2012年各地高考模拟试题中导数题大汇编

2012年各地高考模拟试题中导数题大汇编（截止3月底）

（淘题整理：顾桂斌）

一、填空题：

1、设函数f?x??x?6x，则f?x?在x?0处的切线斜率为 . 【答案】?6

22、函数y?x?2sinx,x???????,?的大致图象是 . 【答案】D 22??

3、函数f?x??ax?x?1有极值的充要条件是 .【答案】a?0

30.30.34、已知y?f?x?是定义在R上的奇函数，且当x?0时不等式f?x??xf'?x??0成立，若a?3?f3、

??11b?log?3?f(log?3)、c?log3?f(log3)，则a、b、c大小关系是 .【答案】c ? b ? a

99x?15、设曲线y?在点(3,2)处的切线与直线ax?y?1?0垂直，则a? .【答案】?2

x?12326、已知曲线f(x)?x?ax?bx?1在点(1,f(1))处的切线斜率为3，且x?是y?f(x)的极值点，

3则a?b? .【答案】?2

7、已知对任意实数x，有f(?x)??f(x)、g(?x)?g(x)且x?0时，f(x)?0、g(x)?0，则x?0 时 .

A.f'(x)?0,g'(x)?0 B.f'(x)?0,g'(x)?0 C.f'(x)?0,g'(x)?0 D.f'(x)?0,g'(x)?0【答案】B 8、函数f(x)的图像如图，f(x)是f(x)的导函数，则下列数值排列正确的是 . 【答案】A

'// - 1 -

A. 0?f(2)?f(3)?f(3)?f(2) B. 0?f(3)?f(3)?f(2)?f(2) C. 0?f(3)?f(2)?f(3)?f(2) D. 0?f(3)?f(2)?f(2)?f(3) 9、曲线y?4x?x3在点(?1,?3) 处的切线方程是 .【答案】y?x?2 10、曲线y?''''''''x在点(?1,?1)处的切线方程为 .【答案】y?2x?1 x?23211、已知函数f(x)?3x?ax?x?5在区间[1,2]上单调递增，则a的取值范围是 .【答案】(??,5] 12、设a?R，若函数y?e?ax,x?R有大于零的极值点，则实数a取值范围是 .【答案】a??1 13、函数y??x?3x在点(1,2)处的切线方程为 .【答案】y?3x?1 14、设f(x)?xlnx，若f?(x0)?2，则x0? .【答案】e

15、已知曲线y?x?1在x?x0处的切线与曲线y?1?x在x?x0处的切线互相平行，则x0的值为 .【答案】0或-23x322 316、若幂函数f(x)的图象经过点A(2,4)，则它在A点处的切线方程为 .【答案】4x?y?4?0 17、已知f(x)?x?3xf?(1) 则f?(2)为 .【答案】1

2?ax2?bx?c x??118、已知函数f(x)??，其图象在点(1,f(1))处的切线方程为y?2x?1，则它在点

f(?x?2) x??1?(?3,f(?3))处的切线方程为 .【答案】y??2x?3

19、已知函数f(x)在R上可导，且f(x)?x?2x?f?(2)，则f(?1)与f(1)的大小是 . A．f(?1)=f(1) B．f??1??f(1)x2 C．f(?1)?f?1? D．不确定 【答案】B

20、函数f(x)?e?x (e为自然对数的底数)在区间[?1,1]上的最大值是 .【答案】e?1 21、函数y?f?x?的导函数图象如图所示，则下面判断正确的是 .【答案】C

- 2 -

A．在??3,1?上f?x?是增函数 B．在x?1处f?x?有极大值 C．在x?2处f?x?取极大值 D．在?1,3?上f?x?为减函数

22、f(x)?ax?3x?2,若f?(?1)?4,则a= .【答案】

3210 323、定义在R上的函数f(x)满足f(4)?1，f?(x)为f(x)的导函数，已知y?f?(x)的图象如图所示，

若两个正数a、b满足f(2a?b)?1，则

b?2的取值范围是 .a?2

A．(,) B．(??,)?(3,??) C．(,3) D．(??,3) 【答案】C 24、已知f?(x)是函数f(x)的导数，y?f?(x)的图象如图所示，则y?f(x)的图象最有可能是下图

11321212中 .

