2.3.2回归直线及其方程

2.3 2.3.1 2.3.2

变量间的相关关系 变量之间的相关关系 两个变量的线性相关

第二课时

问题提出

1. 两个变量之间的相关关系的含义如 何？成正相关和负相关的两个相关变量 的散点图分别有什么特点？ 自变量取值一定时，因变量的取值带有 一定随机性的两个变量之间的关系. 正相关的散点图中的点散布在从左下角 到右上角的区域，负相关的散点图中的 点散布在从左上角到右下角的区域

2.观察人体的脂肪含量百分比和年龄的样本 数据的散点图，这两个相关变量成正相关. 我们需要进一步考虑的问题是，当人的年龄 增加时，体内脂肪含量到底是以什么方式增 加呢？对此，我们从理论上作些研究.脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

知识探究(一):回归直线思考1:一组样本数据的平均数是样本数 据的中心，那么散点图中样本点的中心 如何确定？它一定是散点图中的点吗？脂肪含量40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

(x , y )

思考2:在各种各样的散点图中，有些散点图 中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的 分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量 的样本数据的散点图中的点的分布有什么特 点？脂肪含量40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

这些点大致分布在一条直线附近.

脂肪含量

思考3:如果散点图中的点的分布，从整 体上看大致在一条直线附近，则称这两 个变量之间具有线性相关关系，这条直 线叫做回归直线.对具有线性相关关系的 两个变量，其回归直线一定通过样本点 的中心吗？40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

思考4:对一组具有线性相关关系的样本 数据，你认为其回归直线是一条还是几 条？脂肪含量40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

思考5:在样本数据的散点图中，能否 用直尺准确画出回归直线？借助计算机 怎样画出回归直线？脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

知识探究(二):回归方程

在直角坐标系中，任何一条直线都有相 应的方程，回归直线的方程称为回归方 程.对一组具有线性相关关系的样本数 据，如果能够求出它的回归方程，那么 我们就可以比较具体、清楚地了解两个 相关变量的内在联系，并根据回归方程 对总体进行估计.

思考1:回归直线与散点图中各点的位置 应具有怎样的关系？脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

整体上最接近

思考2:对于求回归直线方程，你有哪 些想法？脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

思考3:对一组具有线性相

关关系的样 本数据：(x1,y1),(x2,y2),…,(xn, bx y a yn),设其回归方程为 可以 用哪些数量关系来刻画各样本点与回 归直线的接近程度？(xi,yi)

(x1, y1)(x2,y2)

(xn,yn)

i 可以用 yi y

i ) , 或 ( yi y2

其中

i bxi a y

.

思考4:为了从整体上反映n个样本数 据与回归直线的接近程度，你认为选 用哪个数量关系来刻画比较合适？(xi,yi) (x1, y1) (x2,y2) (xn,yn)

i ) Q ( yi yi 1

n

2

( y1 bx1 a) ( y2 bx2 a) 2 2

( yn bxn a)

2

思考5:根据有关数学原理分析，当 b

(xi 1 n

n

i

x )( yi y )

2 ( x x ) i i 1

n

x yi 1 n i i 1

n

i

nx y

2 2 x nx i

y bx , a

i )2 为最小，这样 时，总体偏差 Q (yi yi 1

就得到了回归方程，这种求回归方程的 x a b 方法叫做最小二乘法.回归方程 y 的几何意义分别是什么？ 中， a , b

思考6:利用计算器或计算机可求得年龄和 人体脂肪含量的样本数据的回归方程为 0.577 x 0.448 ,由此我们可以根据 y 一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分 比的回归值.若某人37岁，则其体内脂肪含 量的百分比约为多少？脂肪含量40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

20.9%

理论迁移

例 有一个同学家开了一个小卖部， 他为了研究气温对热饮销售的影响，经 过统计，得到一个卖出的饮料杯数与当 天气温的对比表：摄氏温 度(℃) -5 0 4 7 12

热饮杯 数 15116

156 19104

150 2389

132 2793

128 3176

130 3654

摄氏温 度(℃)热饮杯 数 15

-5156 19

0150 23

4132 27

7128 31

12130 36

116

104

89

93

76

54

(1)画出散点图； (2)从散点图中发现气温与热饮杯数之 间关系的一般规律； (3)求回归方程； (4)如果某天的气温是2℃,预测这天卖 出的热饮杯数.

180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 -10 0 10 20 30 y = -2.3517x + 147.77 40 温度

热饮杯数

当x=2时，y=143.063.

小结作业 1.求样本数据的线性回归方程，可按 下列步骤进行： 第一步，计算平均数 x , y第二步，求和

i 1 第三步，计算 b

x y , x ( x x )( y y ) x y nx y2

n

n

i 1 n

i

i

i 1

i

n

i

i

2 ( x x ) i i 1

n

i 1 n

i i

2 2 x nx i i 1

y bx ,a

y b x a 第四步，写出回归方程

2.回归方程被样本数据惟一确定，各样本点 大致分布在回归直线附近.对同一个总体， 不同的样本数据对应不同的回归直线，所以 回归直线也具有随机性.

3.对于任意一组样本数据，利用上述公式都 可以求得“回归方程”,如果这组数据不具 有线性相

关关系，即不存在回归直线，那么 所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此， 对一组样本数据，应先作散点图，在具有线 性相关关系的前提下再求回归方程.

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