河南省豫南九校2010-2011学年高二数学第四次联考 文

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班级:______________ 姓名: ______________考场号: ______________准考证号:______________ . .密 封 线 .

2010-2011学年高二年级上学期期末联考数学试题(文科) 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．原命题：“设a,b,c R,若a b,则ac2 bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中， 真命题共有个.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

2．已知ΔABC的三个内角A,B,C，那么“sinA cosB”是“ΔABC为锐角三角形”的

A．充分而不必要条件 件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3

、

不

等

式

x 5

2

B．必要而不充分条

x 1

2

的解集为

A．( 3,]

1

2

B．[ ,3]

12

C． ,1 2 1,3

1

D． ,1 2 1,3

1

4．下列四个命题，其中真命题是

A． x R,x2 3 0 B． x N,x2 1 C． x Z,使x5 1 D． x Q,使x2 3

x y 3 0

5．设z x y 2y 1,变量x,y满足 ，则z的最小值为

x 2y 0

2

2

A．2 B．3 C．4 D．5

6．已知函数y f x 在x 5处的切线方程是y x 8，则f(5) f' 5

A．0 B．

1

C．1 2

D．2

7．在等差数列{an}中，2(a1 a4 a7) 3(a9 a11)=24，则数列的前13项和等于

A．13

B．26

sBi n

2

C．52 D．156

n 8．在 ABC中，siA

C

os则 ABC的形状一定是 ，2

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A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

9．函数f x x3 x 2在点P0处的切线平行于直线y 4x 1，则P0的坐标为

A． 1,0 B． 1,0 和 1, 4 D． 2,8 和 1, 4 2,8 C．10．已知F为抛物线y2 2x的焦点，Q 2,1 是一个定点，点P在抛物线上，要使P A

．D． 0,0

11．已知a, b

的F值最小，则点P的坐标为

1

B． 2,2 C． ,1

2

R，2a 3b 6，则

83

23 的最小值为 ab

113

A B C D．4

x2y2

12．已知双曲线方程2 2 1 a b 0 ，它的一个顶点到一条渐近线

ab

的距离为，c为双曲线的半焦距长，则双曲线的离心率为

3

256

A

．D

B

． C

．

二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题卷中的横线上.)

2

13．函数f x x x c 在x 2处有极大值，则常数c 14．已知某等差数列有10项，其中奇数项之和为30，偶数项之和为50，则公差为 15．函数f x

lnx

的单调递增区间是 x

16．下列命题正确的有序号）

①若p是q的必要不充分条件，则 q也是 p的必要不充分条件 ②已知a,b R，则“a b a b的充要条件是ab 0”。

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③x 1是x2 1的充分不必要条件 ④x 0是x x 0的必要不充分条件 ⑤

a 3 a b 6

是 的充分不必要条件 b 3 ab 9

_____________ 姓名: ______________考场号: ______________准考证号:______________ .密 封 线 .

2010-2011学年高二年级上学期期末考试

数学答题卷(文科)

艳荡芦花湾/s2460/ 奀莒咾

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13． 14． 15． 16． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）

17．（本小题10分）已知命题p:lg x2 2x 2 0，命题q:

q是

x

1。若2

真命题，p q是真命题，求实数x的取值范围。

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18．（本小题12分）已知向量m (sinA,sinB),n (cosB,cosA),m n sin2C, 且A,B,C分别为 ABC的三边a,b,c所对的角． （1）求角C的大小；

sinsi,Ansi,CB成等差数列,且C （2）若n求c边的长． A AB(AC ) 18，

19.（本小题12分）本地一公司计划2011年在省、市两个电视台做总时间不超

过300分钟 的广告，广告总费用不超过9万元，省、市电视台的广告收费标准分别为500元/分钟

和200元/分钟，规定省、市两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的

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收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在省、市两个电视台的广告时间，

才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

20．（本小题12分）已知数列 an 的前n项和Sn 25n 2n2

（1）求证： an 是等差数列。 （2）求数列 an 的前n项和Tn。

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21.（本小题12分）设函数f x x3 3ax b在 2,f 2 处与y 8相切 （1）求a,b的值

（2）求函数的单调区间

（3）求函数在 3,5 上的值域

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22.（本小题12分）已知a 0，双曲线C的渐近线为l1:x ay 0和l2:x ay 0，

双曲线C

经过点P,1 ，而且直线l:x y 1与C相交于两个不同点A,B.

