 图文

2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试

04184线性代数（经管类）试卷

本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。

说明：本试卷中，A表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，

T*A表示方阵A的行列式，r?A?表示矩阵A的秩。

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

a111.设3阶行列式a211a12a221a13a23=2，若元素aij的代数余子公式为Aij（i,j=1,2,3)，则1A31?A32?A33? 【 】

A.?1 B.0 C.1 D.2 2.设A为3阶矩阵，将A的第3行乘以?则A=【 】 A.?2 B.?1得到单位矩阵E， 211 C. D.2

223.设向量组?1,?2,?3的秩为2，则?1,?2,?3中 【 】 A.必有一个零向量

B. B.任意两个向量都线性无关

C.存在一个向量可由其余向量线性表出 D.每个向量均可由其余向量线性表出

?1?33???4.设3阶矩阵A??3?53?,则下列向量中是A的属于特征值?2的特征向量为

?6?64???【 】

?1???1??1??1?????????A.??1? B.?0? C.?0? D.?1? ?0??1??2??2?????????5.二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3?4x1x2的正惯性指数为 【 】 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、

222线性代数试卷第 1 页共 20页

6.设f(x)?2?x?1，则方程f(x)?0的根是

31?01?*A?,则= ?20??1?1,则行列式(2A)= 27.设矩阵A???8.设A为3阶矩阵，A??9.设矩阵B????12??10????,,若矩阵A满足PA?B,则A= P?????34??02?10.设向量?1?(?1,4)T,?2?(1,2)T,?3?(4,2)T,则?3由?1,?2线性表出 的表示式为 11.设向量组?1?(3,1,1)T,?2?(4,1,0)T,?3?(1,0,k)T线性相关， 则数k?

?x1?x2?012.3元齐次线性方程组?的基础解系中所含解向量的个数

x?x?03?2为

13.设3阶矩阵A满足3E?2A?0，则A必有一个特征值为 14.设2阶实对称矩阵A的特征值分别为?1和1，则A? 15.设二次型f(x1,x2)?tx1?x2?2tx1x2正定， 则实数t的取值范围是

三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）

222310016.计算4阶行列式D?1310的值。

01310013

线性代数试卷第 2 页共 20页

?a3?2?a17.已知矩阵A???a?1?

a2a10a1??10??1A，求。 ?00?00???1?11???318.设矩阵A??110?,且矩阵X满足AX?E?A?X,求X。

?011???

19.设向量

?1?(1,1,1,1)T,?2?(1,2,1,1)T,?3?(k?1,1,k,k?1)T,??(k2?1,1,1,1)T,试确定当k取何

值时?能由?1,?2,?3线性表出，并写出表示式。

?x1?x2?x3?x4?0?20.求线性方程组?x2?2x3?2x4?1的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系

?x?2x?3x?3x?1234?1表示）。

?1?11??100?????21.设矩阵A??13?1?与对角矩阵B??020?相似，求数x与可逆矩阵P，使

?x1?002?1?????得PAP?B。

22.用正交变换将二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?x3?2x1x3化为标准形，写出标准形和所作的正交变换。

线性代数试卷第 3 页共 20页

222?1四、证明题（本题7分）

23.设向量组?1,?2,?3线性相关，且其中任意两个向量都线性无关。证明：存在全不为零的．．．．常数k1,k2,k3使得k1?1?k2?2?k3?3?0。

2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试

线性代数（经管类）试题答案及评分参考

（课程代码04184）

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

1.D 2.A 3.C 4.B 5.C 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 6. 5 7. ???0?1???20??? 8. ?14 ?12?9. ??3?22?? ?10. ?3???1?3?2 11. ?1 12. 1 13. ?32 14. E

15. 0＜t＜1

三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）

3100131016.解 D?13100131=?31000131 001300131310 ??01310013?55 000?55线性代数试卷第 4 页共 20页

......3分

......9分

?a3?2?a17.解 ??a?1?a2a10a11000??1??100100??a??2?a000010??3?000001???a01aa2000001??000010? ......2分 ?100100?a11000???1??0 ??0100000001??001?a? ..........7分

