概率论与数理统计习题解答全稿(1-7)
更新时间：2023-04-10 19:19:01 阅读量： 实用文档 文档下载
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习题一
1．设C B A ,,为随机试验的三个随机事件，试将下列事件用C B A ,,表示出来．
（1）仅仅A 发生；
（2）所有三个事件都发生；
（3）A 与B 均发生，C 不发生；
（4）至少有一个事件发生；
（5）至少有两个事件发生；
（6）恰有一个事件发生；
（7）恰有两个事件发生；
（8）没有一个事件发生；
（9）不多于两个事件发生．
解：（1）C B A ；（2）ABC ；（3）C AB ；(4)C B A ；(5)AC BC AB ；(6)C B A C B A C B A ；（7）C AB C B A BC A ；（8）C B A ；（9）ABC ．
2．写出下列随机试验的样本空间
（1）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子的点数之和；
（2）将一枚硬币抛三次，观察出现正反面的各种可能结果；
（3）对一目标进行射击，且到击中5次为止，记录射击的次数；
（4）将一单位长的线段分为三段，观察各段的长度；
（5）从分别标有号码1，2， ，10的10个球中任意取两球，记录球的号码．
解：（1）{3，4，5， ，18}；（2）{}TTT THT TTH THH HTT HTH HHT HHH ,,,,,,,;
(3) {5,6,7, }；(4) }{1,0,0,0:),,(=++>>>z y x z y x z y x ;
(5)}{n m n m n m ≠≤≤≤≤,101,101:),(．
3．将12个球随机地放入20个盒子，试求每个盒子中的球不多于1个的概率．
解：设)(A P 表式所求的概率，则：12122020
!12.)(C A P =≈0.01473． 4．将10本书任意地放在书架上，其中有一套4卷成套的书，求下列事件的概率：
（1）成套的书放在一起；（2）成套的书按卷次顺序排好放在一起．
解： （1）设)(A P 表示所求的概率，则：)(A P =30
1!10!4!7=?． （2）设)(B P 表示所求的概率，则：)(B P =720
1!10!7=． ５．一辆公共汽车出发前载有５名乘客，每一位乘客独立的在七个站中的任一个站离开，试求下列事件的概率：
（1）第七站恰好有两位乘客离去；（2）没有两位及两位以上乘客在同一站离去． 解：5名乘客在七个站中的任意一个站离开的结果总数57=n ．
（1）第七站恰好有两位乘客离去，其方法数3256?=C m ，故设)(A P 为所求概率，则：
1285.07
6)(53
25=?=C A P ． （2）设=B {没有两位及两位以上乘客在同一站离去}，则：1499.07!5)(5
57=?=C B P ． 6．有一个随机数发生器，每一次等可能的产生9,,2,1,0 十个数字，由这些数字随机编成的n 位数码（各数字允许重复），从全部n 位数码中任意选取一个，其最大数字不超过k （9≤k ）的概率．
解：设)(A P 表式所求的概率，则由全部n 位数码的总数为n
10，得：n n
k A P 10)1()(+=． ７．一元件盒中有50个元件，期中25件一等品，15件二等品，10件次品，从中任取10件，求：
（1）恰有两件一等品，两件二等品的概率；（2）恰有两件一等品的概率；
（3）没有次品的概率．
解：（1）设)(A P 为所求概率，则：41050
610215225104397.6)(-?=??=C C C C A P ． （2）设)(B P 为所求概率，则：03158.0)(1050
825225=?=C C C B P ． （3）设)(C P 为所求概率，则：0825.0)(1050
1040==C C C P ． ８．有10个人分别佩戴者标号从1号到10号的纪念章，任意选出3人，记下其纪念章的号码，试求：
（1）最小的号码为5的概率；（2）最大的号码为5的概率．
解：从10人中任意选3人纪念章号码的总数为310C n =，
（1）最小号码为5，则余下2个在6—10中选，即25C m =，设)(A P 为所求概率，则：
083.0)(310
25==C C A P ． （2）同理设)(B P 为所求概率，则：05.0)(310
