第十一章 曲线积分与曲面积分经典例题

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第十一章 曲线积分与曲面积分

内容要点

一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy面内的一段曲线L（图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为 (x,y)，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质

性质1 设 ， 为常数，则

L[ f(x,y) g(x,y)]ds f(x,y)ds

L

Lg(x,y)ds；

性质2设L由L1和L2两段光滑曲线组成(记为L L1 L2)，则

L L

1

f(x,y)ds

2

L

f(x,y)ds

1

L

f(x,y)ds.

2

注： 若曲线L可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L是光滑的或分段光滑的.

性质3 设在L有f(x,y) g(x,y)，则

L

f(x,y)ds

g(x,y)ds

L

性质4（中值定理）设函数f(x,y)在光滑曲线L上连续，则在L上必存在一点( , )，使

其中s是曲线L的长度.

三、第一类曲线积分的计算：

x x(t), y y(t),

( t )

L

f(x,y)ds f( , ) s

L

L L L

f(x,y)ds

f[x(t),y(t)]x (t) y (t)dt (1.10)

22

如果曲线L的方程为 y y(x),a x b，则

f(x,y)ds

af[x,y(x)] c

d

b

y (x)dx (1.11)

2

如果曲线L的方程为 x x(y),c y d，则

f(x,y)ds

f[x(y),y] x (y)dy (1.12)

2

如果曲线L的方程为 r r( ), ，则

f(x,y)ds

22

f(rcos ,rsin )r( ) r ( )d

222222

例5（E03）计算 |y|ds, 其中L为双纽线（图10-1-4）(x y) a(x y)的

L

弧.

解 双纽线的极坐标方程为 r acos2 .

2

22

用隐函数求导得 rr asin2 ,r

asin2

r

2

,

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ds r r d

22

r

2

asin

r

2

42

2

2

d

a

2

r

d .

所以

L

|y|ds 4 4rsin

a

r

d 4a

2

4

sin d 2(2 2)a.

2

内容要点

一、引例：设有一质点在xOy面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,在移动过程中，这质点受到力

F(x,y) P(x,y)i Q(x,y)j

(2.1)

的作用，其中P(x,y)，Q(x,y)在L上连续. 试计算在上述移动过程中变力F(x,y)所作的功.

二、 第二类曲线积分的定义与性质：A(x,y) P(x,y)i Q(x,y)j

L

A tds

L(Pcos

Qcos )ds

平面上的第二类曲线积分在实际应用中常出现的形式是

LP(x,y)dx LP(x,y)dx

Q(x,y)dy

LP(x,y)dx LQ(x,y)dy

；

性质1 设L是有向曲线弧, L是与L方向相反的有向曲线弧，则

Q(x,y)dy P(x,y)dx Q(x,y)dy

L

即第二类曲线积分与积分弧段的方向有关.

性质2 如设L由L1和L2两段光滑曲线组成，则

LPdx

Qdy

L

Pdx Qdy

1

L

Pdx Qdy

2

.

三、第二类曲线积分的计算：x x(t), y y(t),

L

P(x,y)dx Q(x,y)dy

{P[x(t),y(t)]x (t) Q[x(t),y(t)]y (t)}dt. (2.9)

如果曲线L的方程为 y y(x),起点为a, 终点为b，则

L L

内容要点 一、格林公式

Pdx Qdy

a{P[x,y(x)] Q[x,y(x)]y (x)}dx. c{P[x(y),y]x (y) Q[x(y),y]}dy.

d

b

如果曲线L的方程为x x(y), 起点为c, 终点为d，则

Pdx Qdy

定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有

Q P x y dxdy

D

LPdx

Qdy

(3.1)

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其中L是D的取正向的边界曲线.

若在格林公式(3.1)中，令P y,

Q x, 得

2 dxdy

D

Lxdy

ydx12

，

ydx.

