概率论与数理统计习题解答全稿(1-7)
更新时间:2023-04-10 19:19:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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习题一
1.设C B A ,,为随机试验的三个随机事件,试将下列事件用C B A ,,表示出来.
(1)仅仅A 发生;
(2)所有三个事件都发生;
(3)A 与B 均发生,C 不发生;
(4)至少有一个事件发生;
(5)至少有两个事件发生;
(6)恰有一个事件发生;
(7)恰有两个事件发生;
(8)没有一个事件发生;
(9)不多于两个事件发生.
解:(1)C B A ;(2)ABC ;(3)C AB ;(4)C B A ;(5)AC BC AB ;(6)C B A C B A C B A ;(7)C AB C B A BC A ;(8)C B A ;(9)ABC .
2.写出下列随机试验的样本空间
(1)同时掷三颗骰子,记录三颗骰子的点数之和;
(2)将一枚硬币抛三次,观察出现正反面的各种可能结果;
(3)对一目标进行射击,且到击中5次为止,记录射击的次数;
(4)将一单位长的线段分为三段,观察各段的长度;
(5)从分别标有号码1,2, ,10的10个球中任意取两球,记录球的号码.
解:(1){3,4,5, ,18};(2){}TTT THT TTH THH HTT HTH HHT HHH ,,,,,,,;
(3) {5,6,7, };(4) }{1,0,0,0:),,(=++>>>z y x z y x z y x ;
(5)}{n m n m n m ≠≤≤≤≤,101,101:),(.
3.将12个球随机地放入20个盒子,试求每个盒子中的球不多于1个的概率.
解:设)(A P 表式所求的概率,则:12122020
!12.)(C A P =≈0.01473. 4.将10本书任意地放在书架上,其中有一套4卷成套的书,求下列事件的概率:
(1)成套的书放在一起;(2)成套的书按卷次顺序排好放在一起.
解: (1)设)(A P 表示所求的概率,则:)(A P =30
1!10!4!7=?. (2)设)(B P 表示所求的概率,则:)(B P =720
1!10!7=. 5.一辆公共汽车出发前载有5名乘客,每一位乘客独立的在七个站中的任一个站离开,试求下列事件的概率:
(1)第七站恰好有两位乘客离去;(2)没有两位及两位以上乘客在同一站离去. 解:5名乘客在七个站中的任意一个站离开的结果总数57=n .
(1)第七站恰好有两位乘客离去,其方法数3256?=C m ,故设)(A P 为所求概率,则:
1285.07
6)(53
25=?=C A P . (2)设=B {没有两位及两位以上乘客在同一站离去},则:1499.07!5)(5
57=?=C B P . 6.有一个随机数发生器,每一次等可能的产生9,,2,1,0 十个数字,由这些数字随机编成的n 位数码(各数字允许重复),从全部n 位数码中任意选取一个,其最大数字不超过k (9≤k )的概率.
解:设)(A P 表式所求的概率,则由全部n 位数码的总数为n
10,得:n n
k A P 10)1()(+=. 7.一元件盒中有50个元件,期中25件一等品,15件二等品,10件次品,从中任取10件,求:
(1)恰有两件一等品,两件二等品的概率;(2)恰有两件一等品的概率;
(3)没有次品的概率.
解:(1)设)(A P 为所求概率,则:41050
610215225104397.6)(-?=??=C C C C A P . (2)设)(B P 为所求概率,则:03158.0)(1050
825225=?=C C C B P . (3)设)(C P 为所求概率,则:0825.0)(1050
1040==C C C P . 8.有10个人分别佩戴者标号从1号到10号的纪念章,任意选出3人,记下其纪念章的号码,试求:
(1)最小的号码为5的概率;(2)最大的号码为5的概率.
解:从10人中任意选3人纪念章号码的总数为310C n =,
(1)最小号码为5,则余下2个在6—10中选,即25C m =,设)(A P 为所求概率,则:
083.0)(310
25==C C A P . (2)同理设)(B P 为所求概率,则:05.0)(310
24==C C A P . 9.设事件B A ,及B A 的概率分别为q p ,和r ,试求:)(),(),(),(B A P B A P B A P AB P . 解:r q p B A P B P A P AB P -+=-+=)()()()( ;
p r A P A B P A B P B A P -=-=-=)()()()( (单调性);
q r B P B A P B A P B A P -=-=-=)()()()( (单调性);
r B A P B A P B A P -=-==1)(1)()( .
10.一批产品共100件,其中5件不合格.若抽检的5件产品中有产品不合格,则认为整批产品不合格,试问该批产品被拒绝接收的概率是多少?