24==C C A P ． 9．设事件B A ,及B A 的概率分别为q p ,和r ，试求：)(),(),(),(B A P B A P B A P AB P ． 解：r q p B A P B P A P AB P -+=-+=)()()()( ；
p r A P A B P A B P B A P -=-=-=)()()()( （单调性）；
q r B P B A P B A P B A P -=-=-=)()()()( （单调性）；
r B A P B A P B A P -=-==1)(1)()( ．
10．一批产品共100件，其中5件不合格．若抽检的5件产品中有产品不合格，则认为整批产品不合格，试问该批产品被拒绝接收的概率是多少？
解：（法一）设i A ={抽检的5件产品中第i 件不合格}，i =1,2,3,4,5
则所求概率为：∑===51
51)()(i i i i A P A P )()()()()(54321A P A P A P A P A P ++++=
2304.05100
55510019545510029535510039525510049515≈++++=C C C C C C C C C C C C C C ． （法二） 2304.01)(1)(510059505
1≈-=-==C C A P A P i i ． 11．设A 和B 是试验E 的两个事件，且2
1)(,31)(==B P A P ，在下述各种情况下计算概率)(A B P ：（1）B A ?；（2）A 和B 互不相容；（3）8
1)(=AB P ． 解：（1）6
13121)()()()(=-=-=-=A P B P A B P A B P ．（2）21)()(==B P A B P ． （3）8
38121)()()()(=-=-=-=AB P B P A B P A B P ． 12．现有两种报警系统A 与B ，每种系统单独使用时，系统A 有效的概率为0.92，系统有效的概率为0.93 ．装置在一起后，至少有一个系统有效的概率则为0.988，试求装置后：
（1）两个系统均有效的概率；（2）两个系统中仅有一个有效的概率．
解：（1）所求概率为)(AB P ，得：)()()()(B A P B P A P AB P -+=
862.0988.093.092.0=-+=；
（2）所求概率为)(B A B A P ，得：)(B A B A P )()(B A P B A P +=
)()()()(AB P B P AB P A P -+-=126.0862.0293.092.0=?-+=．
13．10把钥匙上有3把能打开门，今任取2把，求能打开门的概率．
解：（法一）从10把钥匙中任取2把的试验结果总数45210==C n ，能打开门意味着取到的
二两把钥匙至少有一把能打开门，其取法数24171323=+=C C C m ，故设)(A P 为所求概率，则：158)(210231713=+=C C C C A P ．
（法二）记A 为“能打开门”，则=A “两把钥匙皆开不了门”，于是
158452111)(1)(210
27=-=-=-=C C A P A P ． 14．一个盒子中有24个灯泡，其中有4个次品，若甲从盒中随机取走10个，乙取走余下的14个，求4个次品灯泡被一人全部取走的概率．
解：设=A {次品灯泡全部被甲取走}，=B {次品灯泡全部被乙取走}，则B A ,互不相容，
所求概率为：)()()(B P A P B A P += 1140.0424
414424410=+=C C C C ． 15．设将5个球随意地放入3个盒子中，求每个盒子内至少有一个球的概率．
解：5个球随意地放入3个盒子中事件总数5
3=n ，3个盒子中一个或两个盒子中有球数为3325331
53p C p C m ++=，设所求概率为)(A P ，则：8150331)(5
33253315=++-=p C p C A P ． 16．已知1A 和2A 同时发生，则A 必发生，证明：1)()()(21-+≥A P A P A P ． 证明：由已知，A A A ?21，再由单调性，)()(21A P A A P ≤，则
)()()()()(212121A A P A P A P A A P A P -+=≥,1)(021≤≤A A P ．
1)()()()()()()(21212121-+≥-+=≥∴A P A P A A P A P A P A A P A P ．
17．掷一枚均匀硬币直到出现三次正面才停止，问正好在第六次停止的情况下，第五次也是正面的概率是多少？
解：设=A {第五次出现正面}，=B {第六次停止}，则：5
2)2
