中职数学（基础模块上册 语文版）教学分析：第十单元 概率与统计

第十单元 概率与统计初步

一 教学要求

1．掌握分类计数原理和分步计数原理． 2．理解随机事件，频率和概率的概念． 3．理解概率的简单性质． 4．了解直方图与频率分布的概念． 5．了解总体与样本的概念． 6．了解样本的抽样方法．

7．理解均值标准差的概念；会用样本均值、标准差估计总体均值、标准差． 8．了解相关关系及一元线性回归分析．

9．培养学生的计算工具使用技能，数据处理技能和分析与解决问题能力．

二 教材分析和教学建议 （一）编写思路

1．由浅入深，强调基础

概率与统计这部分知识，对于中职的学生来讲，无论是在概念、公式的含义上，还是在解题的思路上，都有一定难度，由于他们的数学基础水平低，学习起来困难会多一些．但是概率统计作为应用知识的一部分，更是一种重要的思想方法，一种思维方式，是他们应该学习和了解的．因此，本单元概率与统计初步在编写中，遵照大纲精神，选择了概率统计中最基础最重要的知识，由浅入深，多讲实例，淡化理论，强调理解与应用．在概率部分，只介绍了随机事件和频率的概念；给出了概率的统计定义和概率的简单性质；在统计方面，则在复习初中学过的简单统计知识的基础上，只介绍了样本的概念与抽样方法，用样本估计总体的方法．

2．多讲实例，淡化理论

为了降低难度，便于学生理解与掌握，教材中的概念大多是通过实例引入的，对于一些公式，则略去了推导与证明，只是作了一些必要的说明，如互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的乘法公式等．在这里，教材都通过例题讲解了公式的使用方法，强调了对公式的直接应用．

3．加强计算器及计算机相关软件的使用

本单元中，样本的抽取，总体的频率分布，均值与标准差，用样本估计总体的均值与标

准差，回归分析等部分由于涉及的一些计算比较复杂，都需要使用计算器或计算机相关软件，从而培养学生的计算工具的使用技能，数据表格处理技能及分析，解决问题能力．教材在各相应部分安排了应用计算器和计算机相关软件解题的内容．

4．重点与难点

本单元的重点概念是： 随机事件，频率，概率，总体，个体，样本，频率分布，均值，标准差等．重要方法是：简单随机抽样的方法，用样本估计总体的方法，回归分析的方法．重要思想是：随机思想、统计思想．

本单元的难点是：概率的概念，样本对总体的估计，回归分析，用概率统计知识解决实际问题．

（二）课时分配

本单元教学约需16课时，分配如下（仅供参考）： 10．1计数原理

约2课时

约2课时 约2课时

约2课时

10．2随机事件与概率 10．3概率的简单性质

10．4直方图与频率分布 10．5总体与样本 10．6抽样方法

约1课时 约1课时

约2课时 约1课时

10．7均值与标准差 10．8用样本估计总体 10．9一元性回归 归纳与总结

约1课时

约2课时

（三）内容分析与教学建议

10．1 计数原理

1．教材通过对两个具体实例进行分析，引进了分类计数的加法原理和分类计数的乘法原理．实际上这两个原理本身就是人们通过大量实践经验归纳抽象出来的，因此称为“基本原理”．在本单元中，它们是概率统计计算的依据．

2．教学时，在给出原理之前，一定要使学生获得必要的感性认识，对引例要讲得清晰明确．

（1）叙述和讲解例题时，要准确使用分类及分步等术语；

（2）将分类及分步的具体内容列举出来；

（3）讲过加法原理之后，在讲乘法原理的引例的时候，一定要和加法原理的引例加以比较，突出它们的区别；

（4）让学生直接参与基本原理的引入，除了解答教材中提出的问题外，还可以让学生自己举出一些类似实例，以使学生由被动接受变为主动思考，然后由师生一起归纳出基本原理．

3．两个原理都讨论“做一件事”，确定“完成这件事所有的不同方法的种数”但这里所指的“做一件事”是一个比较抽象的概念，它不同于学生在小学、初中解应用题时遇到的“做一件工作”、“完成一项工程”等，其含义比这要广泛得多，讲解例题时，要着重说明该题的“做一件事”究竟指的是什么．例如：

（1）从甲地到乙地； （2）从甲地经乙地到丙地； （3）从三个班中任选一名三好学生； （4）从三个班中各选一名三好学生；

（5）由5个数字组成没有重复数字的两位偶数．

这些都是原理中所说的“做一件事”．明确了什么叫“做一件事”，才能去分析完成这件事可以采取什么方法，是分类还是分步，从而确定该题是使用分类计数的加法原理还是分类计数的乘法原理．