解:(法一)设i A ={抽检的5件产品中第i 件不合格},i =1,2,3,4,5
则所求概率为:∑===51
51)()(i i i i A P A P )()()()()(54321A P A P A P A P A P ++++=
2304.05100
55510019545510029535510039525510049515≈++++=C C C C C C C C C C C C C C . (法二) 2304.01)(1)(510059505
1≈-=-==C C A P A P i i . 11.设A 和B 是试验E 的两个事件,且2
1)(,31)(==B P A P ,在下述各种情况下计算概率)(A B P :(1)B A ?;(2)A 和B 互不相容;(3)8
1)(=AB P . 解:(1)6
13121)()()()(=-=-=-=A P B P A B P A B P .(2)21)()(==B P A B P . (3)8
38121)()()()(=-=-=-=AB P B P A B P A B P . 12.现有两种报警系统A 与B ,每种系统单独使用时,系统A 有效的概率为0.92,系统有效的概率为0.93 .装置在一起后,至少有一个系统有效的概率则为0.988,试求装置后:
(1)两个系统均有效的概率;(2)两个系统中仅有一个有效的概率.
解:(1)所求概率为)(AB P ,得:)()()()(B A P B P A P AB P -+=
862.0988.093.092.0=-+=;
(2)所求概率为)(B A B A P ,得:)(B A B A P )()(B A P B A P +=
)()()()(AB P B P AB P A P -+-=126.0862.0293.092.0=?-+=.
13.10把钥匙上有3把能打开门,今任取2把,求能打开门的概率.
解:(法一)从10把钥匙中任取2把的试验结果总数45210==C n ,能打开门意味着取到的
二两把钥匙至少有一把能打开门,其取法数24171323=+=C C C m ,故设)(A P 为所求概率,则:158)(210231713=+=C C C C A P .
(法二)记A 为“能打开门”,则=A “两把钥匙皆开不了门”,于是
158452111)(1)(210
27=-=-=-=C C A P A P . 14.一个盒子中有24个灯泡,其中有4个次品,若甲从盒中随机取走10个,乙取走余下的14个,求4个次品灯泡被一人全部取走的概率.
解:设=A {次品灯泡全部被甲取走},=B {次品灯泡全部被乙取走},则B A ,互不相容,
所求概率为:)()()(B P A P B A P += 1140.0424
414424410=+=C C C C . 15.设将5个球随意地放入3个盒子中,求每个盒子内至少有一个球的概率.
解:5个球随意地放入3个盒子中事件总数5
3=n ,3个盒子中一个或两个盒子中有球数为3325331
53p C p C m ++=,设所求概率为)(A P ,则:8150331)(5
33253315=++-=p C p C A P . 16.已知1A 和2A 同时发生,则A 必发生,证明:1)()()(21-+≥A P A P A P . 证明:由已知,A A A ?21,再由单调性,)()(21A P A A P ≤,则
)()()()()(212121A A P A P A P A A P A P -+=≥,1)(021≤≤A A P .
1)()()()()()()(21212121-+≥-+=≥∴A P A P A A P A P A P A A P A P .
17.掷一枚均匀硬币直到出现三次正面才停止,问正好在第六次停止的情况下,第五次也是正面的概率是多少?
解:设=A {第五次出现正面},=B {第六次停止},则:5
2)2
1()21()()()|(256146===C C B P AB P B A P . 18.证明:0)()|(>>A P B A P ,则)()|(B P A B P >. 证明:)()
|()()()()|(B P B A P AB P A P AB P A B P =>=,即证. 19.设事件B A ,互不相容,且0)(>B P ,试证:)(1)()|(B P A P B A P -=
. 证明:)
(1)()()()|(B P A P B P B A P B A P -=互不相容. 20.将两颗均匀骰子同时掷一次,已知两个骰子的点数之和是奇数,求两个骰子的点数之和
小于8的概率.
解:此事件的样本空间由36个样本点组成,设=A {两个骰子的点数之和小于8},=B {两个骰子的点数之和是奇数},则3618)(=B P ,36
12)(=AB P ,于是: 322
131
)
()()|(===B P AB P B A P . 21.设10件产品中有4件是次品,从中任取两件,试求在所取得的产品中发现有一件是次品后,另一件也是次品的概率.
解:设=A {所取得两件中至少有一件是次品},=B {所取得两件产品都是次品},
B AB A B =∴?, .而3
21)(1)(21026=-=-=C C A P A P ,152)(21024==C C B P ,所求概率为:5
13
2152
)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P . 22. 10件产品有6件是正品,4件次品,对它们逐一进行检查,问下列事件的概率是多少?
(1)最先两次抽到的都是正品;(2)第一、三次抽到正品,第二、四次抽到次品;
(3)在第五次检查时发现最后一个次品.
解:设i A ={第i 次抽到的是正品},i =1,2,3,4,5,6.则 (1)3
195106)|()()(12121=?=?=A A P A P A A P ; (2) )(4321A A A A P )|()|()|()(3214213121A A A A P A A A P A A P A P =
14
1738594106=???=; (3) 设=B {第五次检查时发现最后一个次品},则210
4)(151********=*=C C C C C B P . 23.某人忘记电话号码的最后一个数字,他仅记得最末一位数字是偶数.现在他试着拨最后一个号码,求他拨号不超过三次而接通电话的概率.
解:设=A {接通电话},=i B {拨号i 次},i =1,2,3.i B 构成样本空间的一个划分,由全概率公式:)|()()|()()|()()(332211B A P B P B A P B P B A P B P A P ++=
5
32110321522121=?+?+?=. 24.某型号的显像管主要由三个厂家供货,甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总产品和的25%、50%、25%,甲、乙、丙三个厂的产品在规定时间内能正常工作的概率分别是0.1、0.2、0.4,求一个随机选取的显像管能在规定时间内正常工作的概率.
