高数第三章一元函数的导数和微分

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第三章一元函数的导

数和微分【字体：大中小】【打印】

3.1 导数概念

一、问题的提出

1.切线问题

割线的极限位置——切线位置

如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线.

极限位置即

切线MT 的斜率为

2.自由落体运动的瞬时速度问题

~

二、导数的定义

设函数y=f（x ）在点的某个邻域内有定义，当自变量x 在处取得增量Δx （点仍在该邻域内）时，相应地函数y 取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x ）在点处可导，并称这个极限为函数

y=f（x ）在点处的导数，记为

即

其它形式

关于导数的说明：

在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变

化的快慢程度。

如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。

对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）

~ 的导函数，记作

注意：

2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数.

导数定义例题：

例1、115页8

设函数f（x）在点x=a可导，求：

（1）

【答疑编号11030101：针对该题提问】

（2）

【答疑编号11030102：针对该题提问】

~

三、单侧导数

1.左导数：

2.右导数：

函数f（x ）在点处可导左导数和右导数都存在且相等.

例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。

【答疑编号11030103：针对该题提问】

解

~

闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b ）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导.

由定义求导数

步骤：

例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。

【答疑编号11030104：针对该题提问】

解

例4、设函数

【答疑编号11030105：针对该题提问】

解

~

同理可以得到

例5、求

例6、求函数的导数。

【答疑编号11030106：针对该题提问】

解

~

例7、求函数的导数。

【答疑编号11030107：针对该题提问】

解

四、常数和基本初等函数的导数公式

五、导数的几何意义

处的切线的斜率，即

表示曲线y=f（x ）在点

~

切线方程为

法线方程为

例8、求双曲线处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线

方程。

【答疑编号11030108：针对该题提问】

解

由导数的几何意义, 得切线斜率为

~ 所求切线方程为

法线方程为

六、可导与连续的关系

1.定理凡可导函数都是连续函数.

注意：该定理的逆定理不成立，即：连续函数不一定可导。

我们有：不连续一定不可导

极限存在、连续、可导之间的关系。

2.连续函数不存在导数举例

例9、讨论函数在x=0处的连续性与可导性。

【答疑编号11030109：针对该题提问】

解：

~

例10、 P115第10题

设，α在什么条件下可使f（x）在点x=0处。

（1）连续；（2）可导。

【答疑编号11030110：针对该题提问】

解：（1）

（2）

~

七、小结

1.导数的实质：增量比的极限；

2.导数的几何意义：切线的斜率；

3.函数可导一定连续，但连续不一定可导；

4.

5.求导数最基本的方法：由定义求导数.

6.判断可导性

3.2 求导法则

3.3 基本求导公式

一、和、差、积、商的求导法则

1.定理：

如果函数在点x处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点x

处也可导，并且

~

推论

2.例题分析

例1、求的导数。

【答疑编号11030201：针对该题提问】

解

例2、求的导数。

【答疑编号11030202：针对该题提问】

解

~

例3、求y=tanx的导数。

【答疑编号11030203：针对该题提问】

解

同理可得

例4、求y=secx的导数。

【答疑编号11030204：针对该题提问】

解

~ 同理可得

例5、131页例2

设，求.

【答疑编号11030205：针对该题提问】

二、反函数的导数

1.定理：

如果函数在某区间内单调、可导且，那么它的反函数

在对应区间内也可导，且有

即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

2.例题分析

例6、求函数y=arcsinx的导数

【答疑编号11030206：针对该题提问】

解

同理可得

~

例7、求函数的导数。

【答疑编号11030207：针对该题提问】

解

特别地

三、小结：初等函数的求导问题

1.常数和基本初等函数的导数公式

2.函数的和、差、积、商的求导法则

设

u=u（x），v=v（x）可导，则

例8、127页1题（6）（14）（15）

~

（1）1题（6）小题

【答疑编号11030208：针对该题提问】

解：

（2）1题（14）小题

【答疑编号11030209：针对该题提问】

解：

（3）1题（15）小题

【答疑编号11030210：针对该题提问】

解：

~

例9、115页3

若一直线运动的运动方程为，求在t=3时运动的瞬时速度。

【答疑编号11030211：针对该题提问】

解：

例10、115页5

求曲线的与直线y=5x的平行的切线。

【答疑编号11030212：针对该题提问】

~ 另一条求出来是

四、分段函数的求导问题

1.114页定理：设

（1）如果函数在上连续，在上可导，且当时

，则

（2）如果函数在上连续，在上可导，且当时

，则

2.分段函数的求导问题举例

例11、 116页11 求下列分段函数f（x ）的：

（1）

【答疑编号11030213：针对该题提问】

解：

~

五、复合函数的求导法则

1.复合函数的求导法则

定理

如果函数在点x0可导，而y=f（u ）在点可导，则复合函数在点x0可导，且其导数为

即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导。（链式法则）

的导数为

推广设，则复合函数

2.例题分析

例1.求函数y=lnsinx的导数。

【答疑编号11030301：针对该题提问】

~ 解∵y=lnu，u=sinx.

例2.已知y=（2x2-3x+5）100，求。

【答疑编号11030302：针对该题提问】

例3.求y=sin5x的导数

【答疑编号11030303：针对该题提问】

~

例4.求函数的导数

【答疑编号11030304：针对该题提问】

解

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