概率论与数理统计习题解答全稿(1-7)

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习题一

1.设C B A ,,为随机试验的三个随机事件,试将下列事件用C B A ,,表示出来.

(1)仅仅A 发生;

(2)所有三个事件都发生;

(3)A 与B 均发生,C 不发生;

(4)至少有一个事件发生;

(5)至少有两个事件发生;

(6)恰有一个事件发生;

(7)恰有两个事件发生;

(8)没有一个事件发生;

(9)不多于两个事件发生.

解:(1)C B A ;(2)ABC ;(3)C AB ;(4)C B A ;(5)AC BC AB ;(6)C B A C B A C B A ;(7)C AB C B A BC A ;(8)C B A ;(9)ABC .

2.写出下列随机试验的样本空间

(1)同时掷三颗骰子,记录三颗骰子的点数之和;

(2)将一枚硬币抛三次,观察出现正反面的各种可能结果;

(3)对一目标进行射击,且到击中5次为止,记录射击的次数;

(4)将一单位长的线段分为三段,观察各段的长度;

(5)从分别标有号码1,2, ,10的10个球中任意取两球,记录球的号码.

解:(1){3,4,5, ,18};(2){}TTT THT TTH THH HTT HTH HHT HHH ,,,,,,,;

(3) {5,6,7, };(4) }{1,0,0,0:),,(=++>>>z y x z y x z y x ;

(5)}{n m n m n m ≠≤≤≤≤,101,101:),(.

3.将12个球随机地放入20个盒子,试求每个盒子中的球不多于1个的概率.

解:设)(A P 表式所求的概率,则:12122020

!12.)(C A P =≈0.01473. 4.将10本书任意地放在书架上,其中有一套4卷成套的书,求下列事件的概率:

(1)成套的书放在一起;(2)成套的书按卷次顺序排好放在一起.

解: (1)设)(A P 表示所求的概率,则:)(A P =30

1!10!4!7=?. (2)设)(B P 表示所求的概率,则:)(B P =720

1!10!7=. 5.一辆公共汽车出发前载有5名乘客,每一位乘客独立的在七个站中的任一个站离开,试求下列事件的概率:

(1)第七站恰好有两位乘客离去;(2)没有两位及两位以上乘客在同一站离去. 解:5名乘客在七个站中的任意一个站离开的结果总数57=n .

(1)第七站恰好有两位乘客离去,其方法数3256?=C m ,故设)(A P 为所求概率,则:

1285.07

6)(53

25=?=C A P . (2)设=B {没有两位及两位以上乘客在同一站离去},则:1499.07!5)(5

57=?=C B P . 6.有一个随机数发生器,每一次等可能的产生9,,2,1,0 十个数字,由这些数字随机编成的n 位数码(各数字允许重复),从全部n 位数码中任意选取一个,其最大数字不超过k (9≤k )的概率.

解:设)(A P 表式所求的概率,则由全部n 位数码的总数为n

10,得:n n

k A P 10)1()(+=. 7.一元件盒中有50个元件,期中25件一等品,15件二等品,10件次品,从中任取10件,求:

(1)恰有两件一等品,两件二等品的概率;(2)恰有两件一等品的概率;

(3)没有次品的概率.

解:(1)设)(A P 为所求概率,则:41050

610215225104397.6)(-?=??=C C C C A P . (2)设)(B P 为所求概率,则:03158.0)(1050

825225=?=C C C B P . (3)设)(C P 为所求概率,则:0825.0)(1050

1040==C C C P . 8.有10个人分别佩戴者标号从1号到10号的纪念章,任意选出3人,记下其纪念章的号码,试求:

(1)最小的号码为5的概率;(2)最大的号码为5的概率.

解:从10人中任意选3人纪念章号码的总数为310C n =,

(1)最小号码为5,则余下2个在6—10中选,即25C m =,设)(A P 为所求概率,则:

083.0)(310

25==C C A P . (2)同理设)(B P 为所求概率,则:05.0)(310

24==C C A P . 9.设事件B A ,及B A 的概率分别为q p ,和r ,试求:)(),(),(),(B A P B A P B A P AB P . 解:r q p B A P B P A P AB P -+=-+=)()()()( ;

p r A P A B P A B P B A P -=-=-=)()()()( (单调性);

q r B P B A P B A P B A P -=-=-=)()()()( (单调性);

r B A P B A P B A P -=-==1)(1)()( .

