半导体物理第一章2

半导体物理教案－3

§1.3 半导体中电子和空穴的有效质量

一、一维E(k)曲线极值附近的函数关系

为一种真实晶体中电子的E(k)关系写出具体的函数形式往往十分困难，事实上也没有必要，因为半导体中的导电电子和空穴都分别集中分布在导带底和价带顶，即能带的极值附近，而且是极值附近极小的能量范围，因此不妨用泰勒级数展开一个未知函数的方法来表示半导体中导电电子和空穴的E(k)关系。

仍以一维情况为例，首先考虑E(k)在波数k＝0处取极小值的情况。将E(k)在k＝0附近按泰勒级数展开，取至二次项，得到

dEE(k)?E(0)?dk因为是极值，必有(dE/dk)k＝0=0，所以得

1d2E?k?22dkk?0?k2????k?01d2EE(k)?E(0)?2dk21d2E?2dk2?k2k?0因为是极小值，对确定的E(k)曲线，(d2E/d2k)k=0应该是—个大于零的定值，于是令

?k?01 mn*则可将E(k)曲线极小值附近的函数关系表示为与自由电子相似的抛物线形式，即：

?2k2 E(k)?E(0)?2mn*不同之处仅在于电子的惯性质量m0为mn*所取代。于是我们称mn*为周期势场中电子的有效质量。

对E(k)在k＝0处取极大值的情况，用类似的方法也可得到类似的结果。

二、半导体中电子和空穴的有效质量

1、电子的有效质量

由上述讨论可知，能量状态处于极值附近的电子，其有效质量

m?*n?dEdk?22?2

k?0对E(k)曲线的极小值而言，(d2E/d2k)k=0>0，所以电子在能量极小值附近的有效质量为正值； 对E(k)曲线的极大值而言，(d2E/d2k)k=0<0，所以电子在能量极大值附近的有效质量为负值。 正如参考书1.3.2和1.3.3节所证明的，当用有效质量取代惯性质量之后，电子在周期势场中的运动，无论是有外力作用的还是无外力作用的，皆可用描述自由电子的方法来描述。在半导体中，导电电子恰好分布于导带极小值附近。用m0*替代m0 后，半导体中导电电子的运动即可用描述自由电子的方法来描述。即

能量为E（k）的电子的平均速度

* v??k/mn在受到外力f 的作用时，其加速度

* a?f/mn 1

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2、空穴的有效质量

利用上式，在外力f 的作用下，价带顶附近电子的加速度可记为

dv(k)f?qEa?????

dtmnmn注意式中mn*是价带顶部附近电子的有效质量，其值为负。上式可改写为

a?qEqE

?*?mpmn式中，

?2 m??2?dEV(k)?2??dk?k?0?*p表示空穴的有效质量。此结果表明，外力作用下价带顶电子的运动相当于一个具有正的有效质量的正电荷的运动。

3、有效质量的物理含义

众所周知，一个函数在其极值点的二阶导数的绝对值乃是其在极值处的曲率。由此可见，半导体中导带电子和价带空穴的有效质量的大小与其E(k)曲线的形状有关；曲线在其极值处的曲率越大，此处电子或空穴的有效质量越小。而曲率反映了载流子能量状态对k变化的敏感程度，因此有效质量越小，k的微小变化引起的载流子能量的改变就越大。

周期势场中电子与自由电子的唯一区别在于多一个周期势场的作用。有效质量犹如一个“黑匣子”，它集中体现了周期势场对运动于其中的电子的复杂作用，而免去对周期势场具体形式的探究。

三、三维E(k)曲线极值附近的函数关系

对实际晶体，标识其能量和运动状态的全部波矢k构成一个三维的k空间。以布里渊区中心为原点，以kX，kY，kZ为坐标轴构成此空间，则此空间中任意一个由kx，ky，kz确定的状态，其波数可按下式求出

22k2?kx?ky?kz2

1、导带底不在k＝0的一般情况 略去高次项，得

2?2(kx?k0x)2(ky?k0y)(kz?k0z)2E(k)?E(k0)?[??]2mx*my*mz*图 1-18 k空间 对导带底位于布里渊区非中心的k0处的一般情况，仍可用泰勒级数将E(k)函数在k0附近展开，

式中mx*，my*， mz*分别表示电子沿kX，kY，kZ方向的有效质量，其值满足

mx*?