??001001?a0??00011?a00?????0001?从而A?1??001?a??? ?01?a0? ??1?a00???18.解 由AX?E?A3?X,得(A?E)X?A3?E ?1?11??100??0?又由A?E???110?????010????11??100??可逆 ??011????001????010??由(A?E)X?A3?E,可得(A?E)X?(A?E)(A2?A?E) 两边左乘(A?E)?1,得到

?0?1X?A2?A?E??2??201?????1?11??110?????100??010?????2?3??121????011????001????119解 设x1?1?x2?2?x3?3??， 该线性方程组的增广矩阵为

?11k?1k2?1??1k?1k2?1?A?????1211???1?01?k?k2???11k1???0?1?k2? ??11k?11???0???000?k2??????由于能有?1,2,?3线性表出，则必有r(A)?r(A)?3 此时k?0，方程组有唯一解x1?1,x2?x3?0

表示式为???1 20.解 方程组的增广矩阵

线性代数试卷第 5 页共 20页

?23?21??33?? ......9分

......2分

......5分

......9分

......2分 ......6分......9分

?11110??10?1?1?1?????21? ......2分 A??01221???012?12331??00000??????可知r(A)?r(A)?2＜＜4，方程组有无穷多解 ......4分

??x1??1?x3?x4由同解方程组?

x?1?2x?2x34?2求出方程组的一个特解?*?(?1,1,0,0)T,

导出组的一个基础解系为?1?(1,?2,1,0)T,?2?(1,?2,0,1)T ......7分 从而方程组的通解为

?*?c1?1?c2?2?(?1,1,0,0)T?c1(1,?2,1,0)T?c2(1,?2,0,1)T

(c1,c2为任意常数） ......9分

21.解 由条件可知矩阵A的特征值为?1?1,?2??3?2 ......2分

0 由E?A??11?11?x?1?0，得x?1 ......4分

0?2?x?1对于?1?1，由线性方程组(E?A)x?0求得一个特征向量为

?1?(?1,1,1)T

对于?2??3?2，由线性方程组(2E?A)x?0求得两个线性无关的特征向量为

?2?(1,0,1)T,?3?(0,1,1)T

??110????1P?(?,?,?)?101令??,则PAP?B ......9分 123?111????101???22.解 二次型的矩阵A??020? ......2分

?101?????1由?E?A?0?10?(??2)2??0 ??1线性代数试卷第 6 页共 20页

0?1??20

故A的特征值为?1??2?2,?3?0 ......4分 对于?1??2?2，求解齐次线性方程组(?A)x?0，得到基础解系

?3?(?1,0,1)T

12,0,12)T ......7分

将其单位化，得?3?(??0?令P?(?1,?2,?3)??1??0??x1???经正交变换?x2???x??3?10122?1?2?0?,则P为正交矩阵，

?1?2??y1???2P?y2?，化二次型为标准形2y12?2y2 ......9分 ?y??3?四、证明题（本题7分）

23.证 由于向量组?1,?2,?3线性相关，故存在不全为零的常数k1,k2,k3，使得 k1?1?k2?2?k3?3?0 ......2分 其中必有k1?0。否则，如果k1?0，则上式化为k2?2?k3?3?0

其中k2,k3不全为零，由此推出?2,?3线性相关，与向量组中任意两个向量都线性无关的条件矛盾 ......5分 类似地，可证明k2?0,k3?0 ........7分

2015年4月高等教育自学考试全国统一命题考试

线性代数（经管类）试卷

课程代码：04184

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

线性代数试卷第 7 页共 20页

1、设行列式D1=

a1a2b1b2，D2=

a1a22b1?3a12b2?3a2，则D2= 【 】

A.-D1 B.D1 C.2D1 D.3D1 2、若A=???10x??202???，B=??42y??，且2A=B，则 【 】 211???? A.x=1，y=2 B.x=2，y=1

C.x=1，y=1 D.x=2，y=2

3、已知A是3阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A等价的是 【 】

?100??100??100??100????????? A.?000? B.?010? C.?000? D.?010?

?000??000??001??001?????????

4、设2阶实对称矩阵A的全部特征值味1，-1，-1，则齐次线性方程组（E+A）x=0的基础 解系所含解向量的个数为 【 】 A.0 B.1 C.2 D.3 5、矩阵????31?? ?有一个特征值为 【 】1?3?? A.-3 B.-2 C.1 D.2

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

?16、设A为3阶矩阵，且A=3，则3A= .