(1)求C的离心率的取值范围；

(2)若线段AB的中点横坐标为289

120

，求C的方程．

… … … … …… … … …… … … … … 线… ……… … … … … …… … …封 … …… …… … … … … … … 密 … … … … … … … …

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2010-2011学年高二上学期期末考试

数学答案(文科)

13． 14． 15． 0,e 16．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及推演步骤）

19．本小题12分

解：设公司在省电视台和市电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，

x y≤300，

由题意得 500x 200y≤90000，

x≥0，y≥0.

目标函数为z 3000x 2000y． 4分

l

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x y≤300，

二元一次不等式组等价于 5x 2y≤900，

x≥0，y≥0.

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图： 作直线l:3000x 2000y 0， 即3x 2y 0．

平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值． 8分

x y 300，

解得x 100，y 200．

5x 2y 900.

200)． 10分 点M的坐标为(100，

zmax 3000x 2000y 700000（元） 12分

联立

22

20．解：（1）当n 2时，an Sn Sn 1 25n 2n 25 n 1 2 n 1 27 4n

当n 1时，a1 S1 25 2 23也符合上式 3分

*

所以，an 27 4nn N 4分

当n 2时，an an 1 27 4n 27 4 n 1 4

所以， an 是等差数列 6分 （2）由an 27 4n 0得1 n 6，由an 27 4n 0得n 7 所以，当1 n 6时，Tn a1 a2 an Sn 25n 2n2 当n 7时，Tn a1 a2 a6 a7 a8 an

S6 Sn S6 156 25n 2n 10

2

分

2

1 n 6 25n 2n

， 所以，Tn 12分 2

n 7 156 25n 2n

'2

21．解：(1)由f x 3x 3a，则

' a 4 f 2 12 3a 0

，解得 4分

b 24 f 2 8 6a b 8

'2

（2）由（1）知f x 3x 12 3 x 2 x 2

x 3 x 2 x 2 0可得x 2或x 2 '

令f x 3 x 2 x 2 0可得-2 x 2 6

令f分

所以，f x 的单增区间是 , 2 和 2,

f x 的单减区间是 2,2 8分

（3）由上可知f x x 12x 24在 3, 2 递增在, 2,2 递减,在 2,5 递增

3

'

所以f x 极大值 f 2 40,f x 极小值 f 2 8， 10

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分

而f 3 33,f 5 89， 因为f 2 f 3 f 2 f 5

所以，f x 在 3,5 上的值域是 8,89 12

分

专题三 数列、推理与证明

(时间∶120分钟 满分∶160分)

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)

1．若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝18，S20＝24，则S40等于________． 2．在等比数列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则等于________．

1a9＋a10

3．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a13,2a2成等差数列，则的值为________．

2a7＋a8

a5

a7

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4．数列{an}的通项公式an＝

2

1

n＋n＋1

，若{an}的前n项和为24，则n为________．

2

5．(2010·江苏)函数y＝x(x>0)的图象在点(ak，ak)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其

中k∈N，a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．

6．数列{an}中，Sn是其前n项和，若Sn＝2an－1，则an＝________.

1n1n2n

7．(2010·浙江)设n≥2，n∈N，(2x＋)－(3x＋)＝a0＋a1x＋a2x＋ ＋anx，将

23|ak|(0≤k≤n)

1111

的最小值记为Tn，则T2＝0，T3＝33，T4＝0，T55－5， ，Tn， ，其中Tn＝

2323_____________.