10.一批产品共100件,其中5件不合格.若抽检的5件产品中有产品不合格,则认为整批产品不合格,试问该批产品被拒绝接收的概率是多少?

解:(法一)设i A ={抽检的5件产品中第i 件不合格},i =1,2,3,4,5

则所求概率为:∑===51

51)()(i i i i A P A P )()()()()(54321A P A P A P A P A P ++++=

2304.05100

55510019545510029535510039525510049515≈++++=C C C C C C C C C C C C C C . (法二) 2304.01)(1)(510059505

1≈-=-==C C A P A P i i . 11.设A 和B 是试验E 的两个事件,且2

1)(,31)(==B P A P ,在下述各种情况下计算概率)(A B P :(1)B A ?;(2)A 和B 互不相容;(3)8

1)(=AB P . 解:(1)6

13121)()()()(=-=-=-=A P B P A B P A B P .(2)21)()(==B P A B P . (3)8

38121)()()()(=-=-=-=AB P B P A B P A B P . 12.现有两种报警系统A 与B ,每种系统单独使用时,系统A 有效的概率为0.92,系统有效的概率为0.93 .装置在一起后,至少有一个系统有效的概率则为0.988,试求装置后:

(1)两个系统均有效的概率;(2)两个系统中仅有一个有效的概率.

解:(1)所求概率为)(AB P ,得:)()()()(B A P B P A P AB P -+=

862.0988.093.092.0=-+=;

(2)所求概率为)(B A B A P ,得:)(B A B A P )()(B A P B A P +=

)()()()(AB P B P AB P A P -+-=126.0862.0293.092.0=?-+=.

13.10把钥匙上有3把能打开门,今任取2把,求能打开门的概率.

解:(法一)从10把钥匙中任取2把的试验结果总数45210==C n ,能打开门意味着取到的

二两把钥匙至少有一把能打开门,其取法数24171323=+=C C C m ,故设)(A P 为所求概率,则:158)(210231713=+=C C C C A P .

(法二)记A 为“能打开门”,则=A “两把钥匙皆开不了门”,于是

158452111)(1)(210

27=-=-=-=C C A P A P . 14.一个盒子中有24个灯泡,其中有4个次品,若甲从盒中随机取走10个,乙取走余下的14个,求4个次品灯泡被一人全部取走的概率.

解:设=A {次品灯泡全部被甲取走},=B {次品灯泡全部被乙取走},则B A ,互不相容,

所求概率为:)()()(B P A P B A P += 1140.0424

414424410=+=C C C C . 15.设将5个球随意地放入3个盒子中,求每个盒子内至少有一个球的概率.

解:5个球随意地放入3个盒子中事件总数5

3=n ,3个盒子中一个或两个盒子中有球数为3325331

53p C p C m ++=,设所求概率为)(A P ,则:8150331)(5

33253315=++-=p C p C A P . 16.已知1A 和2A 同时发生,则A 必发生,证明:1)()()(21-+≥A P A P A P . 证明:由已知,A A A ?21,再由单调性,)()(21A P A A P ≤,则

)()()()()(212121A A P A P A P A A P A P -+=≥,1)(021≤≤A A P .

1)()()()()()()(21212121-+≥-+=≥∴A P A P A A P A P A P A A P A P .

17.掷一枚均匀硬币直到出现三次正面才停止,问正好在第六次停止的情况下,第五次也是正面的概率是多少?

解:设=A {第五次出现正面},=B {第六次停止},则:5

2)2

1()21()()()|(256146===C C B P AB P B A P . 18.证明:0)()|(>>A P B A P ,则)()|(B P A B P >. 证明:)()

|()()()()|(B P B A P AB P A P AB P A B P =>=,即证. 19.设事件B A ,互不相容,且0)(>B P ,试证:)(1)()|(B P A P B A P -=

. 证明:)

(1)()()()|(B P A P B P B A P B A P -=互不相容. 20.将两颗均匀骰子同时掷一次,已知两个骰子的点数之和是奇数,求两个骰子的点数之和

小于8的概率.