?21?*

7、设A=??35??，则A= .

??8、已知A=???10??1?11????，B=，若矩阵X满足AX=B，则X= . ????21??112?9、若向量组?1?(1，2，1)T，?2?(k-1，4，2)T线性相关，则数k= .

?x1?2x2?ax3?0?10、若齐次线性方程组?2x1?x2?x3?0有非零解，则数a= .

?3x?x?x?023?111、设向量?1?(1，-2，2)T，?2?(2，0，-1)T，则内积（?1,?2）= . 12、向量空间V={x=(x1，x2，0)T|x1，x2?R}的维数为 .

13、与向量（1，0，1）T和（1，1，0）T均正交的一个单位向量为 . 14、矩阵???12??的两个特征值之积为 . ??23?线性代数试卷第 8 页共 20页

15、若实二次型f(x1，x2，x3)=x1?ax2?a2x3?2x1x2正定，则数a的取值范围是 .

三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）

222211116、计算行列式D=

131111411115的值.

17、设2阶矩阵A的行列式A?

1?1*，求行列式(2A)?2A的值. 2?010??1?1?????18、设矩阵A=??111?，B=?20?，矩阵X满足X=AX+B，求X.

??10?1??5?3?????

线性代数试卷第 9 页共 20页

19、求向量组?1?(1,2,1)T,?2?(2,5,1)T,?3?(?1,3,?6)T,?4?(3,?1,10)T的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.

?x1?ax2?a2x3?3a2?20、利用克拉默法则解线性方程组?x1?bx2?b2x3?3b2，其中a,b,c两两互不相同.

?22x?cx?cx?3c123?

线性代数试卷第 10 页共 20页

?1a1??000?????21、已知矩阵A??a31?与B??010?相似，求数a,b的值.

?111??00b?????

22、用正交变换化二次型f(x1,x2)?5x1?5x2?4x1x2为标准型，并写出所作的正交变换.

四、证明题（本题7分）

23、设A，B均为n阶矩阵，且A=B+E，B2=B，证明A可逆.

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分类，共10分）

1.C 2.A 3.D 4.C 5.B 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

6. 9 7.??

?5?1?? ???32??1?11?8.???130?? 9. 3 ?? 10. -2 11. 0

线性代数试卷第 11 页共 20页

12. 2 13.

13??1,1,1?T或?13??1,1,1?T

14. -1 15.a＞1 三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）

1216.解 D=?11 =231113011411131110?5?1?1 ??10?23050?2045?1?120?74 41*?1，所以A可逆，于是A?AA 217.解 由于A? 故(2A)?1?2A*?1?1A?2AA?1 22139?3? =A?1?A?1?A?1???A?1?

222?2? 18.解 由X?AX?B，化为?E?A?X?B，

21??1?10??0????1?1 而E?A??10?1?可逆，且?E?A????321?

3??10??2???0?11?21??1?1??3?1??0?????1? 故X???321??20???20?

3???????0?11??5?3??1?1??12?13??10?1117????????,?,?,??015?7?015?719.解 由于1234????

?0?1?57??0000????? 所以向量组的秩为2，?1,?2是一个极大线性无关组，并且有

?3??11?1?5?2,?4?17?1?7?2

注：极大线性无关组不唯一。

20. 解 方程组的系数行列式

线性代数试卷第 12 页共 20页

1aa2 D=1bb2??b?a??c?a??c?b? c2aa213a2bb2?0，D2?13b2cc213c2a2b2?0， c21c 因为a,b,c两两互不相同，所以D?0，故方程有唯一解。

3a2 又D1?3b23c21a3a2 D3?1b3b2?3D

1c3c2由克拉默法则得到方程组的解 x1?DD1D3D?0,x2?2?0,x3?3??3 DDDD21.解 因为矩阵A与B相似，故

?trB trA即?且

A?B,

?1?3?1?0?1?b 2??a?1??0?52??? 25?? 所以a=1,b=4. 22. 解 二次型的矩阵A??? 由于?E?A????3????7?，所以A的特征值?1?3,?2?7 对于特征值?1?3，由方程组?3E?A?x?0得到A属于特征值?1?3的一个单位特征向量?1?2?1? ?????12??对于特征值?2?7,由方程组?7E?A?x?0得到A属于特征值?2?7的一个单位特征向量

?2?2?1?. ????2?1?得正交矩阵Q???1,?2??22?11????，作正交变换x?Qy， ?112???2二次型化为标准形f?3y1?7y2.