*

a55S9

8．设Sn是等差数列{an}的前n＝等于________．

a39S5

9．若数列{an}满足a1＋3a2＋3a3＋ ＋3

2

n－1

n＋1*

an＝(n∈N)，则an＝_____________.

3

10.设数列{an}满足a1+2a2=3，点Pn（n,an）对任意的n∈N*，都有PnPn 1=（1，2），则数列

{an}的前n项和Sn= .

2an

11．已知数列{an}满足a1＝1，且对于任意的正整数n都有an＋1＝

2＋an

项公式为_____________．

12．已知{an}是递增数列，且对任意n∈N都有an＝n＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是

____________________．

13．对正整数n，设曲线y＝x(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列

的前n项和的公式是Sn＝________.

14．(2010·天津)设{an}是等比数列，公比q＝2，Sn为{an}的前n项和．记Tn17Sn－S2n

n

*

2

an

n＋1

an＋1

n∈N*.

设Tn0为数列{Tn}的最大项，则n0＝________.

二、解答题(本大题共6小题，共90分)

1

15．(14分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a12

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1

(1)求证： 是等差数列；

Sn

(2)求an的表达式．

16．(14分)在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.

(1)求数列{an}的通项an； (2)令bn＝2

an 10

，证明：数列{bn}为等比数列；

(3)求数列{nbn}的前n项和Tn. 17．(14分)在数列{an}中，an＝4

n－1

＋n，n∈N.

*

(1)求数列{an}的前n项和Sn；

(2)求证：不等式Sn＋1≤4Sn对任意n∈N皆成立． 18.(16分)设同时满足条件：①

*

bn＋bn＋2

2

bn＋1(n∈N)；②bn≤M(n∈N，M是与n无关的常数)

**

的无穷数列{bn}叫“特界”数列．

(1)若数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，a3＝4，S3＝18，求Sn； (2)判断(1)中的数列{Sn}是否为“特界”数列，并说明理由． 19．(16分)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2＋1(n∈N)．

(1)求证：数列{an－2}为等差数列；

(2)设数列{bn}满足bn＝log2(an＋1－n)，若(1＋1

kn＋1对一切

1

n

n

*

b2

)(1＋

1

b3

)(1＋

1

b4

)· ·(1＋

bn

n∈N*且n≥2恒成立，求实数k的取值范围．

Sn111

20．(16分)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n)在直线yx＋上．数列{bn}满足bn

n22

＋2

－2bn＋1＋bn＝0(n∈N)，b3＝11，且其前9项和为153. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式；

3k

(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn>对一切

2an－11 2bn－1 57

*

n∈N*

都成立的最大正整数k的值． 答案

0 n为偶数  803n－1

1.＋2 4.624 5.21 6.27. 1132n－n n为奇数 23

8.1

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2 3， n＝1.9. 1 3， n≥2，n∈N.

*

42

10.n(n－) 11.an＝－3，＋∞)

3n＋1

13．2

n＋1

－2 14.4

15．(1)证明 ∵an＝－2SnSn－1，

∴Sn－Sn－1＝－2SnSn－1(n≥2)，Sn≠0(n＝1,2,3， )， 1111

∴－＝2，又＝＝2，

SnSn－1S1a1

1

∴数列 是以2为首项，2为公差的等差数列．

Sn

11

(2)解 由(1)得2＋2(n－1)＝2n，∴Sn

Sn2n－1

∴n≥2时，an＝－2SnSn－1＝.

2n n－1 1

又当n＝1时，S1＝a1＝，

2

∴a＝ 1

－ 2n n－1 n≥2 .

n

1

n＝1 ，2

16．(1)解 由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，

得方程组

a1＋9d＝30

a1＋19d＝50

，

解得a1＝12，d＝2.