解:此事件的样本空间由36个样本点组成,设=A {两个骰子的点数之和小于8},=B {两个骰子的点数之和是奇数},则3618)(=B P ,36

12)(=AB P ,于是: 322

131

)

()()|(===B P AB P B A P . 21.设10件产品中有4件是次品,从中任取两件,试求在所取得的产品中发现有一件是次品后,另一件也是次品的概率.

解:设=A {所取得两件中至少有一件是次品},=B {所取得两件产品都是次品},

B AB A B =∴?, .而3

21)(1)(21026=-=-=C C A P A P ,152)(21024==C C B P ,所求概率为:5

13

2152

)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P . 22. 10件产品有6件是正品,4件次品,对它们逐一进行检查,问下列事件的概率是多少?

(1)最先两次抽到的都是正品;(2)第一、三次抽到正品,第二、四次抽到次品;

(3)在第五次检查时发现最后一个次品.

解:设i A ={第i 次抽到的是正品},i =1,2,3,4,5,6.则 (1)3

195106)|()()(12121=?=?=A A P A P A A P ; (2) )(4321A A A A P )|()|()|()(3214213121A A A A P A A A P A A P A P =

14

1738594106=???=; (3) 设=B {第五次检查时发现最后一个次品},则210

4)(151********=*=C C C C C B P . 23.某人忘记电话号码的最后一个数字,他仅记得最末一位数字是偶数.现在他试着拨最后一个号码,求他拨号不超过三次而接通电话的概率.

解:设=A {接通电话},=i B {拨号i 次},i =1,2,3.i B 构成样本空间的一个划分,由全概率公式:)|()()|()()|()()(332211B A P B P B A P B P B A P B P A P ++=

5

32110321522121=?+?+?=. 24.某型号的显像管主要由三个厂家供货,甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总产品和的25%、50%、25%,甲、乙、丙三个厂的产品在规定时间内能正常工作的概率分别是0.1、0.2、0.4,求一个随机选取的显像管能在规定时间内正常工作的概率.

解:设A ={能在规定时间内正常工作},i B ={选取第i 个厂家的产品},i =1,2,3.

则由全概率公式:

)|()()|()()|()()(332211B A P B P B A P B P B A P B P A P ++=

225.04.025.02.05.01.025.0=?+?+?=.

25.两批同类产品各自有12件和10件,在每一批产品中有一件次品,无意中将第一批的一件产品混入第二批,现从第二批中取出一件,求第二批中取出次品的概率.

解:设=B {第二批中取出次品},=A {第一批的次品混入第二批},

A A ,构成样本空间的一个有限划分,由全概率公式:

0985.011

11211112121)|()()|()()(=?+?=+=A B P A P A B P A P B P . 26.在一个盒子中装有15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛时任意取出三个球,比赛后仍放回原盒中,第二次比赛时,同样任意的取出三个球,求第二次取出三个新球的概率.

解:设B={第二次取出3个新球}.可以看出,直接确定B 的概率)(B P 是困难的,原因是,第一次比赛之后,12个乒乓球中的新、旧球的分布情况不清楚,而一旦新旧球的分布情况明确了,那么相应的概率也容易求得.为此,设i A ={第一次取到的3个球中有i 个新球}, i =0,1,2,3.容易判断3210,,,A A A A 构成一个划分.由于

3,2,1,0,)(315369==-i C C C A P i i i ,又3,2,1,0,)|(315

39==-i C C A B P i i . 由全概率公式,得:)|()()(30i i i A B P A P B P ∑==∑=--=3

023*******)(i i i i C C C C 0893.0207025

1680756075601680≈+++=. 27.仓库中存有从甲厂购进的产品30箱,从乙厂购进的同类产品25箱,甲厂的每箱装12

个,废品率为0.04,乙厂的每箱装10个,废品率0.05,求:

(1)任取一箱,从此箱中任取一个为废品的概率;

(2)将所有产品开箱后混放,任取一个为废品的概率.

