数学建模论文90(2)

数学建模论文

学校：兰州交通大学

学院: 班级：交工

老师：李沐春

组员：靳禄禄 081班

学号：200800542 朱丽艳 200800533 杨治川 200800538

交通运输学院

摘要： 本文是针对山羊在较好.中等.较差环境下由于增长率的不同

而导致的山羊数量变化规律情况不同，去研究如何合理捕获和高效利用山羊的问题。首先是考虑到山羊的变化规律和我们所学的微积分以及差分方程的知识有相似和关联之处，故将山羊按不同的环境进行分组，在考虑了时间连续而环境离散的实际情况下，综合运用微分方程和差分方程以及函数模型的方法建立了嵌入式数学模型，很好的解决了这一问题。

就问题（1），分了三种情况，分别讨论了山羊在较好，中等，较差三种环境下，15年内的山羊数量变化情况，研究表明：当时间t→∞时，随着时间的不断变化，无论在哪一种环境下，山羊的变化规律有相似之处，即就是山羊的数量会趋近无穷，即t→∞时，N(t)→∞；

针对问题（2），我们运用差分的知识理论方法，同样也是分了三种情况，在较好，较差，中等环境下讨论了山羊数量逐年变化的情况，并且通过表格和图示的关系，得出以下结论：在这三种情况下，当时间t→∞时，即随着时间的不断变化，山羊的数量都会随时间的推移最终灭绝。

就问题（3）经过讨论得知，它的情况可以从简单到一般再到复杂分别进行讨论，要让山羊数量保持在60只左右，我们需要对山羊进行人工繁殖，其繁殖率为一个变化的函数，而且在它考虑不同条件的情况下所得出的人工繁殖率有着不同的变化关系，故我们需要对此分别讨论。

问题的重述：

关于某种动物，即山羊在较好、中等、较差的环境下，其年平均增长率分别为1.5%、0.5%、-4.0%，假设开始时有100只山羊，按以下情况分别讨论山羊这种动物数量逐年变化的过程及趋势

（1） 在三种不同环境下山羊的数量在15年内的变化过程及趋势，结

果列表并图示；

（2） 如果每年捕获3只山羊，山羊的数量会怎样变化，会灭绝吗？ （3） 要使山羊的数量稳定在60只左右，每年需要人工繁殖多少只？

一、 假设参数

1、 设N(t)是用来表示山羊数量的关于时间的参数，且为连续函数； 2、 假设山羊的出生率和死亡率是影响山羊数量变化的的主要因素，其他因素忽略不计；

3、 假设每一只山羊具有相同的出生率和死亡率；

4、 设r为自然增长率，B为出生率，D为死亡率，则r=B-D； 5、 假设r在某一自然环境下为常数； 6、 设山羊的初始数量N0=100只。

7、 假设F(X)是人工繁殖率随时间的变化函数，且为连续的 8、 W , M 是设的两个虚拟繁殖率

9 、 K为问题3的第二种情况下繁殖率的初始值 10 、 Q, T为问题三的第二种情况下，需设定的时间

二、 问题分析

1、 基于山羊数量逐年变化趋势的讨论，从它的因变量：时间是连续

变化，而环境的变化为离散变化的条件下，而且通过资料的调查对比和分析可得知，它的变化规律可以运用我们已有的微积分和差分方程的知识，进行讨论与分析，而就如何计算山羊数量的变化率，给它时间一个增量△t，则会有如下公式： △N=N(t+△t)-N(t)=rN(t)△t；

△N/△t=N(t+△t)-N(t)/△t=rN(t)△t/△t； Lim△t→0 △N/△t=rN(t);

我们可以根据以上公式对它们的变化规律进行具体的计算和列表图示，从而可以清楚的表达它们的变化规律和发展趋势，已达到合理利用和高效捕获的目的。

2、 山羊在较好、中等、较差的环境下,年平均增长率分别为 r1=1.5%、r2=0.5%、r3=-4.0%

将三种不同环境下的年平均增长率分别代入微分方程，再进行分析讨论它的变化趋势，通过具体的分析与计算，去考虑实际情况，看其在三种气矿的数量是否会灭绝。 过程及结果见模型和解中。