∴an＝12＋(n－1)·2＝2n＋10. (2)证明 由(1)得bn＝2

an 10

＝2

2n＋10－10

＝2＝4，

2nn

bn＋14n＋1

∴n＝4， bn4

∴{bn}是首项是4，公比为4的等比数列．

(3)解 由nbn＝n×4得：Tn＝1×4＋2×4＋ ＋n×4， 4Tn＝1×4＋ ＋(n－1)×4＋n×4

2

2

n2n

nn＋1

，

n＋1

相减可得：－3Tn＝4＋4＋ ＋4－n×44 1－4 n＋1＝－n×4，

－3 3n－1 ×4

化简得Tn＝

9

n＋1

n

n

＋4.

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3n－1 ×4

所以数列{nbn}的前n项和Tn＝

917．(1)解 因为数列{an}的通项公式为an＝4

nn－1

n＋1

＋4.

＋n，

1× 1－4 n n＋1

所以数列{an}的前n项和Sn＝1－424－1n n＋1 *

＝(n∈N)．

32

(2)证明 对于任意n∈N，Sn＋1－4Sn＝

*

n

4

n＋1

－1 n＋1 n＋2 4－1

＋－4[＋323

n

n n＋1

2

12

n＋n－4)

21

n＋4)(n－1)．

2

因n≥1且n∈N时，3n＋4>0，n－1≥0， 1

所以－n＋4)(n－1)≤0，即Sn＋1≤4Sn.

2即不等式Sn＋1≤4Sn对任意n∈N均成立．

18．解 (1)设等差数列{an}的公差为d，则a1＋2d＝4,3a1＋3d＝18，解得a1＝8，d＝－2，

∴Sn＝na1＋(2)由

*

*

n n－1

＝－n2＋9n.

2Sn＋1

Sn＋Sn＋2

2

Sn＋2－Sn＋1 － Sn＋1－Sn ＝2＝得

an＋2－an＋1d

22

＝－1<0， 2

Sn＋Sn＋2

<Sn＋1，故数列{Sn}适合条件①.

92812*

而Sn＝－n＋9n＝－(n－)＋n∈N)，则当n＝4或5时，Sn有最大值20，

24即Sn≤20，故数列{Sn}适合条件②. 综上，数列{Sn}是“特界”数列．

19．(1)证明 由an＋1＝an＋2＋1，变形得：an＋1－2

即an＋1－2

n＋1

n

n＋1

＝(an＋2－2

nn＋1

)＋1，

＝[an－2(2－1)]＋1，

n＋1

n

所以(an＋1－2)－(an－2)＝1，

n

故数列{an－2}是以a1－2＝0为首项，1为公差的等差数列．

n

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(2)解 由(1)得an－2＝n－1， 所以bn＝log2(an＋1－n)＝n.

1111

设f(n)＝(1＋＋)(1＋)×

n

b2b3b4bn

(n≥2，n∈N)， n＋1

1

1

*

11111

则f(n＋1)＝(1＋)(1＋＋)(1＋b2b3b4bnbn＋1

n＋2

，

两式相除得

f n＋1 1n＋1n＋2n＋1n＋2

＝(1＋＝＝>1.

f n bn＋1n＋2n＋1n＋2n＋1

313

所以f(n)是关于n的单调递增函数，则f(n)min＝f(2)＝×＝.

232所以k的取值范围为(－∞，

3

． 2

Sn111

20．解 (1)由已知，得＋，

n22

1211

∴Sn＝＋n.

22

12111112

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＋n－n－1)n－1)＝n＋5；

2222当n＝1时，a1＝S1＝6也符合上式．∴an＝n＋5. 由bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N)知，{bn}是等差数列， 9 b1＋b9

由{bn}的前9项和为153＝153，

2求得b5＝17，又b3＝11， ∴{bn}的公差d＝∴bn＝3n＋2.

3111

(2)cn＝＝(－．

2n－1 6n＋3 22n－12n＋1111111∴Tn＝－＋＋ ＋)

23352n－12n＋111＝(1－)． 22n＋1

∵n增大，Tn增大，∴{Tn}是递增数列． 1∴Tn≥T1＝.

3

*

b5－b3

2

＝3.

k1k

Tnn∈N*都成立，只要T1＝>k<19.

57

357

则kmax＝18.

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