1()21()()()|(256146===C C B P AB P B A P ． 18．证明：0)()|(>>A P B A P ，则)()|(B P A B P >． 证明：)()
|()()()()|(B P B A P AB P A P AB P A B P =>=，即证． 19．设事件B A ,互不相容，且0)(>B P ，试证：)(1)()|(B P A P B A P -=
． 证明：)
(1)()()()|(B P A P B P B A P B A P -=互不相容． 20．将两颗均匀骰子同时掷一次，已知两个骰子的点数之和是奇数，求两个骰子的点数之和
小于8的概率．
解：此事件的样本空间由36个样本点组成，设=A {两个骰子的点数之和小于8}，=B {两个骰子的点数之和是奇数}，则3618)(=B P ，36
12)(=AB P ，于是： 322
131
)
()()|(===B P AB P B A P ． 21．设10件产品中有4件是次品，从中任取两件，试求在所取得的产品中发现有一件是次品后，另一件也是次品的概率．
解：设=A {所取得两件中至少有一件是次品}，=B {所取得两件产品都是次品}，
B AB A B =∴?, ．而3
21)(1)(21026=-=-=C C A P A P ，152)(21024==C C B P ，所求概率为：5
13
2152
)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P ． 22． 10件产品有6件是正品，4件次品，对它们逐一进行检查，问下列事件的概率是多少？
（1）最先两次抽到的都是正品；（2）第一、三次抽到正品，第二、四次抽到次品；
（3）在第五次检查时发现最后一个次品．
解：设i A ={第i 次抽到的是正品}，i =1,2,3,4,5,6．则 (1)3
195106)|()()(12121=?=?=A A P A P A A P ; (2) )(4321A A A A P )|()|()|()(3214213121A A A A P A A A P A A P A P =
14
1738594106=???=； (3) 设=B {第五次检查时发现最后一个次品}，则210
4)(151********=*=C C C C C B P ． 23．某人忘记电话号码的最后一个数字，他仅记得最末一位数字是偶数．现在他试着拨最后一个号码，求他拨号不超过三次而接通电话的概率．
解：设=A {接通电话}，=i B {拨号i 次}，i =1，2，3．i B 构成样本空间的一个划分，由全概率公式：)|()()|()()|()()(332211B A P B P B A P B P B A P B P A P ++=
5
32110321522121=?+?+?=． 24．某型号的显像管主要由三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总产品和的25%、50%、25%，甲、乙、丙三个厂的产品在规定时间内能正常工作的概率分别是0.1、0.2、0.4，求一个随机选取的显像管能在规定时间内正常工作的概率．
解：设A ={能在规定时间内正常工作}，i B ={选取第i 个厂家的产品}，i =1，2，3．
则由全概率公式：
)|()()|()()|()()(332211B A P B P B A P B P B A P B P A P ++=
225.04.025.02.05.01.025.0=?+?+?=．
25．两批同类产品各自有12件和10件，在每一批产品中有一件次品，无意中将第一批的一件产品混入第二批，现从第二批中取出一件，求第二批中取出次品的概率．
解：设=B {第二批中取出次品}，=A {第一批的次品混入第二批}，
A A ,构成样本空间的一个有限划分，由全概率公式：
0985.011
11211112121)|()()|()()(=?+?=+=A B P A P A B P A P B P ． 26．在一个盒子中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛时任意取出三个球，比赛后仍放回原盒中，第二次比赛时，同样任意的取出三个球，求第二次取出三个新球的概率．
解：设B={第二次取出3个新球}．可以看出，直接确定B 的概率)(B P 是困难的，原因是，第一次比赛之后，12个乒乓球中的新、旧球的分布情况不清楚，而一旦新旧球的分布情况明确了，那么相应的概率也容易求得．为此，设i A ={第一次取到的3个球中有i 个新球}， i =0，1，2，3．容易判断3210,,,A A A A 构成一个划分．由于