解:设A ={能在规定时间内正常工作},i B ={选取第i 个厂家的产品},i =1,2,3.
则由全概率公式:
)|()()|()()|()()(332211B A P B P B A P B P B A P B P A P ++=
225.04.025.02.05.01.025.0=?+?+?=.
25.两批同类产品各自有12件和10件,在每一批产品中有一件次品,无意中将第一批的一件产品混入第二批,现从第二批中取出一件,求第二批中取出次品的概率.
解:设=B {第二批中取出次品},=A {第一批的次品混入第二批},
A A ,构成样本空间的一个有限划分,由全概率公式:
0985.011
11211112121)|()()|()()(=?+?=+=A B P A P A B P A P B P . 26.在一个盒子中装有15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛时任意取出三个球,比赛后仍放回原盒中,第二次比赛时,同样任意的取出三个球,求第二次取出三个新球的概率.
解:设B={第二次取出3个新球}.可以看出,直接确定B 的概率)(B P 是困难的,原因是,第一次比赛之后,12个乒乓球中的新、旧球的分布情况不清楚,而一旦新旧球的分布情况明确了,那么相应的概率也容易求得.为此,设i A ={第一次取到的3个球中有i 个新球}, i =0,1,2,3.容易判断3210,,,A A A A 构成一个划分.由于
3,2,1,0,)(315369==-i C C C A P i i i ,又3,2,1,0,)|(315
39==-i C C A B P i i . 由全概率公式,得:)|()()(30i i i A B P A P B P ∑==∑=--=3
023*******)(i i i i C C C C 0893.0207025
1680756075601680≈+++=. 27.仓库中存有从甲厂购进的产品30箱,从乙厂购进的同类产品25箱,甲厂的每箱装12
个,废品率为0.04,乙厂的每箱装10个,废品率0.05,求:
(1)任取一箱,从此箱中任取一个为废品的概率;
(2)将所有产品开箱后混放,任取一个为废品的概率.
解:(1)设=B {取出的是废品},=A {从甲厂取出},A A ,构成一个划分,则
)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=
0441.005.010
251230102504.0102512301230=??+??+??+??=
(2) 0441.010********.0102504.01230=?+???+?? 28.已知一批产品中96%是合格品,用某种检验方法辨认出合格品为合格品的概率是0.98,而误认废品是合格品的概率是0.05,求检查合格的一件产品确系合格的概率.
解: 设A ={检查合格产品},B ={确系合格}.
由已知,05.0)|(,98.0)|(,96.0)(===B A P B A P B P , 由贝叶斯公式:)()|()()|(A P B A P B P A B P =)
|()()|()()|()(B A P B P B A P B P B A P B P += 9979.005
.004.098.096.098.096.0≈?+??=. 29.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲者,现随机挑选一人,此人恰为色盲者,问此人 是男人的概率为多少(假设男人女人各占总人数的一半).
解:设=A {色盲者},=B {男人}, B B ,构成样本空间的一个划分,且05.0)|(=B A P , 0025.0)|(=B A P ,由贝叶斯公式:)
()|()()|(A P B A P B P A B P = )|()()|()()|()(B A P B P B A P B P B A P B P +=9524.00025.02
105.02105.021=?+??=. 30.设某种病菌在人口中的带菌率为0.03,由于检验手段不完善,带菌者呈阳性反应的概 率为0.99,而不带菌者呈阳性反应的概率为0.05,若某人检查结果是呈阳性反应,他是带菌者的概率是多少?
解:设=A {结果呈阳性},=B {是带菌者},则B B ,构成样本空间的一个划分,且 99.0)|(=B A P ,05.0)|(=B A P ,由贝叶斯公式:
)()|()()|(A P B A P B P A B P =)
|()()|()()|()(B A P B P B A P B P B A P B P += 3798.005
.097.099.003.099.003.0=?+??=. 31.证明:如果)|()|(B A P B A P =,则事件A 和B 相互独立. 证明:由已知和条件概率公式,有)
()()()(B P B A P B P AB P =,即)()()()(AB P B P B A P B P =, 即)())(1()()(AB P B P AB A P B P -=-,又A AB ?,上式得:
)()](1[)]()()[(AB P B P AB P A P B P -=-,有)()()(B P A P AB P =,即A 和B 相互独立.
32.设一个n 位二进制数是由n 各“0”或“1”数字组成,每一位出现错误数字的概率是
p ,
各位数字出现错误与否是独立的,问组成一个不正确的这类二进制数的概率是多少? 解:每一位出现正确数字的概率是p -1,由已知,各位数字出现正确与否也是独立的,于是所求概率n P A P )1(1)(--=.
33.设事件C B A ,,相互独立,且2
1)(,31)(,41)(===C P B P A P ,试求: (1)三个事件都不发生的概率;
(2)三个事件中至少有一个事件发生的概率;
(3)三个事件中恰有一个事件发生的概率;
(4)至多有两个事件发生的概率.