【答案】B

- 3 -

25、函数y?xcosx?sinx的一个递增区间是 .

3?5?,) D.(2?,3?) 【答案】B

2222126、函数f(x)?3?xlnx的单调递减区间是 .【答案】(0,)

e A.(,?3?) B.(?,2?) C.([?3,3] 27、设f(x)??x3?ax2?x?1在(??,??)上是单调函数，则实数a的取值范围是 .【答案】

x2?a28、若函数f(x)?在x?2处取得极值，则a? .【答案】8

x?129、定义在R上的函数y?f(x)，满足f(4?x)?f(x),(x?2)f'(x)?0，若x1?x2且x1?x2?4、则 . A.f(x1)?f(x2) B.f(x1)?f(x2) C.f(x1)?f(x2) D.不确定 【答案】B 30、函数f(x)?3?sinx（x?[0,1)的最小值 .【答案】1

31、已知函数f(x)的定义域为[?2,??)，部分对应值如下表，f(x)为f(x)的导函数，函数y?f(x)的

图象如图所示．若实数a满足f(2a?1)?1，则a的取值范围是 .

//x

x f(x) －2 1 20 －1 4 1 【答案】???33?,? 22??32、函数f(x)?x?ax?3x?9，已知f(x)在x??3时取得极值，则a? .【答案】5 33、曲线y= x?3x有一条切线与直线3x?y?0平行，则此切线方程为 .【答案】3x?y?1?0 34、若曲线f(x)?ax?lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 .【答案】???,0?

332322?x235、如图所示的曲线是函数f(x)?x3?bx2?cx?d的大致图象，则x1等于 . 【答案】

16 9

- 4 -

36、若幂函数f(x)的图象经过点A(2,4)，则它在A点处的切线方程为 .【答案】4x?y?4?0 37、函数y?f(x)在定义域(?3,3)内的图象如图所示，记y?f(x)的导函数为y?f/(x)，则不等式 21f/(x)?0的解集为 . 【答案】[?,1]?[2,3]

3

38、定义域为(??,0)?(0,??)的偶函数f(x)在区间(0,??)上的图象如图所示，则不等式f(x)f'(x)?0 的解集是 .

A.(??,0)?(0,1)；B.(?1,0)?(1,??)；C.(??,?1)?(1,??)；D.(?1,0)?(0,1)【答案】B

/39、定义在R上的函数y?f(x)对任意x满足f(3?x)?f(x)，(x?)f(x)?0，若x1?x2且x1?x2?3，

32则有 .

(A)f(x1)?f(x2) （B）f(x1)?f(x2) （C）f(x1)?f(x2) （D）不确定 【答案】B

40、已知点P在曲线y?4上，?为曲线在点P处的切线的倾斜角，则?的取值范围是 . xe?1【答案】[3?,?) 4- 5 -

x2?a41、若函数f(x)?在x?1处取极值，则a? .【答案】3

x?142、已知函数f(x)?x?ax?bx?c(x?[?2,2])的图象过原点，且在x?1处的切线的倾斜角均为

3323?，现4有以下三个命题：①f(x)?x?4x(x?[?2,2])；②f(x)的极值点有且只有一个；③f(x)的最大值与最小值之和为零，其中真命题的序号是 .【答案】①③

43、曲线y?x?x?1在点?1,3?处的切线方程是 .【答案】4x?y?1?0

31在点(1,1)处的切线与直线ax?y?1?0垂直，则a? .【答案】?1 x245、若函数f(x)?2x?lnx在其定义域内的一个子区间(k?1,k?1)内不是单调函数，则实数k的取值范围．．

44、设曲线y?是 .【答案】[1,)

46、设f(x)是一个三次函数，f'(x)其导函数，如图所示是函数y?xf(x)的图像的一部分，则f(x)的极

/32大值与极小值分别为 .【答案】f(?2)与f(2) 二、解答题： 47、已知函数f(x)?