解:(1)设=B {取出的是废品},=A {从甲厂取出},A A ,构成一个划分,则

)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=

0441.005.010

251230102504.0102512301230=??+??+??+??=

(2) 0441.010********.0102504.01230=?+???+?? 28.已知一批产品中96%是合格品,用某种检验方法辨认出合格品为合格品的概率是0.98,而误认废品是合格品的概率是0.05,求检查合格的一件产品确系合格的概率.

解: 设A ={检查合格产品},B ={确系合格}.

由已知,05.0)|(,98.0)|(,96.0)(===B A P B A P B P , 由贝叶斯公式:)()|()()|(A P B A P B P A B P =)

|()()|()()|()(B A P B P B A P B P B A P B P += 9979.005

.004.098.096.098.096.0≈?+??=. 29.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲者,现随机挑选一人,此人恰为色盲者,问此人 是男人的概率为多少(假设男人女人各占总人数的一半).

解:设=A {色盲者},=B {男人}, B B ,构成样本空间的一个划分,且05.0)|(=B A P , 0025.0)|(=B A P ,由贝叶斯公式:)

()|()()|(A P B A P B P A B P = )|()()|()()|()(B A P B P B A P B P B A P B P +=9524.00025.02

105.02105.021=?+??=. 30.设某种病菌在人口中的带菌率为0.03,由于检验手段不完善,带菌者呈阳性反应的概 率为0.99,而不带菌者呈阳性反应的概率为0.05,若某人检查结果是呈阳性反应,他是带菌者的概率是多少?

解:设=A {结果呈阳性},=B {是带菌者},则B B ,构成样本空间的一个划分,且 99.0)|(=B A P ,05.0)|(=B A P ,由贝叶斯公式:

)()|()()|(A P B A P B P A B P =)

|()()|()()|()(B A P B P B A P B P B A P B P += 3798.005

.097.099.003.099.003.0=?+??=. 31.证明:如果)|()|(B A P B A P =,则事件A 和B 相互独立. 证明:由已知和条件概率公式,有)

()()()(B P B A P B P AB P =,即)()()()(AB P B P B A P B P =, 即)())(1()()(AB P B P AB A P B P -=-,又A AB ?,上式得:

)()](1[)]()()[(AB P B P AB P A P B P -=-,有)()()(B P A P AB P =,即A 和B 相互独立.

32.设一个n 位二进制数是由n 各“0”或“1”数字组成,每一位出现错误数字的概率是

p ,

各位数字出现错误与否是独立的,问组成一个不正确的这类二进制数的概率是多少? 解:每一位出现正确数字的概率是p -1,由已知,各位数字出现正确与否也是独立的,于是所求概率n P A P )1(1)(--=.

33.设事件C B A ,,相互独立,且2

1)(,31)(,41)(===C P B P A P ,试求: (1)三个事件都不发生的概率;

(2)三个事件中至少有一个事件发生的概率;

(3)三个事件中恰有一个事件发生的概率;

(4)至多有两个事件发生的概率.

解:(1)4

1)211)(3

1

1)(411()()()()(=---==C P B P A P C B A P ; (2)43411)(1)(=-=-=C B A P C B A P ; (3))(C B A C B A C B A P )()()(C B A P C B A P C B A P ++=

24

11213243213143213241=??+??+??=; (4))()()(1)(1C P B P A P ABC P -=-24232131411=??-

=. 34.甲袋中有3只白球,7只红球,15只黑球;乙袋中有10只白球,

6只红球,9只黑球.从两袋中各取一球,试求两球颜色相同的概率.

解:设C B A ,,表示两球同为白色、红色和黑色,C B A ,,互不相容,

则所求概率为:

)()()()(C P B P A P C B A P ++= 3312.025

925152562572510253=?+?+?=. 35.两部机床独立的工作,每部机床不需要工人照管的概率分别

为0.9和0.85,试求:

(1)两部均不需照管的概率; (2)恰有一部需要照管的概率;

(3)两部同时需要照管的概率.

解:设=A {甲机床不需要工人照管},=B {乙机床不需要工人照管},

则9.0)(=A P ,85.0)(=B P ,

(1)765.085.09.0)()()(=?==B P A P AB P (2))()()()()()()(B P A P B P A P B A P B A P B A B A P +=+=

22.085.01.015.09.0=?+?= (3) 015.015.01.0)()()(=?==B P A P B A P .