解:(1)4
1)211)(3
1
1)(411()()()()(=---==C P B P A P C B A P ; (2)43411)(1)(=-=-=C B A P C B A P ; (3))(C B A C B A C B A P )()()(C B A P C B A P C B A P ++=
24
11213243213143213241=??+??+??=; (4))()()(1)(1C P B P A P ABC P -=-24232131411=??-
=. 34.甲袋中有3只白球,7只红球,15只黑球;乙袋中有10只白球,
6只红球,9只黑球.从两袋中各取一球,试求两球颜色相同的概率.
解:设C B A ,,表示两球同为白色、红色和黑色,C B A ,,互不相容,
则所求概率为:
)()()()(C P B P A P C B A P ++= 3312.025
925152562572510253=?+?+?=. 35.两部机床独立的工作,每部机床不需要工人照管的概率分别
为0.9和0.85,试求:
(1)两部均不需照管的概率; (2)恰有一部需要照管的概率;
(3)两部同时需要照管的概率.
解:设=A {甲机床不需要工人照管},=B {乙机床不需要工人照管},
则9.0)(=A P ,85.0)(=B P ,
(1)765.085.09.0)()()(=?==B P A P AB P (2))()()()()()()(B P A P B P A P B A P B A P B A B A P +=+=
22.085.01.015.09.0=?+?= (3) 015.015.01.0)()()(=?==B P A P B A P .
36.求下列系统(图1.6)能正常工作的概率,其框图的字母代表组件,字母相同,下标不同的均为同一类组件,知识装配在不同的位置,A 类组件正常工作的概率为a γ,B 类组件正常工作的概率为b γ,C 类为c γ.
解:(1)所求概率为)]()()()[()()()]([BC P C P B P A P C B P A P C B A P -+==
c b a c a b a γγγγγγγ-+=.
(2)所求概率为
)()()()()(5421635241635241A A A A P A A P A A P A A P A A A A A A P -++= )()()(65432165326431A A A A A A P A A A A P A A A A P +--,
又654321,,,,,A A A A A A 相互独立,则
)33(33)(4
22642635241a a a a a a A A A A A A P γγγγγγ+-=+-= .
(3)所求概率为 )()()()]())([(22112211n n n n B A P B A P B A P B A B A B A P =)]()()([)]()()()][()()([22221111n n n n B A P B P A P B A P B P A P B A P B P A P -+-+-+= n b a b a )(γγγγ-+=.
习题二
1、一批晶体管中有9个合格品和3个不合格品,从中任取一个安装在电子设备上,如果取出不合格品不再放回,求在取得合格品以前已取出的不合格品数的概率.
解:设在取得合格品以前已取出的不合格品数为随机变量X ,则X 的所有可能取值为:0,1,2,3。分布律为:75.0129}0{===X P ,2045.011
9123}1{=?==X P , 0409.010*******}2{=??==X P ,0046.09
9101112123}3{=???==X P 也可以表示为: X 0
1 2 3 {}
k X P = 0.75 0.2045 0.0409 0.0046
2、做一系列独立试验,每次试验成功的概率为p (0
(1)首次成功时试验次数Y 的分布律;(2)在n 次成功之前已经失败次数X 的分布律. 解:设A i ={第i 次试验成功},i =1,2,…,则
(1){})(121k k A A A A P k Y P -== )()()()(121k k A P A P A P A P -=
,2,1,)1(1=-=-k p p k
(2)做n +m 次独立试验,指定n 次成功,m 次失败的概率为:.)1(n m p p -
随机事件}{m X =发生相当于第n +m 次试验必定成功,而前n +m -1次试验中有m 次失败,
共有.1m m n C -+次不同的方式,故: ,2,1,0,)1(}{1=-==-+m p p C m X P n m m m n
3、 设随机变量X 的分布律为:{}.3,2,1,32=??
? ???==k C k X P k 求C 的值. 解:由{}{}{},1321==+=+=X P X P X P 即132323232=??
? ???+??? ???+??? ???C C C ,也即可得38
27=C . 4、 随机变量X 的分布律为:{} ,2,1.0,)1(=-==k a a k X P k
(1)a 可取何值?(2)证明对于任意两个正整数s 和t ,有{}
{}.t X P s X t s X P ≥=>+> 解:(1){}111lim )1()1(00=---=-==∞→∞=∞=∑∑a a a a a k X P k
k k k
k ,得0
s X P s X t s X P s X t s X P >>+>=>+>)()( {}{}s X P t s X P >+>={}.t X P ≥= 5、一批产品共有25件,其中5件次品,从中随机地一个一个取出检查,共取4次,设X 是其中的次品数,若
(1)每次取出的产品仍放回;(2)每次取出的产品不再放回。写出X 的分布律.
解:(1)随机的取出产品并放回,每次取出的产品是次品的概率是p =0.2,共取4次相当于做4次伯努利试验,则).2.0,4(~B X
(2) {}4254200C C X P ==,{}425320151C C C X P ==,{}425220252C C C X P ==,{}425
120353C C C X P ==, {}425454C C X P ==,把上述概率统一改写为:{}4,3,2,1,0,425
4205===-k C C C k X P k k 6、某射手每次射击击中目标的概率为0.8,现连续射击30次,写出击中目标的次数X 的分布律,并求出30次射击未击中目标的概率.