3,2,1,0,)(315369==-i C C C A P i i i ，又3,2,1,0,)|(315
39==-i C C A B P i i ． 由全概率公式，得：)|()()(30i i i A B P A P B P ∑==∑=--=3
023*******)(i i i i C C C C 0893.0207025
1680756075601680≈+++=． 27．仓库中存有从甲厂购进的产品30箱，从乙厂购进的同类产品25箱，甲厂的每箱装12
个，废品率为0.04，乙厂的每箱装10个，废品率0.05，求：
(1)任取一箱，从此箱中任取一个为废品的概率；
(2)将所有产品开箱后混放，任取一个为废品的概率．
解：(1)设=B {取出的是废品}，=A {从甲厂取出}，A A ,构成一个划分，则
)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=
0441.005.010
251230102504.0102512301230=??+??+??+??=
(2) 0441.010********.0102504.01230=?+???+?? 28．已知一批产品中96%是合格品，用某种检验方法辨认出合格品为合格品的概率是0.98，而误认废品是合格品的概率是0.05，求检查合格的一件产品确系合格的概率．
解： 设A ={检查合格产品}，B ={确系合格}．
由已知，05.0)|(,98.0)|(,96.0)(===B A P B A P B P ， 由贝叶斯公式：)()|()()|(A P B A P B P A B P =)
|()()|()()|()(B A P B P B A P B P B A P B P += 9979.005
.004.098.096.098.096.0≈?+??=． 29．已知5%的男人和0.25%的女人是色盲者，现随机挑选一人，此人恰为色盲者，问此人 是男人的概率为多少（假设男人女人各占总人数的一半）．
解：设=A {色盲者}，=B {男人}， B B ,构成样本空间的一个划分，且05.0)|(=B A P ， 0025.0)|(=B A P ，由贝叶斯公式：)
()|()()|(A P B A P B P A B P = )|()()|()()|()(B A P B P B A P B P B A P B P +=9524.00025.02
105.02105.021=?+??=． 30．设某种病菌在人口中的带菌率为0.03，由于检验手段不完善，带菌者呈阳性反应的概 率为0.99，而不带菌者呈阳性反应的概率为0.05，若某人检查结果是呈阳性反应，他是带菌者的概率是多少？
解：设=A {结果呈阳性}，=B {是带菌者}，则B B ,构成样本空间的一个划分，且 99.0)|(=B A P ，05.0)|(=B A P ，由贝叶斯公式：
)()|()()|(A P B A P B P A B P =)
|()()|()()|()(B A P B P B A P B P B A P B P += 3798.005
.097.099.003.099.003.0=?+??=． 31．证明：如果)|()|(B A P B A P =，则事件A 和B 相互独立． 证明：由已知和条件概率公式，有)
()()()(B P B A P B P AB P =，即)()()()(AB P B P B A P B P =， 即)())(1()()(AB P B P AB A P B P -=-，又A AB ?，上式得：
)()](1[)]()()[(AB P B P AB P A P B P -=-，有)()()(B P A P AB P =，即A 和B 相互独立．
32．设一个n 位二进制数是由n 各“0”或“1”数字组成，每一位出现错误数字的概率是
p ，
各位数字出现错误与否是独立的，问组成一个不正确的这类二进制数的概率是多少？ 解：每一位出现正确数字的概率是p -1，由已知，各位数字出现正确与否也是独立的，于是所求概率n P A P )1(1)(--=．
33.设事件C B A ,,相互独立，且2
1)(,31)(,41)(===C P B P A P ，试求： （1）三个事件都不发生的概率；
（2）三个事件中至少有一个事件发生的概率；
（3）三个事件中恰有一个事件发生的概率；
（4）至多有两个事件发生的概率.
