七中2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题解析

成都七中2013—2014学年度下期

高一数学期末考试试卷

（考试时间：120分钟 满分：150分）

【试卷综析】注重对基本知识和基本技能的考察：试题利用选择、填空、解答三种题型，全面考察了这一阶段学习的高中数学的基本知识和基本技能，考查了数形结合的思想方法；注重能力考查，在知识中考能力，试题体现考虑基础的一面，但并没有降低对能力的要求，靠单纯的记忆公式就能解决的问题不多，而是将数学思想、数学素质、能力融入解题过程中。试题通过不同的数学载体全面考查学生的基本运算能力、逻辑推理能力. 一、 选择题（共50分）

骣11.已知a=(1,sina),b=琪cosa,,且a//b，则锐角a等于（ ）. 琪2桫A. 30 B. 45 C. 65 D. 75 【知识点】向量共线定理的坐标运算. 【答案解析】B解析 ：解：∵a//b，∴1?∵a是锐角，∴2a?000000120sinacosa=00,，化为sin2α＝1．

180)．∴2a=90，解得a=45．故选：B． (0，【思路点拨】利用向量共线定理的坐标运算即可得出．

2.已知A，B，C是直线l上三点，M是直线l外一点，若MA=xMB+yMC,则x,y满足的关系是（ ）

A. x+y 0 B. x+y>1 C. x+y<1 D. x+y=1

【知识点】向量共线的基本定理.

【答案解析】D解析 ：解：因为A，B，C是直线l上三点，所以A，B，C三点共线，则有

AB=kBC，又因为AB=MB-MA,BC=MC-MB，由以上三个式子联立可以得到：

MB-MA=kMC-MB，整理可得MA=(1+k)MB+(-k)MC，而已知条件当中有

()MA=xMB+yMC,由此可得x=1+k,y=-k，故x+y=1，故选D.

【思路点拨】先借助于A，B，C三点共线，则有AB=kBC，然后用k表示出MA进而比较可得x+y=1.

3.已知a+4b=1，则ab的最大值是（ ） A．

221111 B. C. D. 2438【知识点】基本不等式.

22【答案解析】B解析 ：解：因为a+4b=1，所以

211a+(2b)1a2+4b2ab=a(2b)４=?2222221，故选B. 4【思路点拨】利用基本不等式直接求最大值即可. 4.已知a+b>0，c>0，则a+b+c琪琪(4的最小值是（ ） )桫a+bc+骣1A.5 B.6 C.8 D.9 【知识点】基本不等式.

骣1骣14轾4琪【答案解析】D解析 ：解：把原式变形(a+b+c)琪 +=a+b+c+)(琪琪臌a+bca+bc桫桫=5+4a+b)c+(，又因为a+b>0，c>0，所以利用基本不等式可得 a+bc5+4a+b)cc4(a+b)+(?52?a+bca+bc5+4=9，故选D.

【思路点拨】把原式变形后利用基本不等式直接求最大值即可.

ìx-y 0??5.设变量x,y满足约束条件íx+y 1，则目标函数z=2x+y的最小值是（ ）

???x+2y 1A．

31 B．1 C． D．2 22【知识点】简单的线性规划.

【答案解析】B解析 ：解：先根据约束条件画出可行域，

当直线z=2x+y过点A琪琪,骣11时，z最小值是1，故选B． 33桫【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表

示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可． 6.平面上A,B,C三点不共线，O是不同于A,B,C的任意一点，若

(OB-OC)(AB+AC)=0，则DABC的形状是（ ）

A.等腰D B.RtD C.等腰直角D D.等边D 【知识点】向量的基本运算；中垂线定理.

ABC，设BC中点为E点，O是不同于【答案解析】A解析 ：解：根据题意画出图形为DA,B,C的任意一点，OB-OC()(AB+AC)=0，即CB?2AE0,所以AE是BC的中

ABC是等腰D，故选A. 垂线,所以AB=AC,故DABEC

【思路点拨】画出图形后利用已知条件得到CB?2AE0，然后再利用中垂线的性质即可.

7.已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位cm）可得这个几何体的体积

是（ ）

A.

48cm3 B. cm3 C.3cm3 D.4cm3 33【知识点】三视图的应用;空间几何体的体积.

【答案解析】B解析 ：解：由三视图可知，该几何体为四棱锥，底面ABCD为边长为2cm的正方体，OE⊥CD且E是CD的中点，

所以棱锥的高OE=2cm．所以四棱锥的体积为128创22＝cm3．故选B． 33【思路点拨】由三视图可知，该几何体为四棱锥，分别确定底面积和高，利用锥体的体积公式求解即可． 骣310,8.如果将OA=琪,绕原点O逆时针方向旋转120得到OB，则OB的坐标是（ ）

琪22桫骣13骣31琪琪A.-,琪22 B.琪2,-2 C. -1,3 D. 桫桫()骣31琪-, 琪桫22【知识点】向量间的关系；点的对称性.