4．教材明确指出了两个基本原理的区别，这在教学中要结合实例加以阐述和强调，同时要注意：

（1）“做一件事，完成它可以有n类方式”，这里是对完成这件事的所有方式的一个分类．分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在这个确定的标准下进行分类．标准不同，分类的结果就不同．其次，分类应满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法都是不同的方法，只有满足这些条件，才能正确使用分类计数的加法原理．

（2）“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这里是指完成这件事的任何一种方法，都要分成n步执行．和分类计数的加法原理一样，分步时，首先要根据问题的特点确定一个分步的标准，然后在这个确定的标准下进行分步．标准不同，分成的步骤数也可以不同．一个合理的分步还必须满足两个要求：第一，完成这件事必须而且只需连续完成这n步．这就是说，分别选自这n个步骤的n个方法，对应了完成这件事的一种做法；第二，做每一个步骤时，选用的方法和做上一个步骤时选用的方法是无关的，并且每一个步骤的完成方法种数正好是完成这个步骤所有方法的种数．只有满足这些条件，才能正确使用分步计数的乘法原理．

5．例题的教学，要紧密联系基本原理，有意识地培养学生从两个基本原理出发思考问

题的习惯．简单的问题，可以单独使用分类计数的加法原理或分类计数的乘法原理，有些问题常常同时要用到两个基本原理或可以分别用两个原理去做．稍复杂一些的问题，在具体“分类”和“分步”时，学生常常感到困难，因此需要多多练习，不断积累经验，逐步做到恰当分类，合理分步．

10．2 随机事件与概率

1．本节内容包括随机现象，随机试验，随机事件，频率等基本概念及概率的统计定义． 2．通过观察几个例子，教材接连给出了随机现象，随机试验，随机事件这三个概念，它们之间虽然没有概念的种属关系，但彼此是有关联的，都是在前一个概念的基础上，定义后面的概念，接下来与事件有关的概念也是这样给的，这种给出的形式密度虽显稍大，但是学生并不难理解，反而会感到前后关联，容易接受．为了便于学生理清层次，可给出下面的链式：

现象→随机现象→随机试验→随机事件（含必然事件和不可能事件）→基本事件→复合事件．

为了使学生更好地理解这些概念，教师可根据实际，多举一些例子．其中搞清基本事件的个数是个难点，教学中应注意培养学生这方面的能力．

3．研究随机现象的规律性是通过随机试验进行的．关于随机试验，有如下严格的定义： （1）试验在相同条件下，可以重复进行；

（2）每次试验的结果不止一个，而且所有可能结果事先都是明确的； （3）每次试验在其最终结果揭晓前，无法预言会发生哪一个结果．

4．随机事件在一次试验中是否发生，不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生会呈现出一定的规律性，怎样观察和发现这种规律性呢？这种规律性是通过什么体现出来呢？通过观察事件在大量重复试验中所发生的频率，可以发现这种规律．频率是这样一个量，即该事件发生的次数与试验总次数的比值，频率随试验次数的不同而不同．这一点通过教材中的例子可以清楚地反映出来．

5．频率具有稳定性．这种稳定性把随机事件发生的可能性大小客观地反映出来，利用这种稳定性，教材给出了概率的统计定义．可以认为概率是频率在理论上的期望值．例如，对一批零件进行抽查计算，得出这批零件合格品的概率是98%，那么，如果将这批零件全部装箱，其中每箱装1000个，那么可以估计平均每箱含有合格品980个，这是箱中含有合格品数的理论上的期望值．但在实际情况中，每箱的合格品数可能略多于980个也可能略少于980个．

6．对于必然事件，因为每次试验中它一定发生，试验重复进行n次，它也发生n次，因此它的频率总是1；对于不可能事件，因为每次试验中它一定不发生，试验重复进行n次，

它发生的次数应是0，因此它的频率总是0.

7．概率的统计定义实质是给出了概率的近似值，用抛掷硬币这个传统，经典的试验，说明一个事件的频率稳定在它的概率左右，是多数教科书的编者所采取的方法，这个试验简单，做起来方便，不需要什么成本，任何人随时随地都可以做，所以教学中教师也不妨让学生做一做，亲自试验体验一下．

8．事件的频率和事件的概率是两个不同的概念，随机事件的频率与试验次数有关的一个相对数量，是随着试验的不同而不同．而事件的概率反映的是随机事件的某种本质属性，是与试验次数无关而客观存在的一个确定的数．频率是概率的表现形式，概率决定着频率的变化趋势，概率才是随机现象的本质属性．