上式左端是闭区域D的面积A的两倍，因此有 A

Lxdy

二、平面曲线积分与路径无关的定义与条件

定理2 设开区域D是一个单连通域，函数P(x,y)及Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价：

（1） 曲线积分 Pdx Qdy在D内与路径无关；

L

（2）表达式Pdx Qdy为某二元函数u(x,y)的全微分； （3）

P y

Q x

在D内恒成立；

（4）对D内任一闭曲线L， Pdx Qdy 0.

L

由定理的证明过程可见，若函数P(x,y)，Q(x,y)满足定理的条件，则二元函数

u(x,y)

(x,y)P(x,y)dx Q(x,y)dy (3.3)

(x,y)

满足 du(x,y) P(x,y)dx Q(x,y)dy， 我们称u(x,y)为表达式P(x,y)dx Q(x,y)dy的原函数.

u(x,y)

x x

x

P(x,y0)dx P(x,y)dx

y

y

y

P(x,y)dy C

或 u(x,y)

2

x

y

P(x0,y)dy C

例4 计算 e ydxdy, 其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭区域.

D

解 令P 0,Q xe y,则 应用格林公式,得

2

Q x

P y

e

y

2

.

D

e

y

2

dxdy

xe

y

2

dy

xe

OA

y

2

dy

1

xe

x

2

dx

12

(1 e

1

).

OA AB BO

例5（E03）计算xdy ydxx y

2

2

,其中L为一条无重点

(1)

L

, 分段光滑且不经过原点的连续

闭曲线, L的方向为逆时针方向.

解 记L所围成的闭区域为D,令P

Q x

yx y P y.

2

2

,Q

xx y

2

2

,

则当x y 0时，有

22

y x

2

222

(x y)

2

(1) 当(0,0) D时，由格林公式知

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2

2

2

xdy ydxx y

2

2

L

0;

(2) 当(0,0) D时，作位于D内圆周

l:x y r,记D1由L和l所围成,应用格林公式，得

xdy ydxx y

2

2

L

xdy ydxx y

2

2

l

0.

2

2

2

2

故xdy ydxx y

2

2

L

xdy ydxx y

2

2

l

2 0

rcos rsin

r

2

d

2 0

d 2 .

例6（E04）求椭圆x acos ，y bsin 所围成图形的面积A. 解 所求面积

A

12xdy ydx

1

L

2

2 0

(abcos absin )d

22

12

ab

2 0

d ab.

例7 计算抛物线(x y)2 ax(a 0)与x轴所围成的面积. 解 ONA为直线y 0.曲线AMO为 y ax x,x [0,a].

A

1212

a

xdy ydx

AMO

12

xdy ydx

ONA

12

xdy ydx

AMO

xdy ydx

AMO

1

a

dx (ax x)dxx 1 2a 2ax

4

a0

xdx

16

a.

(6,8)

2

例10（E06）计算

xdx ydyx

2

,积分沿不通过坐标原点的路径.

(1,0)

y

2

解 显然,当(x,y) (0,0)时，

xdx ydyx y

2

2

dx y,

22

于是

(6,8)(1,0)

xdx ydyx y

2

2

(6,8)

d

(1,0)

x y

22

x y

2

2(6,8)

(1,0)

9.

例 12 验证: 在整个xOy面内, xy2dx x2ydy是某个函数的全微分, 并求出一个这样 的函数.

证2 利用原函数法求全微分函数u(x,y). 由

u y

xy

2

u xydx

2

xy2

22

(y),

其中 (y)是y的待定函数.由此得

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u y

xy (y).

2

又u必须满足

u y

xy

2

x2y '(y) x

2y '(y) 0 (y) C,

所求函数为u x2y2/2 C.

例13（E07）设函数Q(x,y)在xoy平面上具有一阶连续偏导数, 曲线积分与路径无关, 并且对任意t, 总有

(t,1)

(1,t)

求Q(x,y).

(0,0)

2xydx Q(x,y)dy

(0,0)

2xydx Q(x,y)dy,

解 由曲线积分与路径无关的条件知

Q x

2x,

于是Q(x,y) x2 C(y),其中C(y)为待定函数.

