2012年中考数学复习专题-圆

专题八 圆

本章知识点： 1、（要求深刻理解、熟练运用） 1.垂径定理及推论: 几何表达式举例： 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理， 即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”. ADOEB过圆心垂直于弦平分弦平分劣弧C平分优弧∵ CD过圆心 ∵CD⊥AB ∴ AE=BEAC=BCAD=BD2.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中） “等角对等弦”； “等弦对等角”； “等角对等弧”； “等弧对等角”； “等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”； “等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”. 3．圆周角定理及推论: （1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半； （2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图) （3）“等弧对等角”“等角对等弧”； （4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图) （5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图) OBC几何表达式举例： B(1) ∵∠AOB=∠COD ∴ AB = CD OAE(2) ∵ AB = CD ∴∠AOB=∠COD （3）????? 几何表达式举例： （1） ∵∠ACB=AOB ∴ ????? （2） ∵ AB是直径 ∴ ∠CFD1∠2CADACB=90° BAOBC（3） ∵ ∠ACB=90° ∴ AB是直径 （4） ∵ CD=AD=BD ∴ ΔABC是RtΔ （1） （2）（3） （4） A4．圆内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外 角都等于它的内对角. BC几何表达式举例： ∵ ABCD是圆内接四边形 1 DEA

5．切线的判定与性质定理: 如图：有三个元素，“知二可推一”； 需记忆其中四个定理. （1）经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线； 6．相交弦定理及其推论: （1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等； （2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项. CDAPB∴ ∠CDE =∠ABC ∠C+∠A =180° 几何表达式举例： （1） ∵OC是半径 OBCA是半径垂直是切线∵OC⊥AB ∴AB是切线 （2） ∵OC是半径 ∵AB是切线 ∴OC⊥AB 几何表达式举例： （1∴??? ） ∵PA2PB=PC2PD （2） ∵AB是直径 ∵PC⊥AB （2）圆的切线垂直于经过切点的半径； CABOP∴PC=PA2PB 几何表达式举例： （1） ∵O1，O2是圆心 ∴O1O2垂直平分AB 2（1） （2） 7．关于两圆的性质定理: （1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦； （2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上. O1BAAO2O1O2（2） ∵⊙1 、⊙2相（2） 切 ∴O1 、A、O2三点一线 公式举例： O（1） （2） 8．正多边形的有关计算: （1）中心角?n ，半径RN ， 边心距rn ， 边长an ，内角?n ， 边数n； D?n RnAE（2）有关计算在RtΔAOC中进行. 二 定理： 1．不在一直线上的三个点确定一个圆. rnanCB?n 360?； n?180?(2) n? 2n(1) ?n =2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角 三 公式： 1.有关的计算： 2 OAB

（1）圆的周长C=2πR；（2）弧长L=n?R2；（3）圆的面积S=πR. 180n?R21?LR； （4）扇形面积S扇形 =3602（5）弓形面积S弓形 =扇形面积SAOB±ΔAOB的面积.（如图） 2.圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2πrh； (r:底面半径；h:圆柱高) 1（2）圆锥的侧面积：S圆锥侧 =LR=πrR. （L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径）

2四 常识：

1． 圆是轴对称和中心对称图形.2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数. 3． 三角形的外心 ? 两边中垂线的交点 ? 三角形的外接圆的圆心；

三角形的内心 ? 两内角平分线的交点 ? 三角形的内切圆的圆心.

4． 直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）

直线与圆相交 ? d＜r ； 直线与圆相切 ? d=r ； 直线与圆相离 ? d＞r.

3

5． 圆与圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径且R≥r）

两圆外离 ? d＞R+r； 两圆外切 ? d=R+r； 两圆相交 ? R-r＜d＜R+r； 两圆内切 ? d=R-r； 两圆内含 ? d＜R-r.

6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.