解:该射手每次射击要么击中目标,要么没击中目标,击中目标的概率p =0.8,连续射击30次相当于做30重伯努利试验. 击中目标的次数是X ,故).8.0,30(~B X
30次射击未击中目标的概率为:{}.100737.1)8.01(02130-?=-==X P
7、一放射源放射出的任一粒子穿透某一屏蔽的概率是0.01,现放射出100个粒子,求至少有两个粒子穿透屏蔽的概率.
解:放射源放射出的任一粒子要么穿透屏蔽,要么不能穿透,穿透屏蔽的概率p =0.01,放射100个粒子相当于做100重伯努利试验. 穿透屏蔽的次数是X ,故).01.0,100(~B X
至少有两个粒子穿透屏蔽的概率为:
{}{}{}{}()101212=+=-=<-=≥X P X P X P X P
()
991110010000100)99.0()01.0()99.0()01.0(1C C +-=().2642.07358.013697.03661.01=-=+-=
8、设随机变量X 服从泊松分布,且{}{}21===X P X P ,计算{}.4=X P
解:由题意,)(~λP X ,且{}{}λλλλ--=====e X P e X P !22!112
1
,得,2=λ
故{}.0902.0.32!424224
≈===-e
e X P 9、在一个周期内,从一个放射源放射出的粒子数X 是服从泊松分布的随机变量,如果无粒子放射出的概率为1/3,试求:
(1)X 的分布律;(2)放射出一个以上粒子的概率.
解:(1){}3
1000====--λλλe e X P !,得3ln =λ.故X 的分布律为: {} ,2,1,0,!
)3(ln 31!)3(ln 3ln ====-k k e k k X k k
. (2)放射出一个以上粒子的概率为:
{}11≤-X P =λλλλ----e e !1!0110=3ln 3
1311--3005.0=. 10、一个口袋中有六个球,在这六个球上标明的数字分别为-3,-3,1,1,1,2,从袋中任取一个球,试求取得的球上标明的数字X 的分布律及分布函数.
解:由题意有:{}{}{}6
12,211,313=====
-=X P X P X P 也即 X -3 1 2 {}i x X P = 31 21 6
1 当x <-3时,{}{
}.0)(==≤=φP x X P x F 当13<≤-x 时,{}{}.313)(=-==≤=X P x X P x F 当21<≤x 时,{}{}{}.6
5213113)(=+==+-==≤=X P X P x X P x F 当x ≤2时,{}{}{}{}.1612131213)(=++==+=+-==≤=X P X P X P x X P x F 可得
..2,1;21,65;13,31;3,0)(????
?????≤<≤<≤--<=x x x x x F
11、设随机变量X 的分布函数为F(x),用F(x)表示下述概率:
{}{}{}{}.)4(;)3(;)2(;)1(a X P a X P a X P a X P >≥=≤
解:{});()1(a F a X P =≤{});0()2(-==a F a X P
{}{})0(11)3(--=<-=≥a F a X P a X P ;{}{}).(11)4(a F a X P a X P -=≤-=>
12、(柯西分布)随机变量X 的分布函数是:,,arctan )(+∞<<-∞+=x x B A x F 试求:(1)系数A 和B ;(2)X 落在区间(-1,1)内的概率;(3)X 的概率密度.
解:(1)由,0)(lim =-∞→x F x 1)(lim =+∞→x F x 可得:???
????=+=-1202B A B A ππ,解得π1,21==B A ; (2){}2
1)1()1(11=
--=<<-F F X P ; (3)X 的概率密度R x x x F x f ∈+?='=,111)()(2π. 13、设随机变量X 的分布函数为:?
??≤>+-=-.0,0,0,11)(x x e x x F x )( 试求X 的概率密度,并计算{}1≤X P 和{}3>X P .
解:X 的概率密度???≤>='=-.0,
0,0,)()(x x xe x F x f x {}2642.021)1(11=-==≤-e F X P ; {}1991.04)41(1)3(1)3(1333==--=-=≤-=>--e e F X P X P .
14、设随机变量X 的概率密度为:,,)(2+∞<<-∞=-x Ae
x f x 试求:(1)系数A ;(2)X 的分布函数.
解:(1)由?+∞∞-=1)(dx x f ,即???+∞∞-∞-+∞--=+=1)(00222dx e dx e A dx e A x x x ,求得1=A ;
(2)X 的分布函数??∞-∞---???????≥-<===x
x x x u x e x e du e A du u f x F 0,2
110,21)()(222. 15、设随机变量X 的概率密度为:?
??≤≤-=.,0,10),1(6)(其他x x x x f 试求:(1)求X 的分布函数;(2)确定满足{}{}b X P b X P >=≤的b .
解:(1)X 的分布函数?∞-??
???≥<≤-<==x
x x x x x du u f x F 1,110,230,0)()(32; (2)由{}{}b X P b X P >=≤,得)(1)(b F b F -=,21)(=b F ,故有2
12332=-b b ,解得21=b (2
31±=b 舍去).. 16、从一批子弹中任意抽出5发子弹,如果没有一发子弹落在靶心2 cm 以外,则整批子弹 将被接受.设弹着点与靶心的距离X (cm )的概率密度为:?????<<=-.