36.求下列系统(图1.6)能正常工作的概率,其框图的字母代表组件,字母相同,下标不同的均为同一类组件,知识装配在不同的位置,A 类组件正常工作的概率为a γ,B 类组件正常工作的概率为b γ,C 类为c γ.

解:(1)所求概率为)]()()()[()()()]([BC P C P B P A P C B P A P C B A P -+==

c b a c a b a γγγγγγγ-+=.

(2)所求概率为

)()()()()(5421635241635241A A A A P A A P A A P A A P A A A A A A P -++= )()()(65432165326431A A A A A A P A A A A P A A A A P +--,

又654321,,,,,A A A A A A 相互独立,则

)33(33)(4

22642635241a a a a a a A A A A A A P γγγγγγ+-=+-= .

(3)所求概率为 )()()()]())([(22112211n n n n B A P B A P B A P B A B A B A P =)]()()([)]()()()][()()([22221111n n n n B A P B P A P B A P B P A P B A P B P A P -+-+-+= n b a b a )(γγγγ-+=.

习题二

1、一批晶体管中有9个合格品和3个不合格品,从中任取一个安装在电子设备上,如果取出不合格品不再放回,求在取得合格品以前已取出的不合格品数的概率.

解:设在取得合格品以前已取出的不合格品数为随机变量X ,则X 的所有可能取值为:0,1,2,3。分布律为:75.0129}0{===X P ,2045.011

9123}1{=?==X P , 0409.010*******}2{=??==X P ,0046.09

9101112123}3{=???==X P 也可以表示为: X 0

1 2 3 {}

k X P = 0.75 0.2045 0.0409 0.0046

2、做一系列独立试验,每次试验成功的概率为p (0

(1)首次成功时试验次数Y 的分布律;(2)在n 次成功之前已经失败次数X 的分布律. 解:设A i ={第i 次试验成功},i =1,2,…,则

(1){})(121k k A A A A P k Y P -== )()()()(121k k A P A P A P A P -=

,2,1,)1(1=-=-k p p k

(2)做n +m 次独立试验,指定n 次成功,m 次失败的概率为:.)1(n m p p -

随机事件}{m X =发生相当于第n +m 次试验必定成功,而前n +m -1次试验中有m 次失败,

共有.1m m n C -+次不同的方式,故: ,2,1,0,)1(}{1=-==-+m p p C m X P n m m m n

3、 设随机变量X 的分布律为:{}.3,2,1,32=??

? ???==k C k X P k 求C 的值. 解:由{}{}{},1321==+=+=X P X P X P 即132323232=??

? ???+??? ???+??? ???C C C ,也即可得38

27=C . 4、 随机变量X 的分布律为:{} ,2,1.0,)1(=-==k a a k X P k

(1)a 可取何值?(2)证明对于任意两个正整数s 和t ,有{}

{}.t X P s X t s X P ≥=>+> 解:(1){}111lim )1()1(00=---=-==∞→∞=∞=∑∑a a a a a k X P k

k k k

k ,得0

s X P s X t s X P s X t s X P >>+>=>+>)()( {}{}s X P t s X P >+>={}.t X P ≥= 5、一批产品共有25件,其中5件次品,从中随机地一个一个取出检查,共取4次,设X 是其中的次品数,若

(1)每次取出的产品仍放回;(2)每次取出的产品不再放回。写出X 的分布律.

解:(1)随机的取出产品并放回,每次取出的产品是次品的概率是p =0.2,共取4次相当于做4次伯努利试验,则).2.0,4(~B X

(2) {}4254200C C X P ==,{}425320151C C C X P ==,{}425220252C C C X P ==,{}425

120353C C C X P ==, {}425454C C X P ==,把上述概率统一改写为:{}4,3,2,1,0,425

4205===-k C C C k X P k k 6、某射手每次射击击中目标的概率为0.8,现连续射击30次,写出击中目标的次数X 的分布律,并求出30次射击未击中目标的概率.

