2015西城高三一模数学(理科)

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2015北京西城高三一模数学理科

北京市西城区2015年高三一模试卷

数 学(理科) 2015.4

第Ⅰ卷(选择题 共40分)

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.设集合A {0,1},集合B {x|x a},若A

B ,则实数a的取值范围是( )

(A)a≤1 (B)a≥1 (C)a≥0 (D)a≤0

2.复数z满足z i 3 i,则在复平面内,复数z对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 3. 在极坐标系中,曲线ρ=2cosθ是( )

(A)过极点的直线 (B)半径为2的圆 (C)关于极点对称的图形 (D)关于极轴对称的图形 4.执行如图所示的程序框图,若输入的x的值为3, 则输出的n的值为( )

(A)4 (B)5 (C)6 (D)7

5.若函数f(x)的定义域为R,则“ x R,f(x 1) f(x)”是“函数f(x)为增函数”的

( )

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分

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也不必要条件

6. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的是( )

正(主)视图

俯视图

侧(左)视图

(A)47(B)23(C)15(D)7

6 2 3

7. 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元,而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元,那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是( )

(A)2枝玫瑰的价格高 (B)3枝康乃馨的价格高 (C)价格相同 (D)不确定 8. 已知抛物线y=

1212

x和y=-x+5所围成的封闭

416

曲线如图所示,给定点A(0,a)三对不同的点,满足每一对点关于点A对称,则实数a 的取值范围是( )

(A)(1,3) (B)(2,4) (C)(,3)

3

2

(D)(,4)

2

第Ⅱ卷(非选择题 共110分)

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9. 已知平面向量a,b满足a (1, 1),(a b) (a b),那么|b|= ____.

x2y22

10.已知双曲线C:2 2 1(a 0,b 0)的一个焦点是抛物线y 8x的焦点,且双曲线

ab

C的离心率为2,那么双曲线C的方程为____.

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11.在 ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 若A

则a ____.

π,cosB ,b 2,312.若数列{an}满足a1 2,且对于任意的m,n N*,都有am n am an,则a3 ___;数列

{an}前10项的和S10 ____.

13. 某种产品的加工需要A,B,C,D,E五道工艺,其中A必须在D的前面完成(不一定

相邻),其它工艺的顺序可以改变,但不能同时进行,为了节省加工时间,B与C必须相邻,那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有____种. (用数字作答) 14. 如图,四面体ABCD的一条棱长为x,其余棱长均为1, 记四面体ABCD的体积为F(x),则函数F(x)的单 调增区间是____;最大值为____.

A

B

C

D

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)

设函数f(x) 4cosxsin(x ) x R. (Ⅰ)当x [0,]时,求函数f(x)的值域;

(Ⅱ)已知函数y f(x)的图象与直线y 1有交点,求相邻两个交点间的最短距离.

16.(本小题满分13分)

2014年12月28日开始,北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.(不考虑公交卡折扣情况)

π

3

π2

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已知在北京地铁四号线上,任意一站到陶然亭站的票价不超过5元,现从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人,他们乘坐地铁的票价统计如图所示.

(Ⅰ)如果从那些只乘坐四号线地铁,且在

陶然亭站出站的乘客中任选1人,试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率;

(Ⅱ)从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人,记X为这2人乘坐地铁的票价和,根据统计图,并以频率作为概率,求X的分布列和数学期望;

(Ⅲ)小李乘坐地铁从A地到陶然亭的票价是5元,返程时,小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元,假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s公里,试写出s的取值范围.(只需写出结论)

17.(本小题满分14分)

如图,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为4的正方形,EF//AD, 平面ADEF 平面ABCD,且BC 2EF, AE AF,点G是EF的中点.

(Ⅰ)证明:AG 平面ABCD;

(Ⅱ)若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为

9

AG的长;

(Ⅲ)判断线段AC上是否存在一点M,使MG//平面ABF?若存在,求出若不存在,说明理由.