,0,30,)(2其他x Axe x f x 试求:(1)系数A ;(2)该批子弹被接受的概率
解:(1)由?+∞
∞-=1)(dx x f ,即??+∞∞---==13022dx xe A dx xe A x x ,求得9
12--=e A ; (2)其中一发子弹被接受的概率为:
{})2(2F X P =≤?∞--=22dx Axe x ?---=20
9212dx xe e x .1194----=e e 所以,该批子弹被接受的概率为:59411??
????----e e . 17、在长为l 的线段上随机地选取一点,将其分为两段,短的一段与长的一段之比小于1/4的概率是多少?
解:设在线段上随机选取的点为X ,X 的分布函数为:???????≥≤≤<=.
,1;0,;0,0)(l x l x l
x x x F
由短的一段与长的一段之比小于1/4可得41<-X l X 或41<-X X l ,即有5l X <或54l X >
而?
?????<5l X P )5
(l F =51=
,??????>54l X P ????
??
≤-=541l X P )54(1l F -=.51=
所以,短的一段与长的一段之比小于1/4的概率为0.4.
18、设随机变量Y 服从(0,5)上的均匀分布,求x 的方程:02442
=+++Y xY x 有实根的概率.
解:方程02442
=+++Y xY x 有实根的充要条件为
)2(1616)2(44)4(22+-=+??-Y Y Y Y =0)2)(1(16≥-+Y Y ,
得1-≤Y 或2≥Y .
由题设知Y 具有概率密度:?????<<=其他
,05
0,51
)(y y f
从而{
}?
-∞
-==-≤1
0)(1dy y f Y P ,{}5
3
51)(22
5
2
===≥?
?
+∞
dy dy y f Y P . 故有实根的概率{}{}5
3
05312=+=
-≤+≥=Y P Y P P . 19、一电子信号在(0,T )时间内随机地出现,设0 (1)信号出现在区间(t 0,t 1)内的概率;(2)信号在t 0时刻前不出现,在(t 0,t 1)内出现的概率. 解:电子信号出现的时间X 在(0,T )上服从均匀分布,其分布函数为 ???? ???<<≤<=. ,0;0,;0,0)(x T T x T x x x F (1)信号出现在区间(t 0,t 1)内的概率为{}T t t t F t F t X t P 0 10110)()(-=-=<<; (2) 信号在t 0时刻前不出现,在(t 0,t 1)内出现的概率.为 {}{}{}{} {} 010********,t X P t X t P t X P t X t t X P t X t X t P <-<<=≥<<≥= ≥<< .)(1)()(0 1001t T t t t F t F t F --=--= 20、若随机变量)1,0(~N X ,试求:(1){};5.2-≤X P (2) {} .58.1>X P 解:(1){}5.2-≤X P =)5.2(1)5.2(Φ-=-Φ=0062.09938.01=-; (2){}58.1>X P ={} 58.11≤-X P =?? ? ??? --Φ--Φ-)1058.1()1058.1( 1 =)58.1()58.1(1-Φ+Φ-=)58.1(22Φ-=1140.09430.022=?-. 21、若随机变量)16.0,2(~N X ,试求:(1){};3.2≥X P (2){ }.1.28.1≤≤X P 解:(1){}3.2≥X P ={}3.21<-X P =)4 .023.2( 1-Φ-=)75.0(1Φ- =2266.07724.01=-; (2){}1.28.1≤≤X P =)4 .028.1()4.021.2(-Φ--Φ=)5.0()25.0(-Φ-Φ=2902.0. 22、设某城市男子的身高)36,170(~N X (单位:cm ),问应如何选择公共汽车门的高度,使男子乘车时与车门碰头的机会小于0.01? 解:假设选择公共汽车的高度为l cm 时使男子乘车与车门碰头的机会小于0.01. 即有{}01.0<>l X P ,也即{}01.01<≤-l X P ,{}99.0>≤l X P , 查表得: )33.2()6170(Φ>-Φl ,从而,33.26 170>-l ,)(184cm l > 所以,公共汽车的车门高度为184cm 时男子乘车与车门碰头的机会小于0.01. 23、两台电子仪器的寿命分别为X 1,X 2,且)36,40(~1N X ,)9,45(~2N X ,若要在45小时的期间内使用这种仪器,问选用哪一台仪器较好?若在52小时内使用呢? 解:要在45小时的期间内使用这种仪器,两台电子仪器使用寿命的概率分别为 {});6 5()320()65()6400()64045( 4501Φ≈-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤ 450()34545(4502Φ≈-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤ {});2()3 20()2()6400()64052( 5201Φ≈-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤ 7()15()37()3450()34552(5202Φ≈-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤ σN ,如果要求电子管的寿命在1200小时以上的概率达到0.96,求σ值. 解:由题意有,{},96.01200>>X P 即 {},04.01200<≤X P 04.0)16001200(<-Φσ,04.0)400(1<Φ-σ 查表可得 )75.1()400 (Φ>Φσ,从而75.1400 >σ,得.228<σ 25、设随机变量)9,60(~N X ,求分点,,21x x 使X 分别落在),(),,(),,(2211+∞-∞x x x x 的概率之比为3:4:5. 