解：（1）4
1)211)(3
1
1)(411()()()()(=---==C P B P A P C B A P ； （2）43411)(1)(=-=-=C B A P C B A P ； （3）)(C B A C B A C B A P )()()(C B A P C B A P C B A P ++=
24
11213243213143213241=??+??+??=； （4）)()()(1)(1C P B P A P ABC P -=-24232131411=??-
=． 34．甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球；乙袋中有10只白球，
6只红球，9只黑球．从两袋中各取一球，试求两球颜色相同的概率．
解：设C B A ,,表示两球同为白色、红色和黑色，C B A ,,互不相容，
则所求概率为：
)()()()(C P B P A P C B A P ++= 3312.025
925152562572510253=?+?+?=． 35．两部机床独立的工作，每部机床不需要工人照管的概率分别
为0.9和0.85，试求：
(1)两部均不需照管的概率； (2)恰有一部需要照管的概率；
(3)两部同时需要照管的概率．
解：设=A {甲机床不需要工人照管}，=B {乙机床不需要工人照管}，
则9.0)(=A P ，85.0)(=B P ，
(1)765.085.09.0)()()(=?==B P A P AB P (2))()()()()()()(B P A P B P A P B A P B A P B A B A P +=+=
22.085.01.015.09.0=?+?= (3) 015.015.01.0)()()(=?==B P A P B A P ．
36．求下列系统（图1.6）能正常工作的概率，其框图的字母代表组件，字母相同，下标不同的均为同一类组件，知识装配在不同的位置，A 类组件正常工作的概率为a γ，B 类组件正常工作的概率为b γ，C 类为c γ．
解：(1)所求概率为)]()()()[()()()]([BC P C P B P A P C B P A P C B A P -+==
c b a c a b a γγγγγγγ-+=．
(2)所求概率为
)()()()()(5421635241635241A A A A P A A P A A P A A P A A A A A A P -++= )()()(65432165326431A A A A A A P A A A A P A A A A P +--，
又654321,,,,,A A A A A A 相互独立，则
)33(33)(4
22642635241a a a a a a A A A A A A P γγγγγγ+-=+-= ．
(3)所求概率为 )()()()]())([(22112211n n n n B A P B A P B A P B A B A B A P =)]()()([)]()()()][()()([22221111n n n n B A P B P A P B A P B P A P B A P B P A P -+-+-+= n b a b a )(γγγγ-+=．
习题二
1、一批晶体管中有9个合格品和3个不合格品，从中任取一个安装在电子设备上，如果取出不合格品不再放回，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的概率．
解：设在取得合格品以前已取出的不合格品数为随机变量X ，则X 的所有可能取值为：0，1，2，3。分布律为：75.0129}0{===X P ,2045.011
9123}1{=?==X P , 0409.010*******}2{=??==X P ,0046.09
9101112123}3{=???==X P 也可以表示为： X 0
1 2 3 {}
k X P = 0.75 0.2045 0.0409 0.0046
2、做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p (0
（1）首次成功时试验次数Y 的分布律；（2）在n 次成功之前已经失败次数X 的分布律. 解：设A i ={第i 次试验成功}，i =1,2,…，则
（1）{})(121k k A A A A P k Y P -== )()()()(121k k A P A P A P A P -=
,2,1,)1(1=-=-k p p k
（2）做n +m 次独立试验，指定n 次成功，m 次失败的概率为：.)1(n m p p -
随机事件}{m X =发生相当于第n +m 次试验必定成功，而前n +m -1次试验中有m 次失败，
共有.1m m n C -+次不同的方式，故： ,2,1,0,)1(}{1=-==-+m p p C m X P n m m m n
3、 设随机变量X 的分布律为：{}.3,2,1,32=??
? ???==k C k X P k 求C 的值． 解：由{}{}{}，1321==+=+=X P X P X P 即132323232=??
? ???+??? ???+??? ???C C C ，也即可得38
27=C ． 4、 随机变量X 的分布律为：{} ,2,1.0,)1(=-==k a a k X P k
（1）a 可取何值？（2）证明对于任意两个正整数s 和t ，有{}
{}.t X P s X t s X P ≥=>+> 解：（1）{}111lim )1()1(00=---=-==∞→∞=∞=∑∑a a a a a k X P k
k k k
k ，得0
s X P s X t s X P s X t s X P >>+>=>+>)()( {}{}s X P t s X P >+>={}.t X P ≥= 5、一批产品共有25件，其中5件次品，从中随机地一个一个取出检查，共取4次，设X 是其中的次品数，若
（1）每次取出的产品仍放回；（2）每次取出的产品不再放回。写出X 的分布律.
解：（1）随机的取出产品并放回，每次取出的产品是次品的概率是p =0.2，共取4次相当于做4次伯努利试验，则).2.0,4(~B X
(2) {}4254200C C X P ==，{}425320151C C C X P ==，{}425220252C C C X P ==，{}425
120353C C C X P ==， {}425454C C X P ==，把上述概率统一改写为：{}4,3,2,1,0,425
4205===-k C C C k X P k k 6、某射手每次射击击中目标的概率为0.8，现连续射击30次，写出击中目标的次数X 的分布律，并求出30次射击未击中目标的概率.