线性代数试卷第 13 页共 20页

四、证明题（本题7分）

223.证 因为A?B?E,所以A?E?B,又B?B,

故?A?E??A?E,

2 化简得 A2?3A??2E,于是A???1?A?3E???E,故A可逆。 ?2??2015年10月高等教育自学考试全国统一命题考试

线性代数(经管类) 试卷

(课程代码04184)

本试卷共3页，满分l00分，考试时间l50分钟。

考生答题注意事项： 1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。 2．第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。 3．第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。 4．合理安排答题空间。超出答题区域无效。

T*

说明：在本卷中。A表示矩阵A的转置矩阵。A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵， ︱A ︱表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

第一部分 选择题

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡” 的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。

1．已知2阶行列式

A．-2 B．-l C．1 D．2

3．设向量组 正确的是 A．若s≤t，则 B．若s≤t，则 C．若 D．若

可由向量组线性表出，则下列结论中

必线性相关 必线性相关

线性无关，则s≤t 线性无关，则s≤t

线性代数试卷第 14 页共 20页

4．设有非齐次线性方程组Ax=b，其中A为m×n矩阵，且r(A)=r1，r(A，b)=r2，则 下列结论中正确的是

A．若r1=m，则Ax=O有非零解 B．若r1=n，则Ax=0仅有零解 C．若r2=m，则Ax=b有无穷多解 D．若r2=n，则Ax=b有惟一解 5. 设n阶矩阵A满足︱2E-3A︱=0，则A必有一个特征值=

第二部分 非选择题

二、填空题 (本大题共l0小题。每小题2分，共20分) 请在答题卡上作答。

6．设行列式中元素aij的代数余子式为Aij(i,j=1,2)，则a11A21+a12+A22=__________．

2

7．已知矩阵，则A+2A+E=___________．

8．设矩阵9．设向量

，若矩阵A满足AP=B，则A=________．

，

线性表出的表示式为=____________．

，则

由向量组

10．设向量组a1=(1，2,1)，a2=(-1，1，0)，a3=(0，2，k)线性无关，则数k的取值应

满足__________．

11．设3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵(A，b)经初等行变换可化为

TTT

若该方程组无解，则数k=_________． 12．设

=-2是n阶矩阵A的一个特征值，则矩阵A—3E必有一个特征值是________．

13．设2阶矩阵A与B相似，其中，则数a=___________．

14．设向量a1=(1，-l，0)，a2=(4，0，1)，则

15．二次型f(x1，x2)=-2x1+x2+4x1x2的规范形为__________． 三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，共63分) 请在答题卡上作答。

2

2

TT

=__________．

线性代数试卷第 15 页共 20页

16. 计算行列式的值．

17. 已知矩阵，若矩阵x满足等式AX=B+X，求X．

18. 已知矩阵A,B满足关系式B=E-A，其中

2

3

，计算

(1)E+A+A与A;

2

(2)B(E+A+A)．

TTTT

19. 求向量组a1=(1，-l，2，1)，a2=(1，0,2，2)，a3=(0，2，1，1)，a4=-(1，0，3，1)的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出．

20. 设3元线性方程组，问数a，b分别为何值时，方程组有无穷

多解?并求出其通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)．

21. 设矩阵，求A的全部特征值和特征向量．

2

22. 用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x1-x1x2+x2x3为标准形，并写出所作的可逆线性 变换．

四、证明题(本大题共l小题，共7分) 请在答题卡上作答。

23·设向量组a1，a2，a3的秩为2，且a3可由a1，a2线性表出，证明a1，a2是向量组 a1，a2，a3的一个极大线性无关组．

线性代数试卷第 16 页共 20页

线性代数试卷第 17 页共 20页

线性代数试卷第 18 页共 20页

线性代数试卷第 19 页共 20页

线性代数试卷第 20 页共 20页

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