(t,1)

2xydx Q(x,y)dy

(0,0)(1,t)

10t

(t C(y))dy t

22

t0

10

C(y)dy,

2xydx Q(x,y)dy

(0,0)

1

(1 C(y))dy t

t0

C(y)dy,

由题意可知t2

C(y)dy t

0

C(y)dy.

两边对t求导,得

2t 1 C(t)或C(t) 2t 1. 所以Q(x,y) x2 2y 1.

例14（E08）设曲线积分 xy2dx y (x)dy与路径无关, 其中 具有连续的导数, 且

L

(0) 0,计算

(1,1)

(0,0)

xydx y (x)dy.

2

解 P(x,y) xy2,Q(x,y) y (x),

P y

y

(xy) 2xy,

2

Q x

x

[y (x)] y '(x).

因积分与路径无关散 P y

Q x

,

由y '(x) 2xy (x) x2 C. 由 (0) 0,知C 0 (x) x2. 故

(1,1)(0,0)

xydx y (x)dy

2

y

1

0dx

0

1

ydy

12

.

例15 选取a,b使表达式

[(x y 1)e ae]dx [be (x y 1)e]dy

y

x

y

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为某一函数的全微分, 并求出这个函数.

解

P y

y

[(x y 1)e ae] e ae, P y

Q x

,即

y

y

yy

Q x

x

[be (x y 1)e] be

xyx

e,

y

若表达式全微分式,则

e ae be e.

x

y

x

y

得a 1,b 1.

u(x,y)

x0

x

[(x 0 1)e ( 1)e]dx

x0

y0y

[e (x y 1)e]dy C

xy

x0

[(x 1)e 1]dx

x

x

x

y0

[e (x y 1)e]dy C

y

y

y

y

[xe x]0 [ey xe ye]0 C (x y)(e e) C.

x

y

例16（E09）求方程(x3 3xy2)dx (y3 3x2y)dy 0的通解. 解

u(x,y)

P y

6xy

3

2

Q x

,原方程是全微分方程,

y

x

(x 3xy)dx

ydy

3

x

4

4

32

xy

22

y

4

4

,

原方程的通解为

x

4

4

32

xy

22

y

4

4

2

C.

例19求微分方程2x(1 解 将题设方程改写为

2xdx 2x

x ydx

2

x y)dx x

2

ydy 0的通解.

x ydy 0,即d(x)

22

x yd(x)

22

x ydy 0,

2

将方程左端重新组合,有

d(x)

2

x yd(x y) 0,

22

故题设方程的通解为 x2

23

(x y)

23/2

C.

内容要点

一、 第一类曲面积分的概念与性质

定义1 设曲面 是光滑的, 函数f(x,y,z)在 上有界, 把 任意分成n小块 Si( Si同时也表示第i小块曲面的面积),在 Si上任取一点( i, i, i),作乘积

f( i, i, i) Si

(i 1,2, ,n)

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n

并作和 f( i, i, i) Si, 如果当各小块曲面的直径的最大值 0时, 这和式的极限存在,

i 1

则称此极限值为f(x,y,z)在 上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为

n

f(x,y,z)dS lim

0

i 1

f( i, i, i) Si

其中f(x,y,z)称为被积函数， 称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法

f(x,y,z)dS

Dxy

f[x,y,z(x,y)] zx(x,y) zy(x,y)dxdy.

22

例4计算

xyz,

其中 为抛物面z x y(0 z 1).

22

解 根据抛物面z x2 y2对称性,及函数|xyz|关于xOz、yOz坐标面对称,有

xyzdS 4

1

20

1

2

xyzdS 4 xy(x y) (2x) (2y)dxdy

D xy

2222

2

4 dt rcostsint r

0 4rrdr 2 sin2tdt

20

2

1

r

5

4rdr

2

14

5

1

1255 1 u 1

u . du

4420

2

例5 计算

xdS, 其中

是圆柱面x2 y2 1,平面z x 2及z 0所围成的空间

立体的表面.