3 对于问题3，由于山羊的数量起初为100只，而要让它保持在60只左右，首先必须的是有让它减少的机会，而这种情况只会在较差的环境下发生，因此我们对于山羊在较好，中等环境下的变化情况不予以谈论，现只对第三情况，即就是山羊在交差环境下，数量由于环境的变化而发生变化的趋势进行分析与讨论，由结果可知，它的人工繁殖率为一个变化的函数关系。

三、 数学模型及其解

首先我们可以用已有的知识，即公式由Lim△t→0△N/△t=rN(t)得知： 山羊的数量随时间的变化的算法可以这样，d N/t=rN 又因为山羊的起初数量 N(t0)= N0 所以解 ∫dN/N=∫rdt

lnN=rt+lnC

N=Cert ① N0=Cert0 ② 最后由①②得： C=N0e-rt0 所以微分方程的解为：

即山羊的最终数量变化为 N(t)=N0er(t-t0)

我们运用以上的公式和解，对此山羊问题的具体的分析与详解如下所示

四、 结论分析

由公式 N(t)=№er(t-t0) 可知：当时间t→∞时，随着时间的不断变化，无论是哪种情况下，山羊的数量变化都将会是趋近无穷，即t→∞，N(t)→∞的变化趋势。具体的分析如下所示：

问题（一）: 三种情况下15年的变化过程，结果列表并图示；

情况⒈ 山羊在较好的环境下，年平均增长率r1=1.5%，15年的变化过程: 它的算法和分析思路就可与微分和差分方程的方法，即就是可以由 公式 Lim△t→0 △N/△t=r1N(t)得：

d N/t= r1 N

又因为N(t0)= N0

解 ∫dN/N=∫r1dt lnN= r1 t+lnC N=Cer1 t ①

N0=Cer1t0 ②

由①②得：C=N0e-r1t0

所以微分方程的解为：N(t)=N0er1(t-t0)

其计算的具体程序如下： #include

#include main ( ) { int i,double n,j; for(i=0;i<=15;i++) j=0.015*i; n=100*exp(j);

printf(\ }

计算结果见表格

情况2 山羊在中等的环境下，年平均增长率r2=0.5%，15年的变化过程：可以在1的基础之上，只需改变公式中基本参数的数值，就可以用公式 Lim△t→0 △N/△t=r1N(t)得：

d N/t= r2N

又因为 N(t0)= N0

解 ∫dN/N=∫r2dt lnN= r2 t+lnC N=Cer2 t ①

N0=Cer2t0 ②

由①②得：C=N0e-r2t0

所以微分方程的解为：N(t)=N0er2(t-t0) 具体的计算程序与情况1基本类似，见附件： 计算结果见表格

情况⒊ 山羊在较差的环境下，年平均增长率为r3=-4.0%时，15年的变化过程：而情况三的过程与1,2也有相似之处，但它的不同是山羊的数量由于环境的变化而减少，即就是说，它的参数要减去一个负数，所以由 公式Lim△t→0 △N/△t=r1N(t)得：d N/t= r3N 又因为N(t0)= N0 解 ∫dN/N=∫r3dt lnN= r3t+lnC N=Cer3t ①

N0=Cer3t0 ② 由①②得：C=N0e-r3t0

所以微分方程的解为：N(t)=N0er3(t-t0)

其算法和程序见附件

计算结果见表格

综上的分析和计算，在三种较好，较差，中等环境下，山羊的数量变

化及趋势，其讨论结果的图例表示如下：

三种环境下山羊数量变化图 140 120 100 80 数量 60 40 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 年份 较好环境 中等环境 较差环境

三种环境下的数据表： 较好 中等 较差 8 1 2 3 4 5 6 7 101.51 103.05 104.60 106.18 107.79 109.42 111.07 100.50 101.01 101.51 102.02 102.53 103.05 103.56 96.08 9 92.31 10 88.69 11 85.21 12 81.87 13 78.66 14 75.57 15 112.75 114.45 116.18 117.94 119.72 121.53 123.37 125.23 104.08 104.60 105.13 105.65 106.18 106.72 107.25 107.79 72.61 69.76 67.03 64.40 61.87 59.45 57.12 54.88 由以上的表格和图表，我们可以根据它得出如下的结果:

山羊的数量在较好，中等的环境下，随着时间的变化，也就是随时间的推移，呈增长的趋势，而在较差环境下，在我们不采取任何措施下。

山羊的数量随着时间的推移而减少，最总的若干年后，它会灭绝。 问题（2）如果每年捕获3只，山羊会怎样变化，会灭绝吗 情况 1. 山羊在较好的环境下，r1=1.5%，每年捕获3只，10年的变化情况：经分析得它的算法和思路与问题一的情况相似，即就是可以用公式 Lim△t→0 △N/△t=r1N(t)得：d N/t= r2N 又因为N(t0)= N0

解 ∫dN/N=∫r2dt lnN= r2 t+lnC N=Cer2 t ①

N0=Cer2t0 ②

由①②得：C=N0e-r2t0

所以微分方程的解为：N(t)=N0er2(t-t0) 其算法和程序如下： #include #include main ( )

{int i=100,k=0,m=0, double= j; while(i=0) {

k+=m,m++; j=0.015*k; i=100*exp(j)-3;

printf(\ } }

计算的结果见表格

通过计算可以得知，在233年后，山羊的数量会灭绝

即 N(t)= N0er1(t-t0) -3=100e0.015t -3→0

得 t→233 (年)

所以，如果每年捕获3只，在我们再不采取其他任何措施的情况下，在这情况下，山羊的数量会灭绝，时间233年之后会灭绝。 情况2. 山羊在中等环境下，r2=0.5%，每年捕获3只，10年的变化情况：它的分析和计算思路和情况1类似，具体的算法和程序见附件：计算结果见表格。在这种情况下，同样也是在我们不采取任何措施的状况下，山羊的数量随着时间的变化会灭绝。与情况以不同的是，它的灭绝时间会加快，

即 山羊的数量 N(t)= N0er2(t-t0) -3=100e0.005t -3→0 得 t→70(年)

所以，每年捕获3只山羊，70年后山羊的数量减少为0，会灭绝。 情况3山羊在较差环境下，r3=-4.0%，如果每年捕获3只，10年的变化情况：它的分析和计算思路和情况1类似，具体的算法和程序见附件：计算结果见表格。在这种情况下，即在较差的环境下，同样也是在我们不采取任何措施的状况下，山羊的数量随着时间的变化会灭绝。与情况2不同的是，它的灭绝时间会加快很多，

通过计算得知，山羊的数量随着时间的退役而减少，减少的速度减快，最终会灭绝

即 山羊的数量 N(t)= N0er3(t-t0) -3=100e-0.04t -3→0

得 t→15 (年)

所以，每年捕获3只，15年后山羊会灭绝。

在三种不同环境下的，每年捕获3只，山羊数量变化的数据表如下： 较好 中等 较差 6 90 84 58 1 98 97 93 7 89 82 51 2 96 75 86 8 87 79 44 3 95 92 79 9 85 77 37 4 93 90 72 10 84 74 30 5 92 87 65 它变化情况的图表表示如下：

三种情况下山羊数量变化图120100山羊数量80604020012345时间678910较好中等较差由图和表格可以看出;如果每年捕获3只,山羊数量会逐年减少,在3种不同情况下，山羊数量减少的速度不同，但随着时间的推移山羊都会灭绝。

问题（3）要使山羊数量稳定在60只左右，每年需要人工繁殖多少只？ 就问题3，我们要让山羊的数量保持在60只左右，而它的初始数量有100只，因此它的数量在起初的几年变化中必须有减少的机会，又因为山羊在较好，中等的环境下，其增长率大于0，它的数量不会发生减少，故不需要人工繁殖，而且条件也不满足问题的计算要求。故只对第三种环境下山羊的数量变化情况进行讨论，关于人工繁殖率是一个变化的函数。

在第三种情况下，即在较差环境下，增长率r=-4.0% 对于此问题，它的分析与讨论可以在理想，一般情况即考虑实际，两种情况下进行，它的人工繁殖率用函数模型表达

1 在理想情况下，我们假设在起初的几年之内，我们不进行人工繁殖，

让山羊的数量在自然状况下，由其生长规律所导致的优胜次淘规则而减少，同时也假设淘汰剩余的都为优质品，直到它的数量减少到60只后，我们再采取措施，即人工繁殖的，而要让它的数量保持在60只左右，我们只需要将每年减少的和人工繁殖的数量相等，又因为它的减少率为r=4.0%，故我们所采取措施的人工繁殖率也就为r=4.0% 即就是由 山羊的数量 N(t)= N0er(t-t0) =100e-0.04t→60

