艺考生文化课新高考数学百日冲刺复习课时分组冲关：第7章 平面解

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第七章第8节

1．已知抛物线y2＝2x，过点(－1,2)作直线l，使l与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有()

A．0条B．1条C．2条D．3条

解析：D[因为点(－1,2)在抛物线y2＝2x的左侧，所以该抛物线一定有两条过点(－1,2)的切线，过点(－1,2)与x轴平行的直线也与抛物线只有一个交点，所以过点(－1,2)有3条直线与抛物线有且只有一个交点，故选D.]

2．直线y＝x＋1截抛物线y2＝2px所得弦长为26，此抛物线方程为()

A．y2＝－2x B．y2＝6x

C．y2＝－2x或y2＝6x D．以上都不对

解析：C[由

??

?

??y＝x＋1，

y2＝2px

得x2＋(2－2p)x＋1＝0.x1＋x2＝2p－2，x1x2＝1.∴26＝1＋12·(x＋x2)2－4x1x2＝2·(2p－2)2－4.解得p＝－1或p＝3，

∴抛物线方程为y2＝－2x或y2＝6x.故选C.]

3．过点P(1,1)作直线与双曲线x2－

y2

2＝1交于A，B两点，使点P为AB中点，则这样的直线()

A．存在一条，且方程为2x－y－1＝0

B．存在无数条

C．存在两条，方程为2x±(y＋1)＝0

D．不存在

解析：D[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，则x21－

1

2y

2

1

＝1，x22－

1

2y

2

2

＝1，

两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)－

1

2(y1－y2)(y1＋y2)＝0，所以x1－x2＝

1

2(y1－y2)，即k AB＝2，故所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.

联立

??

?

??y＝2x－1，

x2－

1

2y

2＝1

可得2x2－4x＋3＝0，但此方程没有实数解，故这样的直线不存在．故选D.]

4．(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为

2

3的直线与C 交于M，N两点，则FM

→

·FN

→

＝()

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A．5B．6C．7D．8

解析：D[如图焦点F(1,0)，

直线的方程为y＝

2

3(x＋2)，

将其代入y2＝4x得：x2－5x＋4＝0，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝5，x1x2＝4，

∴FM

→

·FN

→

＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2

＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋

2

3(x1＋2)·

2

3(x2＋2)

＝

13

9x1x2－

1

9(x1＋x2)＋

25

9

＝

13

9×4－

1

9×5＋

25

9＝8.]

5．(2019·浙江百校联盟联考)已知椭圆

x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为A、B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C 的直线交椭圆于M、N两点．若四边形F AMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为() A.

3

5 B.

1

2 C.

2

3 D.

3

4

解析：A[因为圆O与直线BF相切，所以圆O的半径为

bc

a，即|OC|＝

bc

a，因为四边形F AMN是平行四边形，所以点M的坐标为????

a＋c

2，

bc

a，代入椭圆方程得

(a＋c)2

4a2＋

c2b2

a2b2＝1，所以5e2＋2e－3＝0，又0

3

5.故选A.]

6．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.

解析：设直线AB的方程为y＝k(x－1)，由

??

?

??y2＝4x

y＝k(x－1)

得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，

B(x2，y2)．

则x1＋x2＝

2k2＋4

k2，x1·x2＝1.

∵∠AMB＝90°，∴k MA·k MB＝－1

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解y 1－1x 1＋1·y 2－1x 2＋1

＝－1. 化简得k 2－4k ＋4＝0，解得k ＝2.