AMMC

的值;

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D

C

18.(本小题满分13分)

lnxex

设n N,函数f(x) n,函数g(x) n,x (0, ).

xx

*

(Ⅰ)当n 1时,写出函数y f(x) 1零点个数,并说明理由;

(Ⅱ)若曲线y f(x)与曲线y g(x)分别位于直线l:y 1的两侧,求n的所有可能取值. 19.(本小题满分14分)

3x2y2

设F1,F2分别为椭圆E:2 2 1(a b 0)的左、右焦点,点P(1,)在椭圆E上,

2ab

3

且点P和F1关于点C(0,)对称.

4

(Ⅰ)求椭圆E的方程;

(Ⅱ)过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A,B两点,过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q,问是否存在直线l,使得四边形PABQ的对角线互相平分?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由. 20.(本小题满分13分)

已知点列T:P1(x1,y1),P2(x2,y2)k, xi xi 1 1, xi xi 1,

与 (i 2,3,

y yy y 1i 1i 1 i i

k

P,kx((ky, N)*,k≥2)满足P)且1(1,1,

,k) 中有且仅有一个成立.

(Ⅰ)写出满足k 4且P4(3,2)的所有点列;

k

(Ⅱ) 证明:对于任意给定的k(k N,k≥2),不存在点列T,使得 xi yi 2;

*

kk

i 1i 1

(Ⅲ)当k 2n 1且P2n 1(n,n)(n N,n≥2)时,求 xi yi的最大值.

*

kk

i 1i 1

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北京市西城区2015年高三一模试卷参考答案及评分标准

高三数学(理科) 2015.4

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.

1.B 2.C 3.D 4.B 5.B 6.A 7.A 8.D 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

y2

9.

10. x 1 ; 11.

31(

或写成) ,;

82

; 12. 8 ,682 ;13. 24 ; 14.

三、解答题:本大题共6小题,共80分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15.(本小题满分13分)

(Ⅰ)解:因为f(x) 4cosx(sinx

1

23

cosx) 1分 2

2sinxcosx 2cos2x

sin2x 3cos2x 3分

=2sin(2x ), 5分

π3

π, 2ππ2π所以 ≤2x ≤, 6分

333

因为 0≤x≤所以

π

sin(2x )≤1,

3

即f(x)≤2, 其中当x

时,f(x)取到最大值2;当x 0时,f(x)取到最小值 3, 12

所以函数f(x)的值域为[ 3,2]. 9分

ππ1

) 1,sin(2x ) , 10分 332

πππ5π

2kπ, 12分 所以2x 2kπ或 2x

3636 π7π

kπ(k Z), 所以x kπ或 x

412

(Ⅱ)依题意,得2sin(2x

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所以函数y f(x)的图象与直线y 1的两个相邻交点间的最短距离为

16.(本小题满分13分)

π

. 13分 3

(Ⅰ)解:记事件A为“此人乘坐地铁的票价小于5元”, 1分

由统计图可知,得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60,40,20(人).

所以票价小于5元的有60 40 100(人). 2分 故120人中票价小于5元的频率是

1005

. 1206

所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率P(A)=

5

. 4分 6

(Ⅱ)解:X的所有可能取值为6,7,8,9,10. 5分

根据统计图,可知120人中地铁票价为3元、4元、5元的频率分别为

6040,, 120120

20111

,即,,, 120236

6分

以频率作为概率,知乘客地铁票价为3元、4元、5元的概率分别为

111

,,. 236

111

所以 P(X 6) ,

224

11111

P(X 7) ,

233231111115

P(X 8) ,

2662331811111

P(X 9) ,

36639111

P(X 10) ,

6636所以随机变量X的分布列为:

8分

9分

1151122

所以E(X) 6 7 8 9 10 . 10分

43189363(Ⅲ)解:s (20,22]. 13分

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17.(本小题满分14分)

(Ⅰ)证明:因为AE AF,点G是EF的中点,

所以 AG EF. 1分 又因为 EF//AD,

所以 AG AD. 因为平面ADEF 平面ABCD,平面ADEF AG 平面ADEF,

所以 AG 平面ABCD. 4分 (Ⅱ)解:因为AG 平面ABCD,AB AD,所以AG,AD,AB两两垂直. 以A为原 点,以AB,AD,AG分别为x轴、y轴和z轴,如图建立空间直角坐标系, 5分

则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,4,0), 设AG t(t 0),则E(0,1,t),F(0, 1,t),

所以BF ( 4, 1,t),AC (4,4,0),AE (0,1,t). 设平面ACE的法向量为n (x,y,z), 由 AC n 0,AE n 0,得

2分

平面ABCD AD,

4x 4y 0, y tz 0,

令 z 1, 得n (t, t,1).