12ax?2x、g(x)?lnx. 2（Ⅰ）如果函数y?f(x)在[1,??)上是单调函数，求a的取值范围. （Ⅱ）是否存在正实数a，使得函数??x??g(x)1?f?(x)?(2a?1)在区间(,e)内有两个不同的零点？若存xe在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.

解析：（Ⅰ）当a?0时，f(x)?2x在[1,??)上是单调增函数，符合题意，

当a?0时，y?f(x)的对称轴方程为x??22，由于y?f(x)在[1,??)上是单调函数，所以??1，解得 aaa??2或a?0，综上，a的取值范围是a?0或a??2．

（Ⅱ）??x??lnx1?(ax?2)?(2a?1)，因??x?在区间(,e)内有两个不同的零点,所以??x??0， xe - 6 -

即方程ax?(1?2a)x?lnx?0在区间(,e)内有两个不同的实根、设H(x)?ax?(1?2a)x?lnx

21e212ax2?(1?2a)x?1(2ax?1)(x?1) (x?0)、H?(x)?2ax?(1?2a)??、令H?(x)?0，因为a为正 ?xxx数，解得x?1或x??11（舍）、当x?(,1)时, H?(x)?0, H(x)是减函数；当x?(1,e)时, H?(x)?0，2ae?1?H(e)?0,?1H(x)是增函数. 为满足题意、只需H(x)在(,e)内有两个不相等的零点, 故?H(x)min?H?1??0,

e?H(e)?0,??e2?e解得1?a?.

2e?148、定义在R上的函数f(x)?ax?bx?cx?3同时满足以下条件：①f(x)在?0,1?上是减函数，在?1,???32上是增函数；② f(x)是偶函数；③ f(x)在x?0处的切线与直线y?x?2垂直. （Ⅰ）求函数y?f(x)的解析式；

（Ⅱ）设g(x)?4lnx?m，若存在x??1,e?，使g(x)?f?(x)，求实数m的取值范围.

2解析：（Ⅰ）f?(x)?3ax?2bx?c 、∵f(x)在?0,1?上是减函数，在?1,???上是增函数，

/∴f(1)?3a?2b?c?0??① 、由f(x)是偶函数得b?0?? ② ，又f(x)在x?0处的切线与直线

//11y?x?2垂直，f?(0)?c??1??③，由①②③得a?,b?0,c??1，即f(x)?x3?x?3；

33（Ⅱ）由已知得：若存在x??1,e?，使4lnx?m?x2?1，即存在x??1,e?，使m?4lnx?x2?1， 设M(x)?4lnx?x?1244?2x2x??1,e?，则M?(x)??2x?、令M?(x)?0、∵x??1,e?，∴x?2 xx当x?2时，M?(x)?0，∴M(x)在(2,e]上为减函数、当1?x?2时，M?(x)?0，∴M(x)在[1,2]上为增函数，∴M(x)在[1,e]上有最大值.又M(1)?1?1?0,M(e)?2?e?0，∴M(x)最小值为2?e2、 于是有m?2?e2为所求.

49、已知函数f(x)?lnx?2x（k常数）.

①求函数f(x)的单调区间；②若f(x)?x?lnx恒成立，求k的取值范围.

- 7 -

321?2k.∵f(x)的定义域为(0,??)，∴当k?0时， x1111当k?0时，由?2k?0可得x?，∴f(x)在(0,)f'(x)??2k?0，f(x)在(0,??)上是增函数、

x2k2kx1是增函数，在(,??)上是减函数.