骣310【答案解析】D解析 ：解：因为OA=琪,所在直线的倾斜角为30，绕原点O逆时

琪22桫针方向旋转120得到OB所在直线的倾斜角为150，所以A,B两点关于y轴对称，由此可

00骣31骣31-,，故OB的坐标是琪-,，故选D. 知B点坐标为琪琪琪2222桫桫骣310,【思路点拨】将OA=琪,绕原点O逆时针方向旋转120得到OB后可得A,B两点关

琪22桫于y轴对称，据此可得结果.

2tan1301300sin6，b=9.设a=cos6-,则有（ ） 201+tan1322A. ab C. a3b D. a,b的大小关系不确定 【知识点】两角差的正弦公式；万能公式；正弦函数的单调性.

2tan13013000=sin260，sin6=sin24,b=【答案解析】A解析：解：因为a=cos6- 201+tan1322由正弦函数的单调性可知sin24

【思路点拨】先把两个三角式化简，再利用正弦函数的单调性即可.

10.如图，在直角梯形ABCD中，DA=AB=1,BC=2点P在阴影区域（含边界）中运动，

00

则有PABD的取值范围是（ ）

A．犏-,1 B．犏-1,轾1犏2臌轾1 C．[-1,1] D．[-1,0]

犏臌2【知识点】向量的坐标表示；简单的线性规划.

【答案解析】C解析：解：以BC所在的直线为x轴，以BA所在的直线为y轴建立坐标系，如下图：

可得B0,0,C2,0,A0,1,D1,1,设Px,y,所以PABD=-x-y+1，令

()()()()()z=-x-y+1，由几何意义可知z表示y轴上的负截距，可知过B(0,0)时有最大值1，与DC

重合时有最小值-1，故答案为-1,1.

【思路点拨】建立坐标系后用坐标表示出PABD后再借助于线性规划求得最值. 二、填空题（共25分）

11.已知数列{an}为等差数列，前九项和S9=18，则a5=_________ ． 【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质. 【答案解析】2解析 ：解：

[]9(a1+a9)S9==9a5=18,\\a5=2，故答案为：2.

2【思路点拨】利用等差数列的前n项和以及等差数列的性质找出S9与a5间的关系解之即可. 12.如果数列{an}满足

11-=1，a1=1，则a2014=_________ ．

an+1an【知识点】 等差数列的通项公式；等差数列的定义.

禳1111镲【答案解析】解析 ：解：因为a1=1，-=1，所以数列睚是以1为首项，

2014an+1anan镲铪1为公差的等差数列，则有

111=+(n-1)d=1+(n-1)?1n，所以=2014，即 ana1a2014a2014=11，故答案为. 20142014禳1镲【思路点拨】由等差数列的定义可得数列睚是等差数列，然后求其通项公式再求结果即

an镲铪可.

13.圆柱形容器内盛有高度为4cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是________ cm.

【知识点】组合几何体的面积、体积问题．

【答案解析】2解析 ：解：设球半径为r，则由3V可得球+V水=V柱3?43prpr2创4＝pr26r，解得r=2．故答案为：2. 3【思路点拨】设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．

14.在等比数列{an}中，a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=3，则该数列的前9项的和等于_____ ．

【知识点】等比数列的性质.

【答案解析】13解析 ：解： 因为a4+a5+a6=q以q3=3，而a7+a8+a9=q33(a+a12+a3)=3，a1+a2+a3=1,所

(a4+a5+a6)=3?39，所以该数列的前9项的和

S9=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+(a7+a8+a9)=1+3+9=13，故答案为:13.

【思路点拨】利用已知条件先求得a7+a8+a9，再求该数列的前9项的和即可. 15.化简：cos100cos401-sin1000=_____ ．

【知识点】诱导公式；二倍角的余弦公式的逆用；辅助角公式.

【答案解析】2解析 ：解：cos100cos401-sin1000=cos250-sin250cos400(cos50-sin502) 2sin450cos50+cos450sin50cos50+sin502sin500====2,故答案为2. 000cos40cos40cos40【思路点拨】借助于三角公式进行化简即可. 三、解答题（共75分）

()ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若b2=ac,且a2+bc=ac+c2. 16. D（1）求DA的大小; （2）求

bsinB的值. c【知识点】正弦定理；余弦定理. 【答案解析】（1）A=60（2）3 21?A60. 6分 2ìb2=ac??22?cosA解析 ：解：(1) ía+bc=ac+c?222?a=b+c-2bccosA? (2)

bsinBsinB?sinB22，又b?ac，有sinB?sinAsinC，则 ?csinC

bsinB3. 12分 ?sinA?c2【思路点拨】（1）利用已知条件结合余弦定理即可得到结果；（2）正弦定理结合已知条件

b2?ac的变形sin2B?sinAsinC即可.