解

＝

1

2

3

，

1

，

2

在xOy面上得投影域Dxy:x y 1.

xdS

22

于是

1

xdxdy

Dxy

0,

2

2

xdS

x

Dxy

1dxdy 0,

将 3( 31, 32:y 1 x)投影到zOx面上，得投影域

Dxy: 1 x 1,0 y x 1.

3

xdS

31

xdS

32

xdS 2 x yx yzdxdz

Dzx

22

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2 x

Dxz

x

22

1 x

dxdz 2

1

x x

2

1

x 2

dz ,

所以

xdS

0 0 .

例8 设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为h 36000km，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R 6400km).

解 取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为z轴，建立如图坐标系.卫星覆盖的曲面 是上半球面倍半顶角为 的圆锥面所截得的部分. 的方程为

z

R x y,

2

2

2

它在xOy面上的投影区域

Dxy:x y Rsin .

2

2

2

2

于是通讯卫星的覆盖面积为

A 2 R(1 cos ). RR h

2

2

将cos 代入上式得 A 2 R 1

h 2

2 R .

R h R h

R

由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为

A4 R

2

42.5%.

由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔2 角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面.

内容要点

二、第二类曲面积分的概念与性质

定义1 设 为光滑的有向曲面, 其上任一点(x,y,z)处的单位法向量

n cos i cos j cos k, 又设

A(x,y,z) P(x,y,z)i Q(x,y,z)j R(x,y,z)k

其中函数P,Q,R在 上有界, 则函数

Qcos Rcos v n Pcos则 上的第一类曲面积分

v ndS

(Pcos

Qcos Rcos )dS. (5.5)

称为函数A(x,y,z)在有向曲面 上的第二类曲面积分.

三、第二类曲面积分的计算法

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设光滑曲面 ：z z(x,y)，与平行于z轴的直线至多交于一点，它在xOy面上的投影区域为Dxy, 则.

R(x,y,z)dxdy

R[x,y,z(x,y)]dxdy

Dyz

. (5.9)

上式右端取“+”号或“-”号要根据 是锐角还是钝角而定.

内容要点

一、高斯公式

定理1设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面 围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在 上具有一阶连续偏导数，则有公式

P Q R x dv y z

Pdydz

Qdzdx Rdxdy

(6.1)

这里 是 的整个边界曲面的外侧, cos ,cos ,cos 是 上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦. (6.1)式称为高斯公式.

若曲面 与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域 分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.

此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为

P Q R x dv y z

(Pcos

Qcos Rcos )dS.

二、通量与散度

一般地，设有向量场

A(x,y,z) P(x,y,z)i Q(x,y,z)j R(x,y,z)k,

其中函数P、Q、R有一阶连续偏导数， 是场内的一片有向曲面，n 是曲面 的单位法向量. 则沿曲面 的第二类曲面积分

A dS

A ndS

Pdydz

Qdzdx Rdxdy

称为向量场A通过曲面 流向指定侧的通量. 而

P x

Q y

R z

称为向量场A

的散度，记为divA，即

P Q RdivA

x y z

. (6.5)

例4（E04）证明: 若 为包围有界域 的光滑曲面, 则

v udV

v

u n

dS

u v u v u v x x y y z z dV

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其中

u n

为函数u沿曲面 的外法线方向的方向导数，u,v在 上具有一阶和二阶连续偏导

22

数，符号

x

22

y

22

z

称为拉普拉斯算子. 这个公式称为格林第一公式.

证 因为

u n

u xcos

u ycos

u z

cos u n

，其中n {cos ,cos ,cos }是 在点(x,y,z)处

的外法线的方向余弦，于是

v

u n

v( u n)dS

[(v u n)dS

u u u

vcos vcos vcos dS y x z u u u v v y z v z x x y

dv

v udv

u v u v u v

x x y y z z dv.

将上式右端移至左端即得所要证明的等式.

例5（E05）求向量场r xi yj zk的流量

(1) 穿过圆锥x2 y2 z2(0 z h)的底(向上); (2) 穿过此圆锥的侧表面（向外）.