答案：2

7．过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p ＞0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则p 的值是________．

解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p

， 切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p (x －x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p

.又点M (2，－2p )位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 212p

，即x 21－4x 1－4p 2＝0；同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.由线段AB 的中点的纵坐标是6得，y 1

＋y 2＝12，即x 21＋x 222p ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22p ＝12，16＋8p 22p

＝12，解得p ＝1或p ＝2. 答案：1或2

8．(2019·泉州市模拟)椭圆x 24＋y 23

＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点F 2作一条直线l 交椭圆与P 、Q 两点，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是________________________________________________________________________．

解析：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F 1PQ 的周长是定值8，所以只需求出△F 1PQ 内切圆的半径的最大值即可．

设直线l 方程为x ＝my ＋1，与椭圆方程联立得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4

， 于是S △F 1PQ ＝12

|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋1(3m 2＋4)2. ∵m 2＋1(3m 2＋4)2＝19m 2＋9＋1m 2＋1

＋6≤116， ∴S △F 1PQ ≤3

所以内切圆半径r ＝2S △F 1PQ 8≤34，因此其面积最大值是916

π. 答案：916

π 9．(2019·北京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12

，椭圆的短轴端点与双曲线y 22

－x 2＝1的焦点重合，过点P (4,0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．

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(1)求椭圆C 的方程；

(2)求OA →·OB →的取值范围．

解：(1)由题意知e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，所以a 2＝43

b 2. 因为双曲线y 22

－x 2＝1的焦点坐标为(0，±3)， 所以b ＝3，所以a 2＝4，

所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23

＝1. (2)当直线l 的倾斜角为0°时，不妨令A (－2,0)，B (2,0)，则OA →·OB →＝－4，

当直线l 的倾斜角不为0°时，设其方程为x ＝my ＋4，

由?????

x ＝my ＋4，3x 2＋4y 2＝12?(3m 2＋4)y 2＋24my ＋36＝0， 由Δ>0?(24m )2－4×(3m 2＋4)×36>0?m 2>4，

设A (my 1＋4，y 1)，B (my 2＋4，y 2)．

因为y 1＋y 2＝－24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4

， 所以OA →·OB →＝(my 1＋4)(my 2＋4)＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋4m (y 1＋y 2)＋16＋y 1y 2＝1163m 2＋4

－4， 因为m 2>4，所以OA →·OB →∈????－4，134.

综上所述，OA →·OB →的取值范围为?

???－4，134. 10．(2019·贵阳市一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22

，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，椭圆C 的焦点F 1到双曲线x 22－y 2＝1渐近线的距离为33

. (1)求椭圆C 的方程；

(2)直线AB ：y ＝kx ＋m (k ＜0)与椭圆C 交于不同的A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆经

过点F 2，且原点O 到直线AB 的距离为255

，求直线AB 的方程． 解：(1)∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22

， ∴c a ＝22，∵双曲线x 22

－y 2＝1的一条渐近线方程为x －2y ＝0， 椭圆C 的左焦点F 1(－c,0)，

∵椭圆C 的焦点F 1到双曲线x 22－y 2＝1渐近线的距离为33

.

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∴d ＝|－c |1＋2＝33

＝c 3得c ＝1， 则a ＝2，b ＝1，

则椭圆C 的方程为x 22

＋y 2＝1； (2)设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由原点O 到直线AB 的距离为255

，得 |m |1＋k 2

＝255， 即m 2＝45

(1＋k 2)，① 将y ＝kx ＋m (k ＜0)代入x 22

＋y 2＝1；得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， 则判别式Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝8(2k 2－m 2＋1)＞0，

∴x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2

， ∵以线段AB 为直径的圆经过点F 2，

∴AF 2→·BF 2→＝0，

即(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0.

即(x 1－1)(x 2－1)＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0，

即(1＋k 2)x 1x 2＋(km －1)(x 1＋x 2)＋m 2＋1＝0，

∴(1＋k 2)2m 2－21＋2k 2

＋(km －1)????－4km 1＋2k 2＋m 2＋1＝0， 化简得3m 2＋4km －1＝0 ②

由①②得11m 4－10m 2－1＝0，得m 2＝1，

∵k ＜0，

∴?????

m ＝1k ＝－12

，满足判别式Δ＝8(2k 2－m 2＋1)＞0， ∴AB 的方程为y ＝－12

x ＋1.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/541q.html