17.已知cosa+b=()13,cos(a-b)=. 55（1）求tanatanb的值；

（2）若a+b?0,pa()骣3pb?琪琪,0,求cos2b的值.

桫2【知识点】两角和与差的余弦公式. 【答案解析】（1）

13-86（2） 2251?cos(???)???5解析 ：解：(1) ??cos(???)?3cos(???)

3?cos(???)??5?

?4sin?sin??2cos?cos??tan?tan??1 5分 21?cos(???)?26? (2) ? 6分 5?sin(???)?5??????(0,?)3?cos(???)????5?????(?,0) 7分 ?2?????(?3?,0)?2?4sin(???)?? 8分

5cos2??cos[(???)?(???)]?3?86 12分 25【思路点拨】（1）把两个已知条件展开即可；（2）用a+b与a-b表示出2b即可求cos2b. 18.已知a>0,解关于x的不等式ax-2a+1x+4<0. 【知识点】含参数的一元二次不等式的解法.

【答案解析】不等式的解集为当0?a?1，解为2?x? 当a?1，无解

解析 ：解：方程ax2?2(a?1)x?4?0的两根为,2，

2()22；当a?1，解为?x?2； aa2a22?2，解为2?x?； 4分 aa22 2当a?1，即?2，解为?x?2； 8分

aa2 3当a?1，即?2，无解； 11分

a22综上，不等式的解集为当0?a?1，解为2?x?；当a?1，解为?x?2；

aa 当a?1，无解 12分

1当0?a?1，即

【思路点拨】对参数进行分类讨论即可.

19.已知向量p1=cosa,sina，向量p2=cosb,sinb. （1）求p1在p2方向上的投影； （2）求p1+2p2的最大值；

()()p（3）若a-b=，l?R，an=轾lp1 p2犏臌3()n，Sn=a1+a2+...+an，求Sn.

【知识点】向量的数量积公式; 向量的坐标表示; 分类讨论的思想方法;等比数列求和.

ìn,l=2??【答案解析】（1）cos(a-b)（2）3（3）Sn=íl(1-(1l)n)

?2,l12?2-l?解析 ：解：(1) p1在p2方向上的投影为p1?p2|p2|=cos(???) 3分

(2) |p1+2p2|2=5+4cos(???)?9?|p1+2p2|?3，

当cos(???)?1，即当????2k?(k?Z)时，|p1+2p2|max?3， 7分

?an?(?p1?p2)n?(?cos(???))n1n? (3) ??a?(?)， 9分 n?2?????3?11Sn?(?)1?(?)2?221?(?)n， 2ìn,l=2??11l(1-(l)n)??2Sn=í2,l构2且l1?1-l?2???0，l=0ìn,l=2??0=íl(1-(1l)n) 12分

?2,l12?2-l?【思路点拨】（1）利用向量的数量积公式的变形公式即可；（2）用向量的坐标表示出p1+2p2再求最大值即可；（3）利用分类讨论的思想方法求等比数列的前n项和即可. 20.已知函数f(x)=cos2x+23sinxcosx-sin2x.

轾p（1）当时x?犏0,，求f(x)的值域；

犏臌2（2）如果f(q)=（3）如果f(q)=6p2p，

410

解析 ：解：（1）解：f(x)?cos2x?3sin2x?2sin(2x??6)… 2分

???7? ?x?[0,] ??2x??26661????sin(2x?)?1 … 3分

26?f(x)的值域为[?1,2] … 4分

6?3 ?sin(2??)? 565?2???3?又， ??2??? ???63262?4 ? cos(2??)?? …5分

65（2）

f(?)??cos2??cos[(2???)?] …7分

66?4331???? =cos(2??)cos?sin(2??)sin =????

52526666 =3?43 …8分 10f(?)?6?3?sin(2??)? 565??3?cos(?2?)?sin(2??)? …10分

365（3）

sin2(??)1?cos(?2?)?63 …12分 ??tan2(??)???6cos2(??)1?cos(?2?)6331?1=5? … 13分

341?5【思路点拨】（1）先把函数化简，然后再借助于定义域可求；（2）利用已知条件可求出

??pp??sin(2q+),cos(2q+)，然后代入cos2??cos[(2??)?]的展开式即可；（3）利

6666用正切式可求.

n21.已知数列{an}的前项n和Sn=2an-3?24n N*.

()（1）求证数列睚n是等差数列； n（2）设Tn是数列{Sn-4}的前项n和，求Tn；

禳a镲镲2铪