高等数学：北航数学竞赛答案(2008)

北航数学竞赛答案（2008）

一. 求 dx sinx x )12n (sin I 0

n ?π-= 解 dx sinx x )12n (sin I 0

1n ?

π++= dx sinx sinx cos2nx cosx sin2nx 0?

π+= =dx cosx sinx sin2nx 0?π-dx sinx sinx cos2nx 0

?π dx sinx x )12n (sin 0

?π

-= =n I

所以，n I =π=1I

二. 设)x (f 在[0，1] 上连续，且 ?=1

01f(x)dx ， 证明?π≥

+10

24f(x)dx )x (1. 证明 210f(x)dx 1??? ??=?21022dx x 11x 1f(x)???

? ??+?+=? ()?????? ??+?+≤10221

022dx x 11dx x 1)x (f 4

dx )x 1)(x (f 1

022π?

+=? 所以

?π≥+1

024f(x)dx )x (1

三. 已知 )x (f n 满足x 1n n 'n e x )x (f )x (f -+= (n 为正整数) 且n e )1(f n =, 求级数 ∑∞=1n n )x (f

之和.

解：x 1n n 'n e x )x (f )x (f -=-

)e e x (C e )x (f dx x 1n dx n ?+?=----? ???? ??+=n x C e n x

, 由 n

e )1(

f n = 得 0C =, n e x )x (f x n n =. ∑∞=1n n )x (f =∑∞

=1n x

n n e x =∑∞

=1n n x n x e

=???? ???∑∞=dx x e x 01n -1n x =?-x 0

x x 1dx e =x 11ln

e x -, )1,1[x -∈

四. 已知函数)x (f 为),0[+∞上的连续函数, 且满足方程??≤+π++

=2224t y x 22t 4dxdy )y x 2

1(f e )t (f , 求)(x f 的表达式. 解：显然 1)0(f =, 由于

=+??≤+2224t y x 22dxdy )y x 21(f ???=θπ2t 0202t 0dr )2r (rf dr )r 21(f d

?π+=π2t

0t 4dr )2r (rf 2e )t (f 2 等式两边关于t 求导得

)t (tf 8e t 8)t ('f 2

t 4π+?π=π，于是有

??

? ????π+?=?π-ππdt e te 8C e )t (f tdt 8t 4tdt 82 ()C t

4e 2t 42+π=π 代入 1)0(f =, 得 C=1. 故 ()

1t 4e

)t (f 2t 42+π=π，),0[t +∞∈.

六. 求 ,dz x dy z dx y 22c 2++?其中C 为曲线Rx y x ,y x R z 22222=+--=

(R>0), 若从 z 轴正向看去，C 为逆时针方向.

解：，围成的部分曲面为设球面上由曲线∑C ，

则法向量 }R

z ,R y ,R x {=，由stokes 公式得 dz x dy z dx y 22c

2++? dS x z y z y x cos cos cos 2

22??∑??????γ

βα= ()dS y z y x x z R 2??∑

++-= （利用对称性） dS zx R 2??∑-=

dS xdxdy 2xy

D ??-=

ρθρθ-=??πθ

d cos d 420

Rcos 02

3R 4

π-= 七. 设αγ+γβ+βαγβα=

sin sin sin sin sin sin sin sin sin R )20(π<γ<β<α<, 试问γβα,,中哪一个的变动对R 影响最大? 解 γ

+β+α=sin 1sin 1sin 1R 两边取全微分

γγ

γ-βββ-ααα-=-d sin cos d sin cos d sin cos dR R 12222 ???? ??γγγ+βββ+ααα=d sin cos d sin cos d sin cos R dR 2222 故

αα

α=α??d sin cos R R 22, βββ=β??d sin cos R R 22, γγγ=γ??d sin cos R R 22 由于 2

0π

<γ<β<α<, 所以 0sin cos sin cos sin cos 222>γ

γ>ββ>αα 0R R R >γ

??>β??>α?? 因此α的变动对R 影响最大.

八. 设)x (u 在[0，1] 上连续，且 ?-λ+=1x dy )x y (u )y (u 1)x (u ,

证明 2

1≤λ.

证明 记 dx )x (u a 10

?

=

dy)dx )x y (u y (u (1a 101x

??-λ+=）

dy x)-u(y)u(y dx 110

1

x ??λ+=(换序)

dx x)-u(y)u(y dy 110

y

0??λ+= (设x y t -=)

dt)u(t)(-u(y)dy 1100

y

??λ+=

??λ+=10y

u(t)dt u(y)dy 1

10

2y 0dt )t (u 1???? ??λ+=?

2a 2

1λ+= 于是二项式 01x x 2

2=+-λ 有实数解, 所以 0 21≥λ-=?, 即 21≤λ.

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