导数论文

导数的应用

微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数和微分。导数是微积分的初步知识，是研究函数、解决实际问题的有力工具。对此，我们开展了有关”导数的应用”的课题讨论, 主要对导数在函数中的应用进行简单的探讨。

我们知道，函数的性质有单调性、周期性、奇偶性、对称性等，对于函数的研究我们通常借助于它的图像。导数就是对函数的图像与性质的总结与拓展，且是研究函数单调性和求最值的重要工具。导数是当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。所以，在学习了常规解决一些函数问题的方法后，我们探讨了有关对导数的应用，来解决函数问题。

早期导数概念

大约在1629年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时他构造了差分f(A+E)-f(A),发现的因子E就是我们所说的导数f'(A)。

导数的定义：

设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在 x0 处有增量△x ( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时，相应地函数取得增量 △y = f(x0 + △x) - f(x0) ;如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在,则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导,并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数,记为 f'(x0) . 即导数第一定义

可表示为：f '(x0)=lim[x→x0] [f(x)-f(x0)]/(x-x0) =lim[h→0] [f(x0+h)-f(x0)]/h =lim [Δx→0] Δy/Δx

设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在 x0 处有变化 △x ( x - x0 也在该邻域内 ) 时相应地函数变化 △y = f(x) - f(x0) 如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即导数第二定义

可见导数是某种特殊的极限，是有限和无限之间相互转化的有力工具。 我们学习了以下几种在函数问题中对导数的应用: 1、运用导数判断单调性、求单调区间。

一般的，设函数y=f(x)

如果在某区间上导函数f’(x)>0,那么f(x)为该区间上的增函数；如果在某区间上导函数f’(x)<0,那么f(x)为该区间上的减函数。

注意：如果在某个区间内恒有f’(x)=0，则f(x)为常值函数。

函数的单调区间必定是它定义域的子集，所以在求函数单调区间时，先要确定函数定义域，在求出使导数的值为正或负的x的范围时，要与定义域求两者的交集。 基本步骤:（1） 求定义域

（2） 求出函数的导函数

（3） 求解不等式 f’(x)>0,及 f’(x)<0解得单调性。

2、运用导数求函数极值。

一般的，设函数f（x）在x。附近有定义，如果对x。附近的所有的点，都有f（x）f（x。），则f（x。）是函数f（x）的一个极小值, 对应的极值点就是（x。，f（x。））。

这是函数极值的定义，那么如何运用导数求极值? 判别函数f(x) 在f(x。)是最值得方法是：

如果在x。附近的左侧f’(x)>0,右侧f’(x)<0，那么，f（x。）是极大值。 如果在x。附近的左侧f’(x)<0,右侧f’(x)>0，那么，f（x。）是极小值。 （左正右负为极大值，左负右正为极小值。） 注意：1)极值点的导数不一定是存在的。 2)导数为0的点不一定是极值点。

3）若极值点处的导数存在，则一定为0，且极值点两侧导函数异号。 4）满足f’(x。)=0的点x= x。只是它为极值点的必要非充分条件。 基本步骤：（1）确定函数的定义域。 （2）求导数f’(x).

(3)求方程f’(x)=0的根

（4）把定义域划分为区间段，并检查f’(x)在方程根左右的符号，判断是极大值还是极小值。

3、 利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。

曲线上某点的切线斜率就是该点的导数，然而对于函数而言。函数可导需要一定的条件。 可导性：如果y=f（x）在（a，b）内可导并且在A+和B-处的导数都存在，则称y=f（x）在闭区间[a,b]上可导。

定理：如果函数y=f（x）在点x处可导，则函数y=f（x）在点X处连续，反之，函数y=f（x）在点x处连续，但函数y=f（x)处不一定可导！ 充要条件：函数在点X处可导的充要条件是函数在点X处的左导数和右导数都存在并且相等。

所以在应用导数来处理函数问题时，要注意函数可导的条件，再使用导数。而在处理相应函数时，也要注意一些相应的易错易漏的地方。

导数在其他方面的应用和相关知识还很多。在探讨了以上三点后，我们知道了导数的应用涉及到很多内容，对于导数的应用的研究，让我初步对微积分思想有了一定的了解，明白了导数在微积分中是一个重要的概念，它建立在极限的基础上。导数在解决函数单调性、极值及曲线斜率问题方面提供了捷径。理解和掌握了导数的概念、求导公式和求导法则，使导数在函数单调性、最值和一些生活问题中得到广泛的应用。由此可见，导数是我们研究数学问题的一个有力工具，在今后的学习和日常生活中，我们需要对导数作进一步全面的理解和认识，让导数这个有力的工具，在我们生活中发挥更大的作用！

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