解：该射手每次射击要么击中目标，要么没击中目标，击中目标的概率p =0.8，连续射击30次相当于做30重伯努利试验. 击中目标的次数是X ，故).8.0,30(~B X
30次射击未击中目标的概率为：{}.100737.1)8.01(02130-?=-==X P
7、一放射源放射出的任一粒子穿透某一屏蔽的概率是0.01，现放射出100个粒子，求至少有两个粒子穿透屏蔽的概率.
解：放射源放射出的任一粒子要么穿透屏蔽，要么不能穿透，穿透屏蔽的概率p =0.01，放射100个粒子相当于做100重伯努利试验. 穿透屏蔽的次数是X ，故).01.0,100(~B X
至少有两个粒子穿透屏蔽的概率为：
{}{}{}{}()101212=+=-=<-=≥X P X P X P X P
()
991110010000100)99.0()01.0()99.0()01.0(1C C +-=().2642.07358.013697.03661.01=-=+-=
8、设随机变量X 服从泊松分布，且{}{}21===X P X P ，计算{}.4=X P
解：由题意，)(~λP X ,且{}{}λλλλ--=====e X P e X P !22!112
1
，得,2=λ
故{}.0902.0.32!424224
≈===-e
e X P 9、在一个周期内，从一个放射源放射出的粒子数X 是服从泊松分布的随机变量，如果无粒子放射出的概率为1/3，试求：
（1）X 的分布律；（2）放射出一个以上粒子的概率.
解：（1）{}3
1000====--λλλe e X P ！，得3ln =λ．故X 的分布律为： {} ,2,1,0,!
)3(ln 31!)3(ln 3ln ====-k k e k k X k k
． （2）放射出一个以上粒子的概率为：
{}11≤-X P =λλλλ----e e !1!0110=3ln 3
1311--3005.0=． 10、一个口袋中有六个球，在这六个球上标明的数字分别为-3，-3，1，1，1，2，从袋中任取一个球，试求取得的球上标明的数字X 的分布律及分布函数.
解：由题意有：{}{}{}6
12,211,313=====
-=X P X P X P 也即 X -3 1 2 {}i x X P = 31 21 6
1 当x <-3时，{}{
}.0)(==≤=φP x X P x F 当13<≤-x 时，{}{}.313)(=-==≤=X P x X P x F 当21<≤x 时，{}{}{}.6
5213113)(=+==+-==≤=X P X P x X P x F 当x ≤2时，{}{}{}{}.1612131213)(=++==+=+-==≤=X P X P X P x X P x F 可得
..2,1;21,65;13,31;3,0)(????
?????≤<≤<≤--<=x x x x x F
11、设随机变量X 的分布函数为F(x)，用F(x)表示下述概率：
{}{}{}{}.)4(;)3(;)2(;)1(a X P a X P a X P a X P >≥=≤
解：{});()1(a F a X P =≤{});0()2(-==a F a X P
{}{})0(11)3(--=<-=≥a F a X P a X P ；{}{}).(11)4(a F a X P a X P -=≤-=>
12、（柯西分布）随机变量X 的分布函数是：,,arctan )(+∞<<-∞+=x x B A x F 试求：（1）系数A 和B ；（2）X 落在区间（-1，1）内的概率；（3）X 的概率密度．
解：（1）由,0)(lim =-∞→x F x 1)(lim =+∞→x F x 可得：???
????=+=-1202B A B A ππ,解得π1,21==B A ; （2）{}2
1)1()1(11=
--=<<-F F X P ; （3）X 的概率密度R x x x F x f ∈+?='=,111)()(2π． 13、设随机变量X 的分布函数为：?
