线性代数基本定理
更新时间:2024-06-26 03:10:01 阅读量: 综合文库 文档下载
线性代数基本定理 一、矩阵的运算
1.不可逆矩阵的运算不满足消去律 AB=O,A也可以不等于O
?11??1-1??00??÷?÷=?÷ è-1-1?è-11?è00?2.矩阵不可交换
(A+B)=A+AB+BA+Bk222
(AB)=ABABABAB...AB
3.常被忽略的矩阵运算规则
(A+B)T=AT+BT
(lA)=lATT
4.反称矩阵对角线元素全为0 4.矩阵逆运算的简便运算
111(diag(a1,a2,...,an))=diag(,,...,)
a1a2an-11-1(kA)=A
k-1 方法
1. 特殊矩阵的乘法
A.对角矩阵乘以对角矩阵,结果仍为对角矩阵。且:
B.上三角矩阵乘以上三角矩阵,结果为上三角矩阵 2.矩阵等价的判断
A@B?R(A)=R(B)
任何矩阵等价于其标准型
3.左乘初等矩阵为行变换,右乘初等矩阵为列变换 如:m*n的矩阵,左乘m阶为行变换,右乘n阶为列变换 4. 给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆 如:A2-A-2I=O,证明(A+2I)可逆。
把2I项挪到等式右边,左边凑出含有A+2I的一个多项式,在确保A平方项与A 项的系数分别为原式的系数情况下,看I项多加或少加了几个。 5.矩阵的分块进行计算 加法:分块方法完全相同
矩阵乘法(以A*B为例):A的列的分法要与B行的分法一致,如:
éêêêê?1-13-101000000002-1ùéúêúêúêúê??1-100001200003-114ùúúúú? 如红线所示:
左边矩阵列分块在第2列与第3列之间,那么,右边矩阵分块在第二行与第三行之间
至于蓝线,如何画,画不画,只画在哪个矩阵里都无所谓,分块数只决定了最后结果矩阵的行列,并不能决定矩阵是否能做乘法的原则性问题。 求逆:
如果A1,A2,...,Am均可逆,
若,则反块对角阵也一样,把反对角线上的矩阵求逆。 求转置:
块转置,每一块里面的也要转置 6.把普通线性组合式写成矩阵形式
二、行列式的计算
计算一般行列式时需注意: A. 代数余子式的正负
B. 初等变换用等号,行列式的值可能变化 1. 特殊形状行列式
上下三角行列式、反上下三角行列式
det(kA)=kdet(A) det(AB)=det(A)det(B)
块对角行列式(用拉普拉斯展开定理证明)
nAnn*OBmmOBmmAnn*=AnnO*Bmm*BmmAnnO=AB==(-1)nmnAB
det(diag(A1,A2,...An))=?det(Ai)i=1
2. 一般行列式的计算原则
A.按0多的行或者列展开,进行行列式的降阶 B.行列式中一行(列)出现加法的,可变成两个行列式 C.行列式如果某一行(列)有公因子的,可以提出来 其中,B点最容易被忽略掉!!! 例题:已知abcd=1
1a+2a12b+2bD=12c+2c12d+2d2abcd12a1b21c212d1a1b1c1d1111112aa112bb+11cc2112ddabcd1a1b1c1d1111
a1b1=abcdc1d1不用计算每一个行列式值为多少,观察发现此式正好得0
3. 范德蒙德行列式
=n3i>j31?(x-x)ij
注意:
范德蒙德行列式第一行(列)从1开始到n-1次方,从上到下或从左到右升幂
不同底数来说,右边减左边或下边减上边,这就是i和j的用处
4. 几种n阶行列式的巧算办法:见笔记本
5. 克拉默法则:解决伴随矩阵问题的好方法。还要了解行列式按某行展开,如果对被展开行的每列来说,代数余子式乘的是其他行的代数余子式,则展开后值为0,这样,线性方程组的求解问题就可以证出来(把逆用伴随表示) 6. 矩阵的秩:可以回到定义,秩为r,就说明至少存在一个r阶子式不为0,所有r+1阶子式全为0
三、空间解析几何
1. 易忽略的基础知识
点的坐标的实质:过一个点向几个轴做垂面
空间一点在线上的投影问题就可以做这条线的垂面,再连接交点,同样,线和向量的在直线上的投影向量就是两点的投影,注意,如果直接说投影,那么它是一个数,可以为负。 方向余弦:与坐标轴正方向的夹角的余弦
投影:
外积与混合积得几何意义,注意,外积的模才是平行四边形面积,而混合积的绝对值为平行六面体体积 外积用来构建与两个向量都垂直的向量,即法向量
混合积的记法,向量共面,混合积为0,a b c,bc
a,c a b这三种顺序结果都相同 2.平面的方程 点法式,一般式:
xyz谁系数为0,就与哪个轴平行,D=0平面过原点,如果平
面既过原点又与某个轴平行,那么它一定通过这个轴 截距式
xyz++=1abc
点法式和点向式化为截距式,算截距即可 三点式 一般不用
3. 直线的方程 点向式
m,n,p哪个为0,直线就与这个等式里面的哪个变量所对应的轴垂直(在与那个轴平行的平面上)。直线的方向余弦就是方向向量的方向余弦。 参数式