9．本节教学内容的重点是随机事件等有关概念和概率的统计定义，频率的计算，概率的确定．难点是搞清基本事件的个数，确定某事件的概率及分析概率问题的思想方法，解题思路．概率问题的思考方法，学生接受起来比较困难，为此，应加强概念教学，加强对容易混淆的概念的区别与比较，来加深学生对有关概念的理解．

10．3 概率的简单性质

1．本节内容包括概率的四个简单性质：

（1）必然事件的概率等于1，不可能事件的概率等于0； （2）对于任何事件A，有0≤P（A）≤1；

（3）如果A，B是互斥事件，那么P（A＋B）＝P（A）＋P（B）； （4）如果A，B是相互独立事件，那么P（A·B）＝P（A）·P（B）．

2．由于必然事件的频率总是1，所以它的概率等于1，由于不可能事件的频率总是0，所以它的概率等于0；根据，0≤W（A）≤1，不难得到0≤P（A）≤1，这里的事件A显然是随机事件、必然事件、不可能事件三者的统称．

3．性质（3）是互斥事件的概率加法公式．

互斥事件是指在一次随机试验中，不可能同时发生的两个事件，在众多事件中，辨认、识别互斥事件，举出互斥事件和非互斥事件的例子，是使学生理解并掌握这一概念的方法．教师可以学生熟悉的实例，让学生多做一些这样的练习．

所谓“A＋B”事件，是指在同一试验中，A或B中有一个发生它就发生的事件．教材中提到的“A或B中至少有一个发生”的事件就是指“A＋B”事件．实际上，对于“A＋B”事件，不论A与B是不是互斥事件，总是存在的．互斥事件的概率加法公式，教材是直接给出的，没有加以证明，教材主要是要求学生能理解其含义，掌握其使用条件，会用来计算即可．例1是互斥事件的概率加法公式的直接应用．

4．对立事件是互斥事件的一部分，即其中必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事

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分的知识可以算得，当a，b为下列值时，所得回归直线最好” ，然后就是结论：

a＝y－bx，

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Sxy b＝，

Sxx

1n1n

其中，x＝?xi，y＝?yi，

ni＝1ni＝1Sxy＝?xiyi－nxy，

i＝1n

2

Sxy＝?x2i－nx.

i＝1

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n

这里，只要求学生会用这些公式计算，求出a，b即可．对于这些较复杂的计算，还是训练学生使用计算器和计算软件计算为好．

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5．教学中应告诉学生，回归方程y＝a＋bx与具有函数关系的直线方程y＝a＋bx不同．满足函数关系y＝a＋bx的任意一点（xi，yi）一定落在直线y＝a＋bx上，而有相关关系的两个

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变量的任一观测点（xi，yi）都不能保证严格地落在直线y＝a＋bx上．

^^

6. 本节教学内容的重点是一元线性回归方程的建立，难点是方程系数a，b的计算．

（四）复习建议

1．学完全单元之后，学生需要对全章知识要点有一个清楚的了解，教材以填空题的形式对全单元内容作了归纳与总结，目的是让学生参加归纳与总结的过程，以达到复习的效果．

2．本单元从知识结构上分为三部分：计数原理、概率与统计． 计数原理部分分别介绍了分类计数的加法原理和分步计数的乘法原理；

概率部分在介绍了随机事件，随机试验，基本事件，频率等基本概念之后给出了概率的统计定义，并安排了概率的简单性质等内容；

统计部分在复习了总体，个体，样本等概念之后，介绍了抽取样本的三种方法，在用样本推断总体方面，给出了用样本频率分布推断总体频率分布的频率分布直方图，用样本均值推断总体均值，用样本标准差推断总体标准差的估计，最后简单介绍了相关关系及回归分析．

3．在本单元的复习中，应结合专业，加强实践，做到理论能联系实际．例如：关于抽取样本的内容比较繁琐，实际操作上有许多程序，写下来颇费纸张，这部分复习时，就应以实践为主，可以找一个学生熟悉的例子，用适当的方法搞一次抽样调查，在实践中，教师和学生共同总结这部分内容．

4．在本单元的复习中，应加强计算器和计算软件的使用教学，在“归纳与总结”中，特意安排了一个计算器和计算软件使用的例题，目的是希望教师能在复习中集中指导 一下计算器和计算软件的使用，提高学生使用计算工具和数据处理的能力．

5．本单元教材的重点是随机事件，频率，概率，总体，个体，样本，频率分布，均值，标准差等概念．简单随机抽样，用样本估计总体，回归分析等方法．

6．本单元教材的难点是概率的概念，样本对总体的估计，回归分析，用概率统计知识解决实际问题．

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