?2??E?2??kx???k02my*??2??2E???ky2???k0mz*??2??2E?2???kz?k?0

也可将上式写成如下形式：

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2?kx?k0x?2m*x(E?EC)?2??ky?k0y??222m*y(E?EC)??kz?k0z?22m*z(E?EC)?2?1式中EC＝E(k0)，表示导带底的能量。一般情况下mx*，my*， mz*不相等，反映了有效质量的各向异性。这时，上式就是一个椭球面方程，各项的分母即椭球各半轴长度的平方。由于E－EC是一个

常数，上式表明，满足上式的全部k状态具有相同的能量。称此闭合曲面为等能面。 上式表明，对各向异性的有效质量，导带极小值附近的电子的等能面是环绕k0的—系列椭球面。图l—20为等能面在kxky平面上的截面图，它是—系列椭圆。

图1—19 k空间球形等能面平面示意图 图1—20 k空间椭球等能面平面示意图

等价能谷 由于晶体的对称性，k0 在k空间可能有若干个对称的等价点，那么，在这些等价点上也必然存在着相同的能量极值及其等能面。例如对于立方晶体，若在k空间[100]方向某点有一能量极值，且其附近之等能面是长轴沿[100]方向的旋转椭球面，则六个等价<100>方向上的等价点上都应有同样的极值和旋转椭球等能面，如图1—22所示。若其中的[100]极值位于（kx0，0，0），则该点附近的E(k)关系可表示为

22ky?kz2???k?kh2?xx0? E(k)?EC???2?mlmt???式中，ml 和mt 分别是导带底电子有效质量mn*沿[100]方向的分量（纵有效质量）和垂直于[100]方向的分量（横有效质量）。对图示的长旋转椭球，在沿着旋转对称轴的方向上，E随k的变化比较缓慢，即纵有效质量大于横有效质量。

2、导带底k＝0且有效质量各向同性的特殊情况

设导带底位于布里渊区中心，即k＝0，其能值E(0)=EC，且mx*＝my*＝mz*＝mn*，即有效质量各向同性，则导带底附近的等能面方程变为

h2222E(k)?EC?k?k?kxyz *2mn?? (1—42)

这是一个球面方程，其半径

22k?kx?ky?2k?1*2mn[E(k)?EC] h即在导带底k＝0且有效质量各向同性的情况下，波数相等的状态能量相等。

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四、回旋共振实验

1、实验原理

对置于均匀恒定磁场之中的一块半导体样品，设其中电子的初速度为v，v与磁感应强度B之间的夹角为θ，则电子受到的磁场力

f = －qv×B (1—46)

力的大小为

f = qvsin?B = q v┴ B (1—47)

式中，v┴＝vsinθ，为v在垂直于B的平面内的投影(见图l-21)，力的方向垂直于v与B所组成的平面。因此，电子沿磁场方向以速度 v║=vcosθ做匀速运动，在垂直于B的平面内做匀速圆周运动，运动图1-21 电子在恒定磁场中的运动 轨迹是一螺旋线。设圆周半径为r，回旋频率为ωc，则v┴＝rωc，向心加速度a= v┴2/r，根据式(1-34)，如果等能面为球面，则可以得到ωc为

?C?qB *mn(1－48)

再以电磁波通过半导体样品，当交变电磁场频率ω等于回旋频率ωc时，就可以发生共振吸收。测出共振吸收时电磁波的频率ω和磁感应强度B，便可以由式(1-48)算出有效质量mn*。

如果等能面不是球面，电子在导带底具有各向异性的有效质量mx*, my*, mz*，则需要考虑磁场B的方向。设磁场沿kX，kY，kZ轴的方向余弦分别为α，β，γ，则电子所受的力为