解:该射手每次射击要么击中目标,要么没击中目标,击中目标的概率p =0.8,连续射击30次相当于做30重伯努利试验. 击中目标的次数是X ,故).8.0,30(~B X

30次射击未击中目标的概率为:{}.100737.1)8.01(02130-?=-==X P

7、一放射源放射出的任一粒子穿透某一屏蔽的概率是0.01,现放射出100个粒子,求至少有两个粒子穿透屏蔽的概率.

解:放射源放射出的任一粒子要么穿透屏蔽,要么不能穿透,穿透屏蔽的概率p =0.01,放射100个粒子相当于做100重伯努利试验. 穿透屏蔽的次数是X ,故).01.0,100(~B X

至少有两个粒子穿透屏蔽的概率为:

{}{}{}{}()101212=+=-=<-=≥X P X P X P X P

()

991110010000100)99.0()01.0()99.0()01.0(1C C +-=().2642.07358.013697.03661.01=-=+-=

8、设随机变量X 服从泊松分布,且{}{}21===X P X P ,计算{}.4=X P

解:由题意,)(~λP X ,且{}{}λλλλ--=====e X P e X P !22!112

1

,得,2=λ

故{}.0902.0.32!424224

≈===-e

e X P 9、在一个周期内,从一个放射源放射出的粒子数X 是服从泊松分布的随机变量,如果无粒子放射出的概率为1/3,试求:

(1)X 的分布律;(2)放射出一个以上粒子的概率.

解:(1){}3

1000====--λλλe e X P !,得3ln =λ.故X 的分布律为: {} ,2,1,0,!

)3(ln 31!)3(ln 3ln ====-k k e k k X k k

. (2)放射出一个以上粒子的概率为:

{}11≤-X P =λλλλ----e e !1!0110=3ln 3

1311--3005.0=. 10、一个口袋中有六个球,在这六个球上标明的数字分别为-3,-3,1,1,1,2,从袋中任取一个球,试求取得的球上标明的数字X 的分布律及分布函数.

解:由题意有:{}{}{}6

12,211,313=====

-=X P X P X P 也即 X -3 1 2 {}i x X P = 31 21 6

1 当x <-3时,{}{

}.0)(==≤=φP x X P x F 当13<≤-x 时,{}{}.313)(=-==≤=X P x X P x F 当21<≤x 时,{}{}{}.6

5213113)(=+==+-==≤=X P X P x X P x F 当x ≤2时,{}{}{}{}.1612131213)(=++==+=+-==≤=X P X P X P x X P x F 可得

..2,1;21,65;13,31;3,0)(????

?????≤<≤<≤--<=x x x x x F

11、设随机变量X 的分布函数为F(x),用F(x)表示下述概率:

{}{}{}{}.)4(;)3(;)2(;)1(a X P a X P a X P a X P >≥=≤

解:{});()1(a F a X P =≤{});0()2(-==a F a X P

{}{})0(11)3(--=<-=≥a F a X P a X P ;{}{}).(11)4(a F a X P a X P -=≤-=>

12、(柯西分布)随机变量X 的分布函数是:,,arctan )(+∞<<-∞+=x x B A x F 试求:(1)系数A 和B ;(2)X 落在区间(-1,1)内的概率;(3)X 的概率密度.

解:(1)由,0)(lim =-∞→x F x 1)(lim =+∞→x F x 可得:???

????=+=-1202B A B A ππ,解得π1,21==B A ; (2){}2

1)1()1(11=

--=<<-F F X P ; (3)X 的概率密度R x x x F x f ∈+?='=,111)()(2π. 13、设随机变量X 的分布函数为:?

??≤>+-=-.0,0,0,11)(x x e x x F x )( 试求X 的概率密度,并计算{}1≤X P 和{}3>X P .

解:X 的概率密度???≤>='=-.0,

0,0,)()(x x xe x F x f x {}2642.021)1(11=-==≤-e F X P ; {}1991.04)41(1)3(1)3(1333==--=-=≤-=>--e e F X P X P .

14、设随机变量X 的概率密度为:,,)(2+∞<<-∞=-x Ae

x f x 试求:(1)系数A ;(2)X 的分布函数.