2k1综上，当k?0时，f(x)的单调增区间是(0,??)， 当k?0时，f(x)的单调增区间是(0,)，单调减区

2k1间是(,??)；

2k解析：（1）由f(x)?lnx?2kx可得f'(x)?（2）由f(x)?x3?lnx恒成立，可得x?2kx?0恒成立，x?(0,??).即2kx??x，∴2k??x恒成立、 ∵?x?0、∵2k?0,k?0、∴k的取值范围是 [0,??). 50、已知函数f(x)?kx,g(x)?（Ⅰ）求函数g(x)?2333lnx. xlnx的单调区间； x（Ⅱ）若不等式f(x)?g(x)在区间(0,??)上恒成立，求实数k的取值范围.

lnx1-lnx‘‘，故其定义域为(0,??)、?g、令g(x)?0，得0?x?e、 （x?0）(x)?2xxlnx‘令g(x)?0，得x?e、故函数g(x)?的单调递增区间为(0,e)、单调递减区间为(e,??)；

xlnxlnxlnx1-2lnx‘‘h(x)?0、解得x?e （Ⅱ）?x?0,kx?、令,?k?2、令h(x)?2、又h(x)?3xxxx解析：（Ⅰ）?g(x)?当x在(0,??)内变化时，h(x)，h(x)变化如下表

x ‘h(x) ‘(0,e) + ↗ e 0 (e,??) - ↘ h(x) 1 2e由表知，当x?e时函数h(x)有最大值，且最大值为51、已知a是实数，函数f(x)?x(x?a)． （1）若f/211，所以，k?.

2e2e?1??3，求a的值及曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（2）求f(x)在区间[0,2]上的最大值.

/2解析：（1）f'(x)?3x?2ax．因为f'(I)?3?2a?3，所以a?0．又当a?0时，f(1)?1、f(1)?3，

- 8 -

所以曲线y?f(x)在(1,f(I))处的切线方程为3x-y-2=0． （2）令f'(x)?0，解得x1?0,x2?当

2a． 32a?0，即a?0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而fmax?f(2)?8?4a． 32a当?2时，即a?3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而fmax?f(0)?0．

3当0?2a?2a??2a??2，即0?a?3，f(x)在?0,?上单调递减，在?,2?上单调递增． 3?3??3???8?4a,0?a?2.从而fmax?? 、故函数f?x?的最大值为8?4a或0．

??0, 2?a?3.lnx52、已知f(x)?ax?lnx,x?(0,e],g(x)?，其中e是自然常数，a?R．

x（1）讨论a?1时, f(x)的单调性、极值；（2）求证：在（1）的条件下，f(x)?g(x)?1； 2（3）是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

解析：（1）? f(x)?x?lnx,f'(x)?1?1x?1'，∴当0?x?1时，f(x)?0，此时f(x)单调递减， ?xx'当1?x?e时，f(x)?0，此时f(x)单调递增，∴f(x)的极小值为f(1)?1；

（2）?f(x)的极小值为1，即f(x)在(0,e]上的最小值为1、∴f(x)?0,f(x)min?1，

令h(x)?g(x)?1lnx11?lnx'，当0?x?e时，h(x)?0，h(x)在(0,e]上单调递增， ??，h'(x)?22x2x11111????1?f(x)min 、∴在(1)的条件下，f(x)?g(x)?； e22221ax?1 ?xx∴h(x)max?h(e)?（3）假设存在实数a，使f(x)?ax?lnx,x?(0,e]有最小值3，f'(x)?a?'① 当a?0时，?x?(0,e] ?f(x)?0，所以f(x)在(0,e]上单调递减，f(x)min?f(e)?ae?1?3、 解得a?②当0?4（舍），所以，此时f(x)无最小值. e1111?e时，f(x)在(0,)上单调递减，在(,e]上单调递增、f(x)min?f()?1?lna?3，a?e2，aaaa满足条件.

1?e时，? x?(0,e],?f'(x)?0，所以f(x)在(0,e]上单调递减，f(x)min?f(e)?ae?1?3,解a4得a?（舍），所以，此时f(x)无最小值.

e③ 当

- 9 -

综上，存在实数a?e2，使得当x?(0,e]时f(x)有最小值3.

53、为了在如图所示的直河道旁建造一个面积为5000m的矩形堆物场，需砌三面砖墙BC、CD、DE，出于安全原因，沿着河道两边需向外各砌10m长的防护砖墙AB、EF，若当BC的长为xm时，所砌砖墙的总长度为ym，且在计算时，不计砖墙的厚度，求 （1）y关于x的函数解析式y?f(x)；

（2）若BC的长不得超过40m，则当BC为何值时，y有最小值，并求出这个最小值.