解 设S1,S2及S分别为此圆锥的面，侧面及全表面，则穿过全表面向外的流量

Q

(1)

S

r dS

V

divrdv 3

dv

V

h.

3

穿过底面向上的流量

Q1

S

r dS

2

zdxdy

2

2

2

hdxdy

2

2

h.

3

x y z

z h

x y z

(2)穿过侧表面向外的流量

Q2 Q Q1 0.

内容要点

一、斯托克斯公式

定理1 设 为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以 为边界的分片光滑的有向曲面，

函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含曲面 在内的一个 的正向与 的侧符合右手规则，

空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式

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R Q Q R P P dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz. (7.1)

y z z x x y L

公式(7.1)称为斯托克斯公式.

为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：

dydzdzdxdxdy

x y z

Pdx

Qdy Rdz

P

Q

R

利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成

cos cos cos

x y z

Pdx

Qdy Rdz.

P

Q

R

二、空间曲线积分与路径无关的条件

三、环流量与旋度 设向量场

A(x,y,z) P(x,y,z) i Q(x,y,z)

j R(x,y,z)k,

则沿场

A中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分

CPdx

Qdy Rdz

称为向量场

A

沿曲线C按所取方向的环流量. 而向量函数

R

Q P y

z, z R x, Q x P

y

称为向量场

A的旋度，记为rotA，即

rotA R Q P R j Q

P y z i

z x x y k.

旋度也可以写成如下便于记忆的形式：

i jk

rotA

x y z.

P

Q

R

四、向量微分算子：

xi yj z

k, 例2 计算曲线积分

(2

y z2)dx (z2 x2)dy (x2 y2

)dz,其中 是平面

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x y z 3/2

截立方体：0 x 1,0 y 1,0 z 1的表面所得的接痕，从x轴的正向看

法，取逆时针方向.

解 取 为题设平面的上侧被 所围成部分，则该平面的法向量n {1,1,3}

cos cos cos 3,

3,即

3 x

1 y

2

3 z

2

3

dS

2

原式

z

2

y zy x

2

x y

2

4

3 4

(x

3

y z)dS

32

dS 23

Dxy

3dxdy

92

.

例3（E02）计算(y2 z2)dx (x2 z2)dy (x2 y2)dz, 式中 是

x y z 2Rx,x y 2rx(0 r R,z 0).

2

2

2

2

2

此曲线是顺着如下方向前进的: 由它所包围在球面x2 y2 z2 2Rx上的最小区域保持在左方.

解 由斯托克斯公式，有

原式 2 [(y z)cos (z x)cos (x y)cos ]dS

yz x (y z) 1 (z x) (x y) dS

RR R

2 (z y)dS(利用对称性)

zdS

Rcos dS

Rdxdy R

2

d rR..

2

2

x y 2rx

例5（E03）设u x2y 2xy2 3yz2, 求gradu； div(gradu)；rot(gradu). 解 gradu

u u u

,, {2xy,4xy, 6yz}. x y z

div(gradu)

(2xy) (4xy) ( 6yz)

2y 4x 6y 4(x y).

x y z

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rot(gradu)

22222

2u u u u u u , , . y z z y z x x z x y y x

因为u x2y 2xy2 3yz2有二阶连续导数,故二阶混合偏导数与求导次序无关,故

rot(gradu)

0.

注：一般地，如果u是一单值函数，我们称向量场A=gradu 为势量场或保守场，而u称

为场A的势函数.

例6（E04）设一刚体以等角速度 xi yj zk绕定轴L旋转，求刚体内任意一点M的线速度v的旋度.

解 取定轴l为z轴，点M的内径r OM xi yj zk, 则点M的线速度

i

v r x

j

yy

z ( yz zy)i ( zx xz)j ( xy yx)k, z

k

x

于是rotv

i x yz zy

j y zx xz

k z

xy yx

2( xi yj zk) 2 .

即速度场v的旋等于角速度 的 2 倍.