圆中考专题练习

一：选择题。

1. （2010红河自治州）如图2，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠

DBC的度数为（ ）

A.30° B.40° C.50° D.60°

B

o

AC E

D 图22、（11哈尔滨）．如上图，AB是⊙O的弦，半径OA＝2，∠AOB＝120°，则弦AB的长是（ ）． （A）22 （B）23 （C）5 （D）35

3、（2011陕西省）9.如图，点A、B、P在⊙O上，点P为动点，要是△ABP为等腰三角形，则所有符合条件的点P有（ ）

A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 4、（2011），安徽芜湖）如图所示，在圆O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC的长为（ ）

A．19 B．16 C．18 D．20

C A A

5、（112浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于（ ）

A．6π B．9π C．12π D．15π 6、（20102浙江湖州）．如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E．下列结论中一定正确的是（ ） ．．1

A．AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝ CE D．∠AOC＝60°

2

7、（上海）已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1 = 3，则圆O1与圆O2的位置关系是（ ） A.相交或相切 B.相切或相离 C.相交或内含 D.相切或内含

4

C E O B B 第5

D 第6

8. （莱芜）已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）

A．2.5

B．5

C．10

D．15

9、（102绵阳）．如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB = 1，BC = 2，则OA =（ ）．

A．

3?21?51?3 B．2 C． D． 232A A B C D

10、（2010昆明）如图，在△ABC中，AB = AC，AB = 8，BC = 12，分别以 AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）

?O A．64??127 C．16??247

B．16??32 D．16??127

B C 第9题图

11、（10年兰州）9. 现有一个圆心角为90，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为

A． 4cm B．3cm C．2cm D．1cm

二：填空 1、（11怀化)如图6，已知直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，且∠OBA=40°，则∠ADC=______． D A E

B O （第15题）

C 2、（10年安徽）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝500，点D是BAC上一点， 则∠D＝______

3、(2011台州市)如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于E．则直线CD与⊙O的位置关系是 ，阴影部分面积为(结果保留π) ．

24、（10株洲市）15．两圆的圆心距d?5，它们的半径分别是一元二次方程x?5x?4?0的两个根，这两圆

的位置关系是 .

5、（10成都）如图，在?ABC中，AB为?O的直径，?B?60,?C?70，则?BOD的度数是_______度．

??0、(0，2)，P是△AOB外接圆上的一6、(苏州2011中考题18)．如图，已知A、B两点的坐标分别为23，点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为 ．

?? 5

7、（2010年成都）．若一个圆锥的侧面积是18π，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是___________． 三：解答题 1、（10珠海）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6,AC＝4,D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连结PA、PB、PC、PD.(1)当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明； （2）若cos∠PCB=

2、（10

5，求PA的长. 5镇江市）．如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，

垂足为E，连结OE，CD=3，∠ACB=30°.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）分别求AB，OE的长；

3、（2010宁波市）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，

连结EF、EO，若DE＝23，∠DPA＝45°．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．

6

4、（桂林2011）25．（本题满分10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，

FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF． （1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD；（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长． A

O D

CBE

H F

5、（10年兰州）26.（本题满分10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延

1长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC=2AB；

（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN2MC的值.

6、（11绵阳）如图，△ABC内接于⊙O，且∠B = 60?．过点C作圆的切线l与直径AD的延长线交于点E，AF⊥l，垂足为F，CG⊥AD，垂足为G．（1）求证：△ACF≌△ACG；（2）若AF = 43，求图中阴影部分的面积．

A O G D B

7

l F C E

7、(苏州11、27)．(本题满分9分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，

OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F (1)求证：OE∥AB；(2)求证：EH=

近年广州中考题 20．（本小题满分10分）

如图10，在⊙O中，?ACB??BDC?60°，AC?23cm．（1）求?BAC的度数； （2）求⊙O的周长．

8

1BH1BH?，求AB；(3)若的值．

2BE4CEA O B 图10

D C

??DE? 23、（2008广州）（12分）如图9，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且BC（1）求证：AC=AE

（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）求证：EF平分∠CEN

24．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D

APB上任一点（与端点A、B不重合）是?，DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过图9

点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．

（1）求弦AB的长；

（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由； （3）记△ABC的面积为S，若

S＝43，求△ABC的周长. 2DE 9

C P D A O E B

25. （2011广东广州市，25，14分）

如图7，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中 ∠DCE是直角，点D在线段AC上．

（1）证明：B、C、E三点共线；

（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=2OM；

10

（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图8），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=2OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．