2解析：（1）y?f?x??2x?（2）令2x?5000?20x?x?0?；

500050005000（0，40]、因为y/?2?2在(0,40]恒小于0、所以y?2x?得x?50??20xxx在(0,40]内递减、故当x?40m时.y取理最小值225m.

54、已知函数f(x)?ax?bx(x?R)．

（1）若函数f(x)的图象在点x?3处的切线与直线24x?y?1?0平行，函数f(x) 在x?1处取得极值，

求函数f(x)的解析式，并确定函数的单调递减区间；

（2）若a?1，且函数f(x)在[?1,1]上是减函数，求b的取值范围．

3/2解析：（1）已知函数f(x)?ax?bx(x?R)，f(x)?3ax?b，函数f(x)图象在点x?3处的切线与直

//3河道ABCEjDF?f(3)?27a?b?24，且f(1)?3a?b?0，线24x?y?1?0平行，且函数f(x)在x?1处取得极值，

解得a?1,b??3、?f(x)?x?3x，且f(x)?3x?3、令f(x)?3x?3?0??1?x?1，所以函数的单调递减区间为[?1,1]；

3/2/2?f(x)?3x?b?0在[?1,1]（2）当a?1时，f(x)?x?bx(x?R)，又函数f(x)在[?1,1]上是减函数、

上恒成立，即b??3x2在[?1,1]上恒成立?b??3．函数f(x)??x?3x，设g(x)?6lnx?f?(x)（其中，若曲线y?g(x)在不同两点A(x1,g(x1))、B(x2,g(x2))处的切线互相平行，且f?(x)为f(x)的导函数）

323/2 - 10 -

g(x1)?g(x2)6?m恒成立，求实数m的最大值．?g(x)?6lnx?3x2?6x、?g?(x)??6x?6、依题意

x1?x2x有g?(x1)?g?(x2)，且x1?x2、即

66?6x1?6??6x2?6，∴x1x2?1 、 x1x22)?6(x1?x2)3(x1?x2)2?6(x1?x2)?6g(x1)?g(x2)6ln(x1x2)?3(x12?x2? ?

x1?x2x1?x2x1?x2?3(x1?x2)?66?6、令x1?x2?t，则t?2、??(t)?3t??6在(2,??)上单调递增、

x1?x2tg(x1)?g(x2)??3、?m??3、?实数m的最大值为?3．

x1?x2??(t)??(2)??3、?55、已知函数f(x)?13mmx?(2?)x2?4x?1,g(x)?mx?5. 32 (1)当m?4时,求f(x)的单调递增区间；

(2)是否存在m?0，使得对任意的x1,x2?[2,3],都有f(x1)?g(x2)?1恒成立.若存在,求出m的取值范

围；若不存在,请说明理由.

解析：(1)f?(x)?mx2?(4?m)x?4?(x?1)(mx?4)、当m?4时,f?(x)?4(x?1)2?0,∴f(x)在

44?1, ∴f(x)的递增区间为(??,),(1,??). mm44 (2)假设存在m?0,使得命题成立,此时f?(x)?m(x?1)(x?.∵m?0, ∴)?1. 则f(x)在

mm44(??,)和(1,??)递减,在(,1)递增.∴f(x)在[2,3]上单减,又g(x)在[2,3]单减.

mm2∴f(x)max?f(2)?m?1,g(x)min?g(3)?3m?5.因此,对x1,x2?[2,3],f(x1)?g(x2)?1恒成立.

3215即[f(x1)?g(x2)]max?1, 亦即f(x1)max?g(x2)min?1恒成立.∴m?1?(3m?5)?1、∴m??.

3715又m?0，故m的范围为[?,0).