内容要点

点函数积分的概念 点函数积分的性质

点函数积分的分类及其关系

一、点函数积分的概念

定义1 设 为有界闭区域, 函数u f(P)(P )为 上的有界点函数. 将形体 任意分成n个子闭区域 1, 2, , n,其中 i表示第i个子闭区域, 也表示它的度量, 在 i上任取一点Pi, 作乘积

f(Pi) i

n

(i 1,2, ,n)

并作和

i 1

f(Pi) i

如果当各子闭区域 i的直径中的最大值 趋近于零时, 这和式的极限存在, 则称此极限为点函数f(P)在 上的积分, 记为 f(P)d , 即

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n

f(P)d lim

0

i 1

f(Pi) i.

其中 称为积分区域, f(P)称为被积函数, P称为积分变量, f(P)d 称为被积表达式, d 称为 的度量微元.

点函数积分具有如下物理意义: 设一物体占有有界闭区域 , 其密度为 f(P)(P ),则该物体的质量

M

f(P)d ,(f(P) 0)

特别地, 当f(P) 1时, 有

n

d

lim

0

i 1

i

(度量).

如果点函数f(P)在有界闭区域 上连续, 则f(P)在 上可积.

二、点函数积分的性质

设f(P),g(P)在有界闭区域 上都可积, 则有 性质1 [f(P) g(P)]d

f(P)d

g(P)d .

性质2 性质3

kf(P)d k

f(P)d (k为常数)

f(P)d

1

f(P)d

2

f(P)d ,

其中 1 2 ,且 1与 2无公共内点. 性质4 若f(P) 0,P , 则 f(P)d 0.

性质5 若f(P) g(P),P , 则 f(P)d

g(P)d .

特别地, 有

f(P)d

|

f(P)|d .

性质6 若f(P)在积分区域 上的最大值为M, 最小值为m, 则

m

f(P)d M .

*

性质7 (中值定理)若f(P)在有界闭区域 上连续, 则至少有一点P ,使得

f(P)d f(P) .

*

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其中f(P)

*

f(P)d

称为函数f(P)在 上的平均值.

三、点函数积分的分类及其关系

1.若 [a,b] R,这时f(P) f(x),x [a,b],则

f(P)d

b

a

f(x)dx. (1)

这是一元函数f(x)在区间[a,b]上的定积分. 当f(x) 1时,

b

a

dx b a是区间长.

2.右 L R2,且L是一平面曲线, 这时f(P) f(x,y),(x,y) L,于是

f(P)d

L

f(x,y)ds (2)

当f(P) 1时,

ds

L

s是曲线的弧长. (2)式称为第一类平面曲线积分.

3.若 R3,且 是空间曲线, 这时f(P) f(x,y,z),(x,y,z) ,则

f(P)d

f(x,y,z)ds. (3)

当f(P) 1时,

ds

s是曲线的弧长. (3)式称为第一类空间曲线积分.

2、3的特殊情形是曲线为直线段, 而直线段上的点函数积分本质上是一元函数的定积分,这说明 f(x,y)ds, f(x,y,z)ds可用一次定积分计算, 因此用了一次积分号.

L

4.若 D R,且D是平面区域, 这时f(P) f(x,y),(x,y) D, 则

2

f(P)d

D

f(x,y)d (4)

(4)式称为二重积分. 当f(x,y) 1时,

3

d

D

是平面区域D的面积.

5.若 R,且 是空间曲面, 这时f(P) f(x,y,z),(x,y,z) , 则

f(P)d

f(x,y,z)dS (5)

(5)式称为第一类曲面积分. 当f(P) 1时,

dS

S是空间曲面 的面积.

由于(5)的特殊情形是平面区域上的二得积分, 说明该积分可化为两次定积分的计算, 因此用二重积分号.

6.若 R为空间立体, 这时f(P) f(x,y,z),(x,y,z) , 则

3

f(P)d

f(x,y,z)dv. (5)

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(6)式称为三重积分. 当f(P) 1, 则 dv V是空间立体 的体积.

更进一步, 我们还可以利用点函数积分的概念统一来表述占有界闭区域 的物体的重心、转动惯量、引力等物理概念, 此处不再表述.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/53e4.html