用一个参数就可以确定x,y,z三个变量。用在求直线与平面交点中比较简单,其中(m,n,p)就是方向向量!还可以求过某一点与另外一条已知直线垂直的直线
x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt
一般式
用两个平面相交的方程组表示 方程的转化
参数式=>点向式
t的系数就是方向向量,加的常数就是定点。
点向式=>一般式
目的是方便表示过这条直线的平面束。三个等号,两两联立,变成两个方程。加括号变为方程组即可
参数式=>一般式
参数式先变为点向式,再变为一般式
点向式=>参数式
令三个比例=t
一般式=>点向式
方法1:任取一满足方程的点,为定点。平面法向量叉乘为
直线方向向量。
方法2:任取两点,直接求方程
一般式=>参数式
方法1:一般式先变为点向式,再变为参数式
方法2(较简单):对平面方程初等行变换,令自由变量=t
4. 位置关系和向量关系的转化 平面与平面的位置关系
A1平面与平面平行(包括重合)——
A2=B1B2=C1C2
A1如果重合,有:
A2=B1B2=C1C2=D1D2
平面与平面相交——
A1:B1:C11A2:B2:C2平面与平面垂直——法向量垂直
平面与平面的夹角余弦(锐二面角)——法向量余弦的绝对值
平面束——过两平面交线的平面方程(如果参数为一个,不包括参数后面的平面本身)
点到平面的距离
d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2 平面与直线的位置关系
直线与平面的夹角——直线平面法向量夹角余弦值的绝对值就是直线与平面夹角的正弦值
直线与平面相交,平行,过平面——直线的方向向量与平面法向量内积不为0相交,否则如果把直线经过的定点满足平面方程,则线面平行,否则直线过平面
直线与平面垂直——直线的方向向量与平面法向量平行
直线与直线的位置关系
两直线夹角——它们方向向量的夹角
两直线平行(包括重合)——方向向量平行。如果不重合,则可在其中一条直线上任取两点,如果它们不都在或都不在另一条直线上,呢么两直线不重合 两直线垂直——方向向量垂直 两直线相交——两直线共面,不平行
两直线间距离:先用两直线方向向量做叉乘构造公垂线的方向向量,然后再把两直线上的定点做连线向刚刚构建的方向
向量上投影
两直线共面,异面——两个定点(
x0,y0,z0)构成的一个向
量,两个方向向量。这三个向量混合积为0,就共面反之异面
点到直线的距离
M为线上一点
M1为线上另一点,
M0到直线的距离为:
,想那个平行四边形
四、n维向量空间
预备知识:AX=b的矩阵表示和向量表示
x1a1+x2a2+...+xnan=b
或者如下表示
定理 1.
?可由?1,?2,?,?m线性表示?向量方程x1?1?x2?2???xm?m??有解.有一个解——唯一一种表示方法,有无数解——无数表示方法
2. 向量组等价——其中一个向量组的每一个向量都可以用另外一个向量组表示
等价具有自反性,传递性,对称性 3. 线性相关与线性无关
1.包含0向量或相同向量的任意一个向量组线性相关 2.两个向量组线性相关的充要条件是分量对应成比例
23RR(,中共线)
R3中,三个向量组线性相关,则它们共面
3 .?1, ?2, …, ?n线性相关?AX=0有非0解,当向量个数等
于向量维数时,det(A)=0
4. 向量个数大于向量维数,向量组一定线性相关。(相当于未知量个数大于方程个数)
5. 对于一个向量组,局部线性相关则整体相关,整体无关则局部无关
6. 一组向量线性无关,多了一个变成线性相关,则多的哪一个可以用其他向量线性表示,表示式唯一(解方程时,多的那个向量系数肯定不是0)
7. 向量组的任意两个最大无关组都等价(于原向量组) 8. 再求向量组的秩时初等变换线性相关性不变对应着方程组的解不变 9. 设向量组表示,且
可由向量组线性无关,则
线性(系数矩阵
K为s*r,必须让方程的个数多一些)
10.若向量组I可由向量组II线性表示则R(I)<=R(II),如果两个向量组等价,则它们的秩相等 11. 方程AX=b有解,则R(A)=R(A) 11.几个关于秩的四个不等式
R(AB)<=min(R(A),R(B))(和定理9的不等式有关) 若
Am*nBn*t=O,则R(A)+R(B)<=n(和基础解系有关)
R(A+B)<=R(A)+R(B)(也和定理9的不等式有关)
TR(AA)=R(A) (方程的同解)
12. AX=O的解向量的线性组合仍为AX=O的解向量 方法
一、判断向量组线性相关性: 1. 向量矩阵其次方程的解
2. 至少有一个向量能用其他向量线性表示,则向量组线性相关,否则线性无关 二、判断向量组等价:
A=KB,同时B=K’A,K为线性表示的系数矩阵,如果K为方阵且唯一(线性表示法唯一),看K是否可逆即可 经典题: 1. 向量组向量组
a1,a2,a3线性无关,问常数
l,m满足什么条件时,
la1+a2,a2+a3,ma3+a1线性无关.