得 t→12.7（年）

在0 ~ 12.7年之内，山羊的数量大于了60 只，我们不需要进行人工

繁殖。12.7年之后，要让山羊数量保持在60 只左右，需要人工繁殖，繁殖率为4.0%。

对于人工繁殖率的变化函数如下：

F(X)= 0 , 0≦X≦12.7 F(X)= 4.0% , 12.7＜X

对于此种情况下，山羊的数量变化为一个线性关系，即在山羊数量减少时，呈现出线性关系，所以也就同样得出了它的人工繁殖率为一个线性变化的关系，而且为两条平行线。

2 在一般情况下，即在考虑实际情况下，我们要达到对于山羊捕获

和人工繁殖之以达到合理利用的目的，就必须考虑诸多因素。 首先，对于一种动物来说，如果它的数量一直在减少时，这不仅仅与自然环境的好坏有关系，而且与一些疾病，流行病和常见的疾病，或一些自身数量的多少，还有季节的变或灾害性事件等等都有关系，并且在实际生活中，无论是进行大量养殖的专业养殖户，还是以增加家庭收入的部分农民来说，他们都不会等到的山羊的数量减少到某一数值，再想着怎么是山羊的数量保持一定，因为那样很不合理，这种不合理主要体现在以下两个方面 ：

A 如果是在那一阶段刚好有某种疾病或其他打的灾害性事件发生，对于山羊的数量来说，要保持是不可能的，风险性太大

B 如果等到减少到某一数值在繁殖，其品种会不完整，对于山羊的生长不利

经过分析且考虑实际情况可得知，我们对此问题的分析运用函数模

型，因为在起初的时候，山羊的数量本身就大于60 只，所以我们采取少量繁殖的办法，让其繁殖之率减小，且小于4.0%，故在此，给繁殖率一个初始值K,让其减小，当减小到一个为虚拟的M数值后，也就是当到达一定年Q后，我们再让它的繁殖率增大，当到达山羊的数量到达60只左右的时候，也就是时间拖移到T，我们再让其保持在一定的繁殖状态W。

综上所述，在实际情况下人工繁殖率为： K≦ F(X)≦M , 0≦X≦Q

M≦F(X) ≦W , Q≦X≦T F(X)=W , X≧T

通过以上的讨论与分析，可以知道，在考虑实际的一般情况下，我们要让是山羊的数量保持在60只左右，需要采取措施，即进行人工繁殖，其繁殖率为一个先减小后增大最后保持平稳的变化过程，这个变化过程符合我们所学的分段函数的思想，在0到时间T，它是一个抛物线的形状，当时间退役的大于T以后，它的变化为一条直线。

总结：

整篇论文主要是对山羊的数量在较好，较差，中等三种环境下的变化在不同条件下的分析与讨论，最后针对繁殖情况在理想与实际两种情况下进行了讨论与分析。

五 模型的优缺点

优点：

1模型实用性好，具有很强的应用指导意义，特别是对现在养殖

业的发展和推进提供了很好的理论基础

2数学公式的推导严谨，理论性强。

缺点：在进行分析与讨论是，忽略了其他的影响因素，在某些参数的确定上，由于缺乏数据，不免主观的成分稍大。

六、 参考文献

1. 籍万新，MATLAB软件与基础数学实验 西安交通大学出版社 2. 沈继红，数学建模 哈尔滨工程大学出版社 3. 韩中庚，数学建模竞赛 科学出版社 附件

问题（1）的2的算法程序 #include #include main ( ) { int i,double n,j; for(i=0;i<=15;i++) j=-0.04*i; n=100*exp(j);

printf(\ }问题（2）的2算法和程序 #include #include main ( )

{ int i=100,k=0,m=0,double j; while(i=0) {

k+=m,m++; j=0.005*k; i=100*exp(j)-3;

printf(\ } }

问题（2）的3的程序和算法 #include #include main ( )

{ int i=100,k=0,m=0,double j; while(i=0) {

k+=m,m++; j=-0.04,; i=100*exp(j)-3;

printf(\ } }

{ int i=100,k=0,m=0,double j; while(i=0) {

k+=m,m++; j=0.005*k; i=100*exp(j)-3;

printf(\ } }

问题（2）的3的程序和算法 #include #include main ( )

{ int i=100,k=0,m=0,double j; while(i=0) {

k+=m,m++; j=-0.04,; i=100*exp(j)-3;

printf(\ } }

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/52w7.html