71256、已知f(x)?xlnx,g(x)?x?x?a．

2(??,??)上单增,当m>4时,

（1）当a?2时，求函数y?g(x)在[0,3]上的值域；(2) 求函数f(x)在[t,t?2](t?0)上的最小值； (3) 证明: 对一切x?(0,??)，都有xlnx?g?(x)?12?成立． exe解析：（1）∵g(x)=

133(x?1)2?, x?[0,3]， 当x?1时，gmin(x)?g(1)?；当x?3时，222- 11 -

gmax(x)?g(3)?737、故g(x)值域为[,]； 2221e1e（2）f'(x)?lnx?1，当x?(0,)，f'(x)?0，f(x)单调递减，当x?(,??)，f'(x)?0，f(x)单调递增． ①0?t?t?2?，t无解；

1e1111?t?2，即0?t?时，f(x)min?f()??； eeee11③?t?t?2，即t?时，f(x)在[t,t?2]上单调递增，f(x)min?f(t)?tlnt． ee②0?t?57、已知函数f(x)?13． x?ax2?bx（a、b?R）

3(Ⅰ) 曲线C:y?f(x)经过点P(1,2)，且曲线C在点P处的切线平行于直线y?2x?1，求a、b的值； (Ⅱ) 已知f(x)在区间 (1,2)内存在两个极值点，求证：0?a?b?2．

2?1a??,??f(1)??a?b?2,??3解析：(Ⅰ)f?(x)＝x2?2ax?b，由题设知? 解得? 37??b?.?f?(1)?1?2a?b?2,?3?(Ⅱ)因为f(x)在区间(1,2)内存在两个极值点，所以f?(x)?0，即x2?2ax?b?0在(1,2)内有两个不等的

?f?(1)?1?2a?b?0,?f?(2)?4?4a?b?0,?实根．故??1??a?2,2???4(a?b)?0.?(1)(2)(3)(4)

12由 (1)+(3)得a?b?0、由（4）得a?b?a2?a，

1?2，从而a?b?2、所以0?a?b?2． 458、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE?BF?xcm.

因?2?a??1，故a2?a?(a?)2?（1）若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大，试问x应取何值？

（2）若广告商要求包装盒容积V(cm)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

32 - 12 -

解析：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得a?2x,h?260?2x?2(30?x)(0?x?30) 2(1)S?4ah?8x(30?x)??8(x?15)?1800、所以当x?15时，S取得最大值.

（2）V?a2h?22(?x2?30x2),V'?62x(20?x).由V'?0得x?0（舍）或x?20.当x?(0,20)时，

V'?0；当x?(20,30)时，V'?0、所以当x?20时，V取得极大值，也是最大值.此时

的高与底面边长的比值为

h1?，即包装盒a21. 2m59、已知函数f(x)?mx?,g(x)?2lnx.

x（1）当m?2时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（2）若x?(1,e]时，不等式f(x)?g(x)?2恒成立，求实数m的取值范围.

22解析：（1）切点坐标为(1,0)，∴切线方程为y?4x?4； m?2时，f(x)?2x?,f'(x)?2?3,f'(1)?4、

xx112(x?1)（2）m?1时，令h(x)?f(x)?g(x)?x??21lnx,则h'(x)?1?2???0 2xxxx∴h(x)在(0,??)上是增函数. 又h(e).h()??(?e?2)2?0,?h(x)在(,e)上有且只有一个零点、 ∴方程f(x)?g(x)有且仅有一个实数根；（或说明h(1)?0也可以）；

21e1e1em?2lnx?2恒成立，即m(x2?1)?2x?2xlnx恒成立，`?x2?1?0 x2x?2xlnx2x?2xlnx则当x?(1,e]时，m?恒成立，令G(x)?,当x?(1,e]时， 22x?1x?1（3）由题意知，mx??2(x2?1).lnx?4G'(x)??0、则G(x)在x?(1,e]时递减，∴G(x)在x?(1,e]时的最小值为 22(x?1)G(e)?