2. A为m*n矩阵,B为n*m矩阵,m>=n,试证det(AB)=0
设A是m′3矩阵,且R(A)=1.如果非齐次线性组AX=b的三个解向量h1,h2,h3满足3. 方程 ?0??1??1????????2??3???1?,???2??2?,?3??1??0? 1?1??3???1???????,求AX=b通解
三、向量组的最大无关组
通过初等变换就可以求出最大无关组
判断最大无关组?向量组里的每一个向量均可由最大无关组表出
五、特征值与特征向量
定理
1. 如果ai是A在特征值l下的几个特征向量,那么ai的线性组合也是A在特征值l下的一个特征向量.线性组合组成特征子空间所以在求特征向量时,一定要有系数k(多解) 2. 三角矩阵(包括对角矩阵)特征值就是对角线上元素 3. l0是矩阵A的k重特征值,则l0对应的线性无关的特征向量不超过k,特征向量的个数为A的维数与特征矩阵的秩之差,为n-R(l0I-A)
4. 如果a是A在特征值l下的特征向量,那么a是f(A)在特征值f(l)下的特征向量
5. 某矩阵特征值的和为矩阵的迹,积为矩阵的行列式。(给特征值求行列式是一个知识点)因此有了以下命题: A可逆?A的任何一个特征值不为0
6. 相似矩阵具有相同的特征多项式,相同的特征值,相同的行列式、相同的迹(解决代参数的矩阵相似问题很快)、相同的秩。
7. A与B相似=>Am与Bm相似,多项式f(A)与f(B)相似 8. n阶矩阵A与对角阵相似?A有n个线性无关的特征向量 不同特征值的特征向量线性无关,所有特征值的特征向量构成一个向量组,它们线性无关 9. 两两正交的非零向量组线性无关
TTAA=AA=I?A的行列向量组都是标10. A为正交矩阵?
准正交向量组
11. 实对称矩阵不同特征值的特征向量两两正交
应用这个定理,可以在已知其他两个特征值得特征向量的情况下,求出第三个特征值对应的特征向量
方法:
1.证明某值(向量)是否为特征值(特征向量),可以带入等式Aa=la,也可以带入特征方程。
2.证明矩阵相似(充要):
1.(具体证明)证明两矩阵特征多项式相同(两矩阵特征值相同,说明他们相似于同一个对角阵,根据相似的传递性) 2.(抽象证明)找可逆的P,P-1AP=L 3.两个矩阵同时相似于第三个矩阵
TT(a,b)=ab=ba 3. 向量的内积表示:
4.判断n阶方阵是否可以对角化:
有n个不同的特征值或n个线性无关的特征向量,则一定能对角化
k重特征值下有k个特征向量,当然,只用验证k>=2的情况,看矩阵A-lI的秩是否等于n-k 4. 线性无关向量组的标准正交化
(a2,b1)b2=a2-b1(b1,b1)
(a3,b1)(a3,b2)b3=a3-b1-b2(b1,b1)(b2,b2)
…
再把b单位化
六、二次型
X=CYTTTf=XAX????Y(CAC)Y 二次型的合同变换:
方法
1. 二次型化为标准型 配方法:
f (x1, x2 ,x3) = 2 x1x2 +2 x1x3 - 6x2x3 形如此类二次型 令
x1=y1+y2,x2=y1-y2,x3=y3
正交变换法(实质是让中间的CTAC变成对角阵): 配方法为什么一定是可退化?因为方程可反解 合同变换法:
X=CY,因此特征值就是标准型的系数
2. 正定矩阵判断(充要条件
XAXT>0)
1. A的特征值全部为正数 2. n元二次型的正惯性指数为n
3. A与I合同(有了标准型,化为规范性,正定,对角线都是正1)
4. A的各阶顺序主子式为正,即:
判断不正定:
矩阵A对角线上的数有一个不>0
3. 探究曲面的形状 平行截割法、旋转法
柱面——少了一个变量,少哪个变量,母线就与哪个变量平行
4. 求旋转曲面的方程
绕着哪个轴旋转,哪个变量不变,把另一个变量替换为不含
所绕轴的两个变量的平方和的平方根(小心正负)
一般地,求曲线在xoy坐标面上的投影柱面,消去z即可,如果让求投影线的方程,则加上z=0,其他做表面同理
5. 判断二次曲面形状
f=ax2+bx2+cx2123=1
1.若a,b,c均>0 a=b=c 球面
有两个相等旋转椭球面 均不相等椭球面
2.一个为负,另外两个为正单叶双曲面 3. 一个为正,另外两个为负双叶双曲面 4.只有一个为0,柱面 5.两个都为0,一对平行平面
此外,还有类似
z=ax2+bx212。
它是抛物面。a,b同号则为圆或椭圆抛物面,异号则为双曲抛物面
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