7分

因为BF与平面ACE所成角的正弦值为

9

所以 cos BF,n

BF n|BF| |n|

9

8分

2

1722

解得t 1或t .

2 所以AG 1或

. 9分

(Ⅲ)解:假设线段AC上存在一点M,使得MG//平面ABF,

AMAC

= ,则 AM AC,

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由 AC (4,4,0),得AM (4 ,4 ,0), 10分 设 AG t(t 0),则AG (0,0,t),

所以 MG AG AM ( 4 , 4 ,t). 11分 设平面ABF的法向量为m (x1,y1,z1), 因为 AF (0, 1,t),AB (4,0,0),

y1 tz1 0,

由 AF m 0,AB m 0,得

4x 0, 1

令 z1 1, 得m (0,t,1), 12分 因为 MG//平面ABF,

所以 MG m 0,即 4 t t 0,

1

. 4AM1AM1

=,此时=, 所以

AC4MC3AM1

=时, MG//平面ABF. 14分 所以当

MC3

解得

18.(本小题满分13分)

(Ⅰ)证明:结论:函数y f(x) 1不存在零点. 1分 当n 1时,f(x)

lnx1 lnx

,求导得f (x) , 2分 2xx

令f (x) 0,解得x e. 3分 当x变化时,f (x)与f(x)的变化如下表所示:

所以函数f(x)在(0,e)上单调递增,在(e, )上单调递减,

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1

. 4分 e1

所以函数y f(x) 1的最大值为f(e) 1 1 0,

e

则当x e时,函数f(x)有最大值f(e)

所以函数y f(x) 1不存在零点. 5分 (Ⅱ)解:由函数f(x)

lnx1 nlnx

f(x) 求导,得,

xnxn 1

1

n

令f (x) 0,解得x e. 当x变化时,f (x)与f(x)的变化如下表所示:

7分 所以函数f(x)在(0,e)上单调递增,在(e, )上单调递减, 则当x e时,函数f(x)有最大值f(e)

1n

1n1n

1n

1

; 8分 ne

exex(x n)

由函数g(x) n,x (0, )求导,得 g (x) , 9分 n 1

xx

令 g (x) 0,解得x n. 当x变化时,g

(x)与g(x)的变化如下表所示:

所以函数g(x)在(0,n)上单调递减,在(n, )上单调递增,

n

则当x n时,函数g(x)有最小值g(n) (). 11分

en

因为 n N,函数f(x)有最大值f(e)

*

1n

1

1, ne

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exlnx

所以曲线y n在直线l:y 1的下方,而曲线y n在直线l:y 1的上方,

xx

所以() 1, 12分 解得n e.

所以n的取值集合为{1,2}. 13分

19.(本小题满分14分)

(Ⅰ)解:由点P(1,)和F1关于点C(0,)对称,得F1( 1,0), 1分

所以椭圆E的焦点为F1( 1,0),F2(1,0), 2分 由椭圆定义,得 2a |PF1| |PF2| 4.

所以 a

2,b 4分

e

n

n

3234

x2y2

1. 5分 故椭圆E的方程为43

(II)解:结论:存在直线l,使得四边形PABQ的对角线互相平分. 6分 理由如下:

由题可知直线l,直线PQ的斜率存在,

设直线l的方程为y k(x 1),直线PQ的方程为y

3

k(x 1). 7分 2

x2y2

1,

由 4 消去y, 3

y k(x 1),

得(3 4k2)x2 8k2x 4k2 12 0, 8分 由题意,可知 0 ,设A(x1,y1),B(x2,y2),

8k24k2 12

则x1 x2 ,x1x2 , 9分 22

3 4k3 4k

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x2y2

1, 43 由 消去y, y 3 k(x 1), 2

得(3 4k2)x2 (8k2 12k)x 4k2 12k 3 0, 由 0,可知k

13

,设Q(x3,y3),又P(1,),

22

8k2 12k4k2 12k 3

则x3 1 ,x3 1 . 10分 22

3 4k3 4k

若四边形PABQ的对角线互相平分,则PB与AQ的中点重合, 所以

x1 x3x2 1 ,即x1 x2 1 x3, 11分 22

故(x1 x2)2 4x1x2 (1 x3)2. 12分

8k224k2 124k2 12k 32

) 4 (1 ). 所以 (222

3 4k3 4k3 4k

解得 k

3

. 4

所以直线l为3x 4y 3 0时, 四边形PABQ的对角线互相平分. 14分 (注:利用四边形PABQ为平行四边形,则有|PQ| |AB|,也可解决问题)

20.(本小题满分13分)

(Ⅰ)解:符合条件的点列为T:P1(1,1),P2(1,2),P3(2,2),P4(3,2);

或T:P1(1,1),P2(2,1),P3(2,2),P4(3,2);或T:P1(1,1),P2(2,1),P3(3,1),P4(3,2). 3分 (Ⅱ)证明:由已知,得xi yi xi 1 yi 1 1,

所以数列{xi yi}是公差为1的等差数列. 由x1 y1 2,得xi yi i 1(i 1,2, 故 xi yi (xi yi) 2 3

i 1

i 1

i 1

k

k

k

,k). 3分

(k 1)

1

k(k 3). 5分 2

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k

若存在点列T,使得 xi yi 2,

i 1

i 1

kk

1

k(k 3) 2k,即k(k 3) 2k 1. 2

因为整数k和k 3总是一个为奇数,一个为偶数,且k≥2, 而整数2k 1中不含有大于1的奇因子,

所以对于任意正整数k(k≥2),任意点列均不能满足 xi yi 2k. 8分

i 1

i 1

k

k

(Ⅲ)解:由(Ⅱ)可知,yi i 1 xi(i 1,2,

所以 xi yi (x1 x2

i 1

i 1

k

k

,2n 1),

2n x2n 1)

x2n 1)(2 x1 3 x2

(x1 x2 令t x1 x2

k

k

x2n 1)[(2 3 2n) (x1 x2 x2n 1)],

x2n 1,

则 xi yi t[(n 1)(2n 1) t]. 10分

i 1

i 1

考察关于t的二次函数f(t) t[(n 1)(2n 1) t]. 1

(1)当n为奇数时,可得(n 1)(2n 1)是正整数,

2

可构造数列{xi}:1,2, 对应数列{yi}:1,1, 而且此时,x1 x2

1

,(n 1),2

n项

11

,(n 1),(n 1) 1,22

,n,

,1,2,

n项

,n,(由此构造的点列符合已知条件) ,n.

11

n (n 1) (n 1)

22

(n 1)个

x2n 1 1 2

1

(n 1) 2

1 2

1

n (n 1)(n 1)

2

1

(n 1)(2n 1),

2

kk

11

所以当t (n 1)(2n 1)时, xi yi有最大值(n 1)2(2n 1)2. 12分

24i 1

i 1

111

(2)当n(n 1)(2n 1)不是正整数,而(n 1)(2n 1) 是离其最近的正整数,

222

可构造数列{xi}:1,2,

n

,,2nn,,( 1),22nn,( 1), 2,22

n项2

,n,

n

(+1)项2

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nnnnn

对应数列{yi}:1,1,,1,2,, 1, 1, 2,, ,,n,(由此构造的点列符合已知条件)

22222

n

(+1)项2

n项2

而且此时,x1 x2 x2n 1 1 2

n

n 2

n个2

nn

( 1) 22

n ( 1)2

n

( 1)个2

1 2

nnnn n ( 1) ( 1)

2222

11

(n 1)(2n 1) ,

2 2

kk

1111

所以当t (n 1)(2n 1) 时, xi yi有最大值(n 1)2(2n 1)2 .

2244i 1

i 1

13分

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/52xj.html

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