解:(1)由?+∞∞-=1)(dx x f ,即???+∞∞-∞-+∞--=+=1)(00222dx e dx e A dx e A x x x ,求得1=A ;

(2)X 的分布函数??∞-∞---???????≥-<===x

x x x u x e x e du e A du u f x F 0,2

110,21)()(222. 15、设随机变量X 的概率密度为:?

??≤≤-=.,0,10),1(6)(其他x x x x f 试求:(1)求X 的分布函数;(2)确定满足{}{}b X P b X P >=≤的b .

解:(1)X 的分布函数?∞-??

???≥<≤-<==x

x x x x x du u f x F 1,110,230,0)()(32; (2)由{}{}b X P b X P >=≤,得)(1)(b F b F -=,21)(=b F ,故有2

12332=-b b ,解得21=b (2

31±=b 舍去).. 16、从一批子弹中任意抽出5发子弹,如果没有一发子弹落在靶心2 cm 以外,则整批子弹 将被接受.设弹着点与靶心的距离X (cm )的概率密度为:?????<<=-.

,0,30,)(2其他x Axe x f x 试求:(1)系数A ;(2)该批子弹被接受的概率

解:(1)由?+∞

∞-=1)(dx x f ,即??+∞∞---==13022dx xe A dx xe A x x ,求得9

12--=e A ; (2)其中一发子弹被接受的概率为:

{})2(2F X P =≤?∞--=22dx Axe x ?---=20

9212dx xe e x .1194----=e e 所以,该批子弹被接受的概率为:59411??

????----e e . 17、在长为l 的线段上随机地选取一点,将其分为两段,短的一段与长的一段之比小于1/4的概率是多少?

解:设在线段上随机选取的点为X ,X 的分布函数为:???????≥≤≤<=.

,1;0,;0,0)(l x l x l

x x x F

由短的一段与长的一段之比小于1/4可得41<-X l X 或41<-X X l ,即有5l X <或54l X >

而?

?????<5l X P )5

(l F =51=

,??????>54l X P ????

??

≤-=541l X P )54(1l F -=.51=

所以,短的一段与长的一段之比小于1/4的概率为0.4.

18、设随机变量Y 服从(0,5)上的均匀分布,求x 的方程:02442

=+++Y xY x 有实根的概率.

解:方程02442

=+++Y xY x 有实根的充要条件为

)2(1616)2(44)4(22+-=+??-Y Y Y Y =0)2)(1(16≥-+Y Y ,

得1-≤Y 或2≥Y .

由题设知Y 具有概率密度:?????<<=其他

,05

0,51

)(y y f

从而{

}?

-∞

-==-≤1

0)(1dy y f Y P ,{}5

3

51)(22

5

2

===≥?

?

+∞

dy dy y f Y P . 故有实根的概率{}{}5

3

05312=+=

-≤+≥=Y P Y P P . 19、一电子信号在(0,T )时间内随机地出现,设0

(1)信号出现在区间(t 0,t 1)内的概率;(2)信号在t 0时刻前不出现,在(t 0,t 1)内出现的概率. 解:电子信号出现的时间X 在(0,T )上服从均匀分布,其分布函数为

????

???<<≤<=.

,0;0,;0,0)(x T T x T x x x F

(1)信号出现在区间(t 0,t 1)内的概率为{}T

t t t F t F t X t P 0

10110)()(-=-=<<; (2) 信号在t 0时刻前不出现,在(t 0,t 1)内出现的概率.为

{}{}{}{}

{}

010********,t X P t X t P t X P t X t t X P t X t X t P <-<<=≥<<≥=

≥<<

.)(1)()(0

1001t T t t t F t F t F --=--=

20、若随机变量)1,0(~N X ,试求:(1){};5.2-≤X P (2) {}

.58.1>X P 解:(1){}5.2-≤X P =)5.2(1)5.2(Φ-=-Φ=0062.09938.01=-; (2){}58.1>X P ={}

58.11≤-X P =??

?

???

--Φ--Φ-)1058.1()1058.1(

1

=)58.1()58.1(1-Φ+Φ-=)58.1(22Φ-=1140.09430.022=?-.