??≤>+-=-.0,0,0,11)(x x e x x F x ）（ 试求X 的概率密度，并计算{}1≤X P 和{}3>X P ．
解：X 的概率密度???≤>='=-.0,
0,0,)()(x x xe x F x f x {}2642.021)1(11=-==≤-e F X P ； {}1991.04)41(1)3(1)3(1333==--=-=≤-=>--e e F X P X P ．
14、设随机变量X 的概率密度为：,,)(2+∞<<-∞=-x Ae
x f x 试求：（1）系数A ；（2）X 的分布函数．
解：（1）由?+∞∞-=1)(dx x f ，即???+∞∞-∞-+∞--=+=1)(00222dx e dx e A dx e A x x x ，求得1=A ;
（2）X 的分布函数??∞-∞---???????≥-<===x
x x x u x e x e du e A du u f x F 0,2
110,21)()(222． 15、设随机变量X 的概率密度为：?
??≤≤-=.,0,10),1(6)(其他x x x x f 试求：（1）求X 的分布函数；（2）确定满足{}{}b X P b X P >=≤的b ．
解：（1）X 的分布函数?∞-??
???≥<≤-<==x
x x x x x du u f x F 1,110,230,0)()(32； （2）由{}{}b X P b X P >=≤，得)(1)(b F b F -=，21)(=b F ,故有2
12332=-b b ，解得21=b （2
31±=b 舍去）．. 16、从一批子弹中任意抽出5发子弹，如果没有一发子弹落在靶心2 cm 以外，则整批子弹 将被接受．设弹着点与靶心的距离X （cm ）的概率密度为：?????<<=-.
,0,30,)(2其他x Axe x f x 试求：（1）系数A ；（2）该批子弹被接受的概率
解：（1）由?+∞
∞-=1)(dx x f ，即??+∞∞---==13022dx xe A dx xe A x x ，求得9
12--=e A ; （2）其中一发子弹被接受的概率为：
{})2(2F X P =≤?∞--=22dx Axe x ?---=20
9212dx xe e x .1194----=e e 所以，该批子弹被接受的概率为：59411??
????----e e ． 17、在长为l 的线段上随机地选取一点，将其分为两段，短的一段与长的一段之比小于1/4的概率是多少？
解：设在线段上随机选取的点为X ，X 的分布函数为：???????≥≤≤<=.
,1;0,;0,0)(l x l x l
x x x F
由短的一段与长的一段之比小于1/4可得41<-X l X 或41<-X X l ，即有5l X <或54l X >
而?
?????<5l X P )5
(l F =51=
，??????>54l X P ????
??
≤-=541l X P )54(1l F -=.51=
所以，短的一段与长的一段之比小于1/4的概率为0.4．
18、设随机变量Y 服从（0,5）上的均匀分布，求x 的方程：02442
=+++Y xY x 有实根的概率．
解：方程02442
=+++Y xY x 有实根的充要条件为
)2(1616)2(44)4(22+-=+??-Y Y Y Y =0)2)(1(16≥-+Y Y ，
得1-≤Y 或2≥Y ．
由题设知Y 具有概率密度：?????<<=其他
,05
0,51
)(y y f
从而{
}?
-∞
-==-≤1
0)(1dy y f Y P ，{}5
3
51)(22
5
2
===≥?
?