电子的运动方程为

(1—49)

解此方程，仍可将电子的回旋频率ωc表示为

(1—50)

?C?q只是式中mC*定义为

B *mC (1—54)

m?*C?*m*xmymzm??m??m?*x2*y2*z2 (1—55)

称为电子的回旋质量，其值与磁场的方向有关。

2、实验及其分析

实验中通常固定交变电磁场的频率ω而改变磁感应强度以满足共振吸收条件。对各向同性的电子有效质量，以上二式表明共振吸收与磁场的方向无关，只有一个吸收峰。

但若有效质量各向异性，则磁场取不同的方向时，会使式（1－55）取不同的值，从而会出现不同的共振频率，或不同的共振吸收强度。

以硅为例，实验中当

(1) B沿[111]晶轴方向，观察到一个吸收峰；

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(2) B沿[110]晶轴方向，观察到两个吸收峰； (3) B沿[l00]晶轴方向，观察到两个吸收峰； (4) B对晶轴任意取向时，观察到三个吸收峰。

这个结果可以从硅导带底附近电子等能面是沿[100]方向的旋转椭球面得到很好的解释。按照硅晶体的立方对称性，导带极小值也应存在于其他五个等价方向上，如图1—22所示。

用k0s表示第s个极值所对应的波矢，s＝l，2，3，4，5，6，根据式(1—43)，六个椭球等能面的一般表达式为

h2sE(k)?EC?2?(kx?k0sx)2(ky?k0sy)2(kz?k0sz)2????? (1—56) ***mmm??xyz?? 若选取EC为能量零点，以k0s为坐标原点建立一个直角坐标系，坐标轴为k1，k2，k3，并使

k3轴沿椭球的长轴方向，则等能面为绕k3轴旋转的旋转椭球面。

设k3轴沿[001]方向，即沿kz方向，则k1，k2轴位于（001）面内，并互相垂直（参看图1—23），这时k1，k2轴的有效质量相同。现令mx*= my*=mt, mz*= ml, mt和 ml分别为横向有效质量和纵向有效质量，则等能面方程为

2)k32?h2?(k12?k2E(k)??? ?2?mtml? (1—57)

对其他五个椭球面可以写出类似的方程。

图1—22 硅导带等能面示意图 图1—23 B相对于k空间坐标轴的取向

如果选取恰当，计算可以简化。使磁感应强度B位于kl轴和k3轴所组成的平面内，并同k3轴交θ角(参看图1—23)，则在这个坐标系里，B的方向余弦α，β，γ分别为

α=sinθ, β=0, γ=cosθ

代人式(1－55)，得

实验中：

(1)磁场沿[111]方向，则B的方向余弦对六个等价能谷均给出cos2θ=1/3, sinθ=2/3于是

*mC?mt2

*mC?mtml 22mtsin??mlcon? (1—58)

3ml

2mt?ml (1—59)

由 ωc＝qB/mc*可知，因为mc*只有一个值，当改变B时，只能观察到一个吸收峰。

(2)磁场沿[110]方向，则B的方向余弦对[100]，[100]，[010]，[010]方向的能谷给出

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cos2θ=1/2；对[001]和[001]方向的能谷给出cos2θ=0。对应的mc*值分别为

*mC?mt2ml* 和 mC?mlmt

mt?ml即能测得两个不同空穴的mc*值，因而可以观察到两个吸收峰。

(3)磁场沿[001]方向，则B的方向余弦对[001]和[001]方向的能谷给出cos2θ=1；对[100]，

[100]，[010]和[010]方向的能谷则给出cos2θ=0。对应的mc*值分别为

**mC?mt 和 mC?mlmt

因而也可以观察到两个吸收峰。

(4)磁感应强度沿任意方向时，与[1 0 0]夹角可以给出三种不同的cos2θ的值，因而可以有三种不同的mc*，因而可以观察到三个吸收峰。

根据实验数据得出硅的作业：参考书1-1，1-2

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/53dd.html