21、若随机变量)16.0,2(~N X ,试求:(1){};3.2≥X P (2){

}.1.28.1≤≤X P 解:(1){}3.2≥X P ={}3.21<-X P =)4

.023.2(

1-Φ-=)75.0(1Φ- =2266.07724.01=-; (2){}1.28.1≤≤X P =)4

.028.1()4.021.2(-Φ--Φ=)5.0()25.0(-Φ-Φ=2902.0. 22、设某城市男子的身高)36,170(~N X (单位:cm ),问应如何选择公共汽车门的高度,使男子乘车时与车门碰头的机会小于0.01?

解:假设选择公共汽车的高度为l cm 时使男子乘车与车门碰头的机会小于0.01. 即有{}01.0<>l X P ,也即{}01.01<≤-l X P ,{}99.0>≤l X P ,

查表得:

)33.2()6170(Φ>-Φl ,从而,33.26

170>-l ,)(184cm l > 所以,公共汽车的车门高度为184cm 时男子乘车与车门碰头的机会小于0.01.

23、两台电子仪器的寿命分别为X 1,X 2,且)36,40(~1N X ,)9,45(~2N X ,若要在45小时的期间内使用这种仪器,问选用哪一台仪器较好?若在52小时内使用呢?

解:要在45小时的期间内使用这种仪器,两台电子仪器使用寿命的概率分别为

{});6

5()320()65()6400()64045(

4501Φ≈-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤

450()34545(4502Φ≈-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤Φ故选用第一台较好; 要在52小时的期间内使用这种仪器,两台电子仪器使用寿命的概率分别为

{});2()3

20()2()6400()64052(

5201Φ≈-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤

7()15()37()3450()34552(5202Φ≈-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤Φ故选用第二台较好。 24、某工厂生产的电子管寿命X (单位:小时)服从正态分布),1600(2

σN ,如果要求电子管的寿命在1200小时以上的概率达到0.96,求σ值.

解:由题意有,{},96.01200>>X P 即 {},04.01200<≤X P 04.0)16001200(<-Φσ,04.0)400(1<Φ-σ

查表可得 )75.1()400

(Φ>Φσ,从而75.1400

>σ,得.228<σ

25、设随机变量)9,60(~N X ,求分点,,21x x 使X 分别落在),(),,(),,(2211+∞-∞x x x x 的概率之比为3:4:5.

解:由题设有,{}{},5:4:3::}{2211=><<

60(1[:)]360()360([)360(2121=-Φ--Φ--Φ-Φx x x x : 令,)360(,)360(21b x a x =-Φ=-Φ则可得:5

31,43=-=-b a a b a 解得127,41==

b a ,即,127)360(,41)360(21=-Φ=-Φx x 经查表求得: 63.60,975.5721==x x .

补充题:

1、一袋中有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只,以X 表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律.

解:从5只球中任取3只,有1035=C 种取法,每种取法的概率为

10

1.随机变量X 的可能值为3、4、5.当X=3时,相当于3只球的号码为:{}321,,,故{}10

13==X P ;类似地,{}1034==X P ;{}1065==X P ,所以X 的分布律为: X

3 4 5 P 101 103 10

6

2、 将一颗骰子投掷两次,以X 表示两次中得到的最小的点数,试求X 的分布律.

解:样本空间{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(),2,1(),1,1( ,

=S ,随机变量X 的所有可能值为1、2、3、4、5、6,分布律为:

3、设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯,每组信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X 表示汽车首次停下时,它已通过的信号灯的组数(设各组信号灯的工作室相互独立的),求X 的分布律.

解:以P 表示每组信号灯禁止汽车通过的概率,易知X 的分布律为:

X 1 2 3 4

5 6 P 3611 369 367 365 363 36

1 X 0 1

2

3 4

P

p p p )1(- p p 2)1(- p p 3)1(- 4)1(p -

或者写成:{}3,2,1,0,)1(=-==k p p k X P k ;{}4)1(4p X P -==.以2

1=P 代入得:

4、设随机变量X 的分布函数为:??

???≥<≤<=.,1,1,ln ,1,0)(e x e x x x x F

(1)求{}{}{};2/52,30,2<<≤<

解:(1){}2ln )2(2==

45ln 2ln 25ln )2()25(252=-=-=????

??<<\/script>'); document.write('