解:由题设有,{}{},5:4:3::}{2211=><< 60(1[:)]360()360([)360(2121=-Φ--Φ--Φ-Φx x x x : 令,)360(,)360(21b x a x =-Φ=-Φ则可得:5 31,43=-=-b a a b a 解得127,41== b a ,即,127)360(,41)360(21=-Φ=-Φx x 经查表求得: 63.60,975.5721==x x . 补充题: 1、一袋中有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只,以X 表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律. 解:从5只球中任取3只,有1035=C 种取法,每种取法的概率为 10 1.随机变量X 的可能值为3、4、5.当X=3时,相当于3只球的号码为:{}321,,,故{}10 13==X P ;类似地,{}1034==X P ;{}1065==X P ,所以X 的分布律为: X 3 4 5 P 101 103 10 6 2、 将一颗骰子投掷两次,以X 表示两次中得到的最小的点数,试求X 的分布律. 解:样本空间{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(),2,1(),1,1( , =S ,随机变量X 的所有可能值为1、2、3、4、5、6,分布律为: 3、设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯,每组信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X 表示汽车首次停下时,它已通过的信号灯的组数(设各组信号灯的工作室相互独立的),求X 的分布律. 解:以P 表示每组信号灯禁止汽车通过的概率,易知X 的分布律为: X 1 2 3 4 5 6 P 3611 369 367 365 363 36 1 X 0 1 2 3 4 P p p p )1(- p p 2)1(- p p 3)1(- 4)1(p - 或者写成:{}3,2,1,0,)1(=-==k p p k X P k ;{}4)1(4p X P -==.以2 1=P 代入得: 4、设随机变量X 的分布函数为:?? ???≥<≤<=.,1,1,ln ,1,0)(e x e x x x x F (1)求{}{}{};2/52,30,2<<≤< 解:(1){}2ln )2(2== 45ln 2ln 25ln )2()25(252=-=-=???? ??< ,0,1,1)()(其他e x x x F x f 5、一工厂生产的某种元件的寿命X (以小时计)服从参数为σμ,160=的正态分布,若 要求{ }80.0200120≥≤ }80.0200120≥≤ 200(σσ -Φ--Φ=)40()40(σσ-Φ-Φ=80.01)40(2≥-Φσ,90.0)40(≥Φσ, 从而:28.140≥σ,25.31≤σ,即允许σ最大为31.25. 6、某地区18岁的女青年的血压(收缩压,以mm -Hg 计)服从)12,110(2N .在该地区任 选一18岁的女青年,测量她的血压X .(1)求}105{≤X P ,}120100{≤ 解:(1)由)12,110(~2 N X ,则 }105{≤X P =)12 5()12110105(-Φ=-Φ=)125(1Φ-=3372.06628.01=-; }120100{≤ 110100()12110120(-Φ--Φ=)65()65(-Φ-Φ=1)65(2-Φ =5934.017967.02=-?; (2)05.0)12 110(1)(1}{≤-Φ-=≤-=>x x X P x X P ,则 95.0)12110(≥-Φx ,为确定x 的最小值,查表得:65.112 110=-x ,所以8.129=x . X 0 1 2 3 4 P 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625 习题三 1.二维随机变量),(Y X 的联合分布函数是)3 arctan )(2arctan (),(y C x B A y x F ++=,2),(R y x ∈,试求:(1)系数A 、B 、 C ;(2)边缘分布函数. 解:(1)0)3 arctan )(2(),(lim =+-=-∞→y C B A y x F x π 2π=?B , 0)2)(2arctan (),(lim =-+=-∞→πC x B A y x F y 2π=?C , 1)2)(2(),(lim =++=+∞ →+∞→ππC B A y x F y x 21π=?A ; (2)X 的边缘分布函数)2 arctan 2(1),(lim )(x y x F x F y X += =+∞→ππ, Y 的边缘分布函数)3 arctan 2(1),(lim )(y y x F y F x Y +==+∞→ππ. 2.将两个元件并联组成一个电子部件,两个元件的寿命分别为X 与Y (单位:小时),已知),(Y X 的联合分布函数为:???≥≥+--=+---., 0;0,0,1),()(01.001.001.0其他y x e e e y x F y x y x 试求:(1)关于X 、Y 的边缘分布函数;(2)此电子部件正常工作120小时以上的概率. 解:(1)X 的边缘分布函数???<≥-==-+∞→0, 00,1),(lim )(01.0x x e y x F x F x y X , Y 的边缘分布函数? ??<≥-==-+∞→0,00,1),(lim )(01.0y y e y x F y F y x Y ; (2)}120{}120{1}120{}120{<<-=≥≥Y P X P Y P X P , 4.22.1212001.02)1(1)120()120(1--?--=--=?-=e e e F F Y X 5117.0=. 3.对一个目标独立地射击两次,每次命中的概率为2 1,若X 表示第一次射击时的命中次数,Y 表示第二次射击时的命中次数,试求X 和Y 的联合分布律以及联合分布函数. 