A A N N1 D O E O D1 E1

M C M1 C B 图7

B 图8

部分答案：一：选择题

1、A 2、B 3、D 4、 D 5、D 6、B 7、A 8、C 9、A 10、D 11、C

二：填空1、25 2、40 3、相切、6?π 4、外切 5、100 6、(3?1,3?1) 7、三：解答题： 1、解：（1）当BD＝AC＝4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形

∵P是优弧BAC的中点 ∴弧PB＝弧PC ∴PB＝PC ∵BD＝AC＝4 ∠PBD=∠PCA ∴△PBD≌△PCA∴PA=PD 即△PAD是以AD为底边的等腰三角形

11

3

（2）由（1）可知，当BD＝4时，PD＝PA，AD＝AB-BD＝6-4＝2

过点P作PE⊥AD于E，则AE＝

1AD=1 ∵∠PCB=∠PAD 2∴cos∠PAD=cos∠PCB=

AE5 ∴PA=5 ?PA52、（1）∵AB是直径，∴∠ADB=90°

又?AB?BC,?AD?CD.又?AO?BO,?OD//BC.(2分)

?DE?BC,∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线.

（2）在Rt?CBD中,CD?3,?ACB?30?，

?BC?CD?cos30?332?2,?AB?2.

在Rt?CDE中,CD?3,?ACB?30?,?DE?113CD??3?.(5分)222327)?.(6分)22

在Rt?ODE中,OE?OD2?OE2?12?(5、解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB ∴∠A=∠ACO=∠PCB

∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACO+∠OCB=90° ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP

∵OC是⊙O的半径 ∴PC是⊙O的切线

（2）∵PC=AC ∴∠A=∠P ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB

1 ∴∠CBO=∠COB ∴BC=OC ∴BC=2AB

(3)连接MA,MB ∵点M是弧AB的中点 ∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM

∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM ∵∠BMC=∠BMN ∴△MBN∽△MCB

BMMN?BM ∴BM2=MC2MN ∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM ∴∠AMB=90°,AM=BM ∴MC2

∵AB=4 ∴BM=22 ∴MC2MN=BM=8

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6：（1）如图，连结CD，OC，则∠ADC =∠B = 60?．∵ AC⊥CD，CG⊥AD，∴ ∠ACG =∠ADC = 60?． 由于 ∠ODC = 60?，OC = OD，∴ △OCD为正三角形，得 ∠DCO = 60?．由OC⊥l，得 ∠ECD = 30?，∴ ∠ECG = 30? + 30? = 60?．进而 ∠ACF = 180?－2360? = 60?，∴ △ACF≌△ACG． （2）在Rt△ACF中，∠ACF = 60?，AF = 43，得 CF = 4．

168．在Rt△CEO中，OE =． 33l F 160??OC232(33??)于是 S阴影 = S△CEO－S扇形COD =OE?CG?=．

23609在Rt△OCG中，∠COG = 60?，CG = CF = 4，得 OC =

25、【答案】（1）∵AB为⊙O直径 ∴∠ACB=90° ∵△DCE为等腰直角三角形 ∴∠ACE=90° ∴∠BCE=90°+90°=180° ∴B、C、E三点共线．

（2）连接BD，AE，ON．∵∠ACB=90°，∠ABC=45° ∴AB=AC ∵DC=DE

A C E O G D B ∠ACB=∠ACE=90° ∴△BCD≌△ACE ∴AE=BD，∠DBE=∠EAC ∴∠DBE+∠BEA=90° 1

∴BD⊥AE ∵O，N为中点 ∴ON∥BD，ON=BD

2

1

同理OM∥AE，OM=AE ∴OM⊥ON，OM=ON ∴MN=2OM

2（3）成立 证明：同（2）旋转后∠BCD1=∠BCE1=90°－∠ACD1

所以仍有△BCD1≌△ACE1，所以△ACE1是由△BCD1绕点C顺时针旋转90°而得到的，故BD1⊥AE1 其余证明过程与（2）完全相同．

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