+∞
dy dy y f Y P ． 故有实根的概率{}{}5
3
05312=+=
-≤+≥=Y P Y P P ． 19、一电子信号在（0,T ）时间内随机地出现，设0 （1）信号出现在区间(t 0,t 1)内的概率；（2）信号在t 0时刻前不出现，在(t 0,t 1)内出现的概率. 解：电子信号出现的时间X 在（0,T ）上服从均匀分布，其分布函数为 ???? ???<<≤<=. ,0;0,;0,0)(x T T x T x x x F （1）信号出现在区间(t 0,t 1)内的概率为{}T t t t F t F t X t P 0 10110)()(-=-=<<; (2) 信号在t 0时刻前不出现，在(t 0,t 1)内出现的概率.为 {}{}{}{} {} 010********,t X P t X t P t X P t X t t X P t X t X t P <-<<=≥<<≥= ≥<< .)(1)()(0 1001t T t t t F t F t F --=--= 20、若随机变量)1,0(~N X ,试求：（1）{};5.2-≤X P （2） {} .58.1>X P 解：（1）{}5.2-≤X P =)5.2(1)5.2(Φ-=-Φ=0062.09938.01=-； （2）{}58.1>X P ={} 58.11≤-X P =?? ? ??? --Φ--Φ-)1058.1()1058.1( 1 =)58.1()58.1(1-Φ+Φ-=)58.1(22Φ-=1140.09430.022=?-． 21、若随机变量)16.0,2(~N X ,试求：（1）{};3.2≥X P （2）{ }.1.28.1≤≤X P 解：（1）{}3.2≥X P ={}3.21<-X P =)4 .023.2( 1-Φ-=)75.0(1Φ- =2266.07724.01=-； （2）{}1.28.1≤≤X P =)4 .028.1()4.021.2(-Φ--Φ=)5.0()25.0(-Φ-Φ=2902.0． 22、设某城市男子的身高)36,170(~N X （单位：cm ），问应如何选择公共汽车门的高度，使男子乘车时与车门碰头的机会小于0.01？ 解：假设选择公共汽车的高度为l cm 时使男子乘车与车门碰头的机会小于0.01． 即有{}01.0<>l X P ，也即{}01.01<≤-l X P ，{}99.0>≤l X P ， 查表得： )33.2()6170(Φ>-Φl ，从而，33.26 170>-l ，)(184cm l > 所以，公共汽车的车门高度为184cm 时男子乘车与车门碰头的机会小于0.01． 23、两台电子仪器的寿命分别为X 1,X 2，且)36,40(~1N X ，)9,45(~2N X ，若要在45小时的期间内使用这种仪器，问选用哪一台仪器较好？若在52小时内使用呢？ 解：要在45小时的期间内使用这种仪器，两台电子仪器使用寿命的概率分别为 {});6 5()320()65()6400()64045( 4501Φ≈-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤ 450()34545(4502Φ≈-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤ {});2()3 20()2()6400()64052( 5201Φ≈-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤ 7()15()37()3450()34552(5202Φ≈-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤ σN ，如果要求电子管的寿命在1200小时以上的概率达到0.96，求σ值. 解：由题意有，{},96.01200>>X P 即 {},04.01200<≤X P 04.0)16001200(<-Φσ，04.0)400(1<Φ-σ 查表可得 )75.1()400 (Φ>Φσ，从而75.1400 >σ，得.228<σ 25、设随机变量)9,60(~N X ，求分点,,21x x 使X 分别落在),(),,(),,(2211+∞-∞x x x x 的概率之比为3:4:5． 解：由题设有，{}{},5:4:3::}{2211=><< 60(1[:)]360()360([)360(2121=-Φ--Φ--Φ-Φx x x x ： 令,)360(,)360(21b x a x =-Φ=-Φ则可得：5 31,43=-=-b a a b a 解得127,41== b a ，即,127)360(,41)360(21=-Φ=-Φx x 经查表求得： 63.60,975.5721==x x ． 补充题： 1、一袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5．在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律． 解：从5只球中任取3只，有1035=C 种取法，每种取法的概率为 10 1．随机变量X 的可能值为3、4、5．当X=3时，相当于3只球的号码为：{}321，，，故{}10 13==X P ;类似地，{}1034==X P ；{}1065==X P ，所以X 的分布律为： X 3 4 5 P 101 103 10 6 2、 将一颗骰子投掷两次，以X 表示两次中得到的最小的点数，试求X 的分布律． 解：样本空间{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(),2,1(),1,1( ， =S ，随机变量X 的所有可能值为1、2、3、4、5、6,分布律为： 3、设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯，每组信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过．以X 表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作室相互独立的），求X 的分布律． 解：以P 表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，易知X 的分布律为： X 1 2 3 4 5 6 P 3611 369 367 365 363 36 1 X 0 1 2 3 4 P p p p )1(- p p 2)1(- p p 3)1(- 4)1(p - 或者写成：{}3,2,1,0,)1(=-==k p p k X P k ；{}4)1(4p X P -==．以2 1=P 代入得： 4、设随机变量X 的分布函数为：?? ???≥<≤<=.,1,1,ln ,1,0)(e x e x x x x F （1）求{}{}{};2/52,30,2<<≤< 解：（1）{}2ln )2(2== 45ln 2ln 25ln )2()25(252=-=-=???? ??<