解:联合分布律 Y X 0 1 0 41 41 1 41 41 联合分布函数????? ????<≤≥≥<≤<≤<≤≥≥=. ,010,1,211,10,2110,10,411 ,1,1),(其他y x y x y x y x y x F 4.一个袋子中装有4个球,依次标有数字1,2,2,3,从中任意取出1个后(不放回),记下球上的数字X ,再取出1个球,记下其上的数字Y .试写出),(Y X 的联合分布律和关于X 、Y 的边缘分布律. 解: Y X 1 2 3 ?i p 1 0 122 121 123 2 122 122 122 126 3 121 122 0 123 j p ? 123 126 123 5.设二维随机变量),(Y X 的联合分布律如下: Y X 0 1 2 3 4 0 0.08 0.07 0.06 0.01 0.01 1 0.06 0.10 0.12 0.05 0.02 2 0.05 0.06 0.09 0.04 0.03 3 0.02 0.03 0.03 0.03 0.04 计算以下概率: (1)}2{=X P ;(2)}2,2{≤≤Y X P ;(3)}2{≥Y P ;(4)}{Y X P =;(5)}{Y X P >. 解:(1)}2{=X P 27.0=;(2)}2,2{≤≤Y X P 69.0=;(3)}2{≥Y P 53.0=; (4)}{Y X P =3.0=;(5)}{Y X P >25.0=. 6.二维连续性随机变量),(Y X 的联合概率密度为???≤≤=. ,0; 1,),(22其他y x y Cx y x f 确定常数C 并计算概率}{Y X P ≥. 解:C ydy dx Cx dxdy y x f x 21 4),(111 1 22= == ???? -+∞∞-+∞ ∞ - -1 1 4 21=?C ; }{Y X P ≥15.04211022==? ?x x ydy dx x . 7.设二元函数为?????≤≤≤≤=., 0;2,0,cos sin ),(其他ππy C x y x y x f , 问C 取何值时,),(y x f 是二维随机变量的概率密度? 解:)sin 1(2cos sin ),(102 C ydy xdx dxdy y x f C -===????∞+∞-∞+∞-ππ 6π=?C . 8.随机变量),(Y X 的联合概率密度是? ??-≤≤+=.,0;10),(),(22其他x y y x C y x f , 试求:(1)常数C ;(2)}210{≤ 解:(1)C dy y x C dx dxdy y x f x 5 4)(),(1111022=+==????--+∞∞-+∞ ∞- 4 5=?C ; (2) }2 10{≤ 79)(452101022=+=??-x dy y x dx ; (3)}{2Y X P =0),(}),{(2==??=x y y x d y x f σ. 9.设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为???<<=+-., 0;0,0,12),()43(其他y x e y x f y x 试求:(1)}20,10{<<≤ 解:(1)}20,10{<<≤ 043=--== ----??e e dy e dx e y x ; (2)当0,0>>y x 时, )1)(1(43),(),(4343y x x y v u x y e e dv e du e dudv v u f y x F --∞-∞---∞-∞---===????, 联合分布函数),(y x F ???<<--=--., 0;0,0),1)(1(43其他y x e e y x 10.设甲船在24小时内随机到达码头,并停留2小时;乙船也在24小时内独立地随机到达码头,并停留1小时,试求:(1)甲船先到达的概率1p ;(2)两船相遇的概率2p . Y 60 115 O X -1 1 解:(1)2 1 }{1=<=Y X P p ; (2) } 21{}1{}2{2+<<-=+<<+<<=X Y X P Y X Y P X Y X P p 1207.024 2321 2221242 2 22 =?-?-= 11.两个人约定在下午1时到2时之间的任何时刻到达某车站乘公共汽车,并且分别独立到达车站.这段时间内有4班公共汽车,它们的开车时间分别为1:15,1:30,1:45,2:00,如果他们约定:(1)见车就上;(2)最多等一辆车.求在两种情形下他们同乘一辆车的概率分别是多少? 解: (1)411641== p ; (2)8 516102==p . 12.设二维随机变量),(Y X )0;1,0;1,0(~N ,计算概率}{2 2 r Y X P <+,其中0>r . 解:2 22 21),(y x e y x +-=π ?,}{2 2r Y X P <+2 20 2 1212 r r e d e d ---== ? ? π ρρρπ θ. 13.设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为???<<<<=. ,0; 10,10,),(2其他y x Cxy y x f , 确定常数C ,并讨论X 与Y 是否相互独立? 解:C dy y Cxdx dxdy y x f 6 1 ),(110 1 2= == ???? +∞∞-+∞ ∞ -6=?C ; ?? ?<<=?????<<==??∞ +∞-其他, 其他,0102, 010,6),()(1 02x x x dy xy dy y x f x f X , ?? ?<<=?????<<==??∞+∞ -其他, 其他,0103, 010,6),()(21 02y y y dx xy dx y x f y f Y , 由),()()(y x f y f x f Y X =?,则X 与Y 相互独立. 14.设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度如下,问X 与Y 是否相互独立? X Y 24 24 2 1
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