2010年全国高中数学联赛贵州省预赛试题及答案

声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》

2010年全国高中数学联赛

贵州赛区预赛

试题所涉及的知识范围不超出现行《全日制普通高中高级中学数学教学大纲》中所规定的教学内容和要求，在方法的要求上有所提高，主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，包括8道填空题和3道解答题，全卷满分120分，考试时间为150分钟.

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试 题

一、 填空题（每小题8分，共64分）

1、已知函数f(x)?x2?2ax?3a2,且方程f(x)?8有三个不同的实根，则实数

a= . 2、设

?x?表示不超过

x的最大整数，则

?lg1???lg2???lg3???????lg2010?? . 3、l1,l2,???,l100为100条共面且不同的直线，若其中编号为4k(k?N?)的直线互相平行，编号为4k?1的直线都过定点A．则这100条直线的交点个数最多为 .

4、若将半径为12cm四个篮球在水平地面上任意堆放，则你能堆放的最大高度是 cm.

)是抛物线上一点，则5、若抛物线y2?2x的焦点是F，准线是l，点M(2,m经过点F、M且与l相切的圆一共有 个.

6、若直线ax?by?2?0(a?0,b?0)和函数y?logc(x?2)?2(c?0且c?1)的图象恒过同一个定点，则?的最小值为 . 7、 若esin??lncos??ecos??lnsin?，且???0,2??，则角?的取值范围是 .

8、已知半径分别为2,3的两圆外切于T，直线MN为此两圆的外公切线且

M,N分别为切点，则

MT? ． NT1a1b

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二、解答题（第9小题16分，第10小题20分，第11小题20分，共56分）

x2y29、已知椭圆2?2?1(a?b?0)，过坐标原点O的直线l交椭圆于A、B两

ab????????????????点，C是椭圆上的一点，且满足OA?OC?OB?OC．

（１）求证：????2?????2是定值；

OAOC11（２）求?ABC面积的最小值.

10、已知数列?an?满足a1?1,a2?6,4an?1?an?1?4an(n?2)。 （１）求数列?an?的通项公式； （２）求数列?an?的前n项和Sn.

a3?b3?c311、已知a,b,c是Rt?ABC的三边，c为斜边，若y?，求y的取值2c(a?b?c)范围.

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解 答

1、 方程f(x)?8有三个不同的实根，即函数y?x2?2ax?3a2的图象与直线y?8有三个交点，由图象知，f(a)?8?a2?2a2?3a2?8?a??2.

2、因为

1?k?9??lgk??0, 10?k?99??lgk??1,

100?k?999??lgk??2,1000?k?2010??lgk??3

所以

?lg1???lg2???lg3???????lg2010??90?1?900?2?1011?3?4923.

23、100条直线任意两条的组合有C100,其中编号为4k(k?N?)的直线互相平

行，编号为4k?1的直线都过定点A，所以这100条直线的交点个数最多为

222C100?C25?C25?1?4351.

4、四个篮球在水平地面上任意堆放的最大高度应是四个篮球两两相切的堆放在地面上，其中球心相连形成棱长为24cm的四面体，此四面体的高为

86cm，所以能堆放的最大高度应是24?86cm.

5、因为点M(2,m)在抛物线y2?2x上，所以m??2，即M(2,?2)，又焦点

?1?F?,0?,由抛物线的定义知，过点F、M且与l相切的圆的圆心即为线段FM的?2?垂直平分线与抛物线的交点，这样的交点共有四个，故过点F、M且与l相切的圆共有四个.

6、因为函数y?logc(x?2)?2的图象恒过点??1,2?，故?a?2b?2?0，即

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1a?b?1. 2又因为a?0,b?0,所以

11?1??11?3ba3???a?b?????????2， ab?2ab2a2b2???等号当且仅当a?2b时成立. 7、由

esin??lncos??ecos??lnsin??esin??lnsin??ecos??lncos?，

设f(x)?ex?lnx，则f(sin?)?f(cos?)，因为函数f(x)?ex?lnx在?0,???上是增函数，所以sin??cos??0，又因为??(0,2?)，故

??????3???5?3???3?7?????,???,???,???,?.

42244224????????8、如图,?C,?D的半径分别为2,3.设?MCT??,则?NDT????, 因为直线MN与?C,?D相切于M,N,所以

MNCTD

?NMT?

???2?2,?MNT???NMT??MNT??2??MTN??2,

由

?MT2?22?22?2?2?2cos??232MT6?NT?3?3?2?3?3cos(???). ???222NT3?MT?NT?MN?MN2?(3?2)2?(3?2)2?注:也可用坐标法或平面几何法.

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????????????????????????????????????????????9、由OA?OC?OB?OC?OC?(OA?OB)?0?OC?AB?0?OC?AB ????????又点O、A、B同为直线l上的三点，所以OC?OA.

（1）

?????????设OA?r1,OC?r2,?xOA??,则?xOC???.

2?于是点A、C的坐标分别为?r1cos?,r1sin??,?rcos(??),rsin(??)2?2?. 22????因为点A在椭圆上,所以

?r12cos2?r12sin2???1?a22b??2??222?r2cos(??)r2sin(??)2?2?1?22ab??1cos2?sin2??r2?a2?b2,???122?1?sin??cos?.2?a2b2?r21111?2?2?2?2,r1r2ab

故????2?????2是一个定值.

OAOC11(2)S?ABC?????????????1????AB?OC?OA?OC?r1?r2.由(1)得 2111122a2b2??22?2?r1r2??,

11a2?b2a2b2r1r2?a2b2当r1?r2,即当A、B、C三点共圆时等号成立。故?ABC面积的最小值是

2a2b2. a2?b2

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10、（1）因为a1?1,a2?6,4an?1?an?1?4an(n?2)，所以

an?1?2an?2(an?2an?1),a2?2a1?4?an?1?2an?4?2n?1an?1anan111n??1???(n?1)?1?n??a?(n?)?2 nn?1nn222222?an?(2n?1)?2n?1?（2）由（1）知：

Sn?1?3?2?5?22?????(2n?3)?2n?2?(2n?1)?2n?1 ①

①?2：

2Sn?2?3?22?5?23?????(2n?3)?2n?1?(2n?1)?2n ②

①?②:

?Sn?1?2?2?2?22?2?23?????2?2n?1?(2n?1)?2n22(1?2n?1)?1??(2n?1)?2n?(3?2n)?2n?31?2?Sn?(2n?3)?2n?3

即

Sn?(2n?3)?2n?3(n?N?).

11、因为a,b,c是Rt?ABC的三边，c为斜边，所以a2?b2?c2. 令??a?ccos??(0???),所以

2?b?csin?c3cos3??c3sin3??c3cos3??sin3??1y??2c(ccos??csin??c)(cos??sin??1)2(cos??sin?)(cos2??cos??sin??sin2?)?1?

(cos??sin??1)2(cos??sin?)(1?cos??sin?)?1?(cos??sin??1)2又令x?cos??sin?，因为0???,所以

2??x?cos??sin??2sin(??)?1,2??, 4?x2?1cos??sin??

2

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于是

x2?1x(1?)?12?3x?x32y??(x?1)22(x?1)2(2?x?x2)(x?1)2?x?x2 ??2(x?1)22(x?1)(2?x)(x?1)1??1??x2(x?1)2?121??显然y?1??x在x?1,2?上是减函数,所以y??1?,?此即为y的取值?，222???范围.

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