4e4e，则的取值范围是(??,). me2?1e2?1260、已知函数f(x)?x?alnx．

（1）当a??2e时，求函数f(x)的单调区间；

（2）若函数g(x)?f(x)?2x在[1,4]上是减函数，求实数a的取值范围．

解析：（1）函数f(x)的定义域为(0,??)、当a??2e时，f?(x)?2x?2e2(x?e)(x?e)、当x变?xx - 13 -

化时，f?(x),f(x)的变化情况如下：

?f(x)的单调递减区间是(0,e) 单调递增区间是(e,??)；

（2）由g(x)?x?alnx?2x，得g?(x)?2x?a?2、又函数g(x)?x2?alnx?2x为[1,4]上的单调xa减函数，则g?(x)?0、在[1,4]上恒成立，所以不等式2x??2?0在[1,4]上恒成立，即a?2x?2x2x2在[1,4]上恒成立．设?(x)?2x?2x，显然?(x)在[1,4]上为减函数，所以?(x)的最小值为?(4)??24、

2?a的取值范围是a??24．

61、某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元（t为常数，

且2?t?5），设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元（25?x?40），根据市场调查，日销售量q与

ex成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，且销售量为100公斤（每日利润=日销售量×（每公斤出

厂价-成本价-加工费））．

（1）求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；

（2）若t?5，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂的利润y最大，并求最大值．

100e30kk30解析：（Ⅰ）设日销量q?x,则30?100,?k?100e 、?日销量q?、 xeee100e30(x?20?t)?y?(25?x?40)；

ex100e30(x?25)100e30(26?x)//?y?y?0y?0得x?26， （Ⅱ）当t?5时，y?、、由得，由x?26xxee4所以当x?26时ymax?100e、当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为100e4元．

62、某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2?设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元． （Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

x)x万元．假

解析：（Ⅰ）设需要新建n个桥墩，(n?1)x?m即n?所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x=256(m?1、 xmm256x?mx?2m?256. -1)+(2?x)x?xxx3 （Ⅱ）由（Ⅰ）知f'(x)??256mx2331m2?mx?2(x2?512).令f'(x)?0，得x2?512，所以x?64 22x 当0?x?64时f'(x)?0、f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64?x?640时，f'(x)?0、f(x)在区 间(64,640)内为增函数、所以f(x)在x?64处取得最小值，此时n?m640?1??1?9.故需新建9个桥墩x64 - 14 -

才能使y最小． 63、已知函数f(x)?13x?ax2?6x?1，当x?2时，函数f(x)取得极值. 3 （I）求实数a的值；（II）若1?x?3时，方程f(x)?m?0有两个根，求实数m的取值范围.

13x?ax2?6x?1，则f?(x)?x2?2ax?6、因在x?2时，f(x)取到极值， 35所以f?(2)?0?4?4a?6?0、解得a??；

2152 （II）由（I）得f(x)?x3?x2?6x?1且1?x?3、则f?(x)?x?5x?6?(x?2)(x?3)

32解析：（I）由f(x)?由f?(x)?0解得x?2或x?3；f?(x)?0，解得x?3或x?2；f?(x)?0，解得2?x?3

?f(x)的递增区间为:(??,2)和(3,??)；f(x)递减区间为:(2,3)、又f(1)?要f(x)?m?0有两个根,则f(x)??m有两解，由图知?17117,f(2)?,f(3)? 632117?m??． 3264、某商场预计2010年从1月起前x个月顾客对某种世博商品的需求总量P(x)件2010年世博会在上海召开，与月份x的近似关系是：P(x)?1． x(x?1)(41?2x)（x?12且x?N?）

2（Ⅰ）写出第x月的需求量f(x)的表达式；

?f(x)?21x,1?x?7且x?N*,?（Ⅱ）若第x月的销售量g(x)??x212（单位：件），

?x(x?10x?96),7?x?12且x?N*?e31000ex?6每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)?，求该商场销售该商品，预计第几月的月利润

x达到最大值？月利润最大值是多少？(e?403)．

6解析：（1）当x?1时，f(1)?P(1)?39；当x?2时，

f(x)?P(x)?P(x?1)?211x(x?1)(41?2x)?(x?1)x(43?2x)?3x(14?x) 22?∴f(x)??3x?42x（x?12且x?N）．

?3000ex?6(7?x),?（2）h(x)?q(x)?g(x)??1000132(x?10x?96x),?63?e1?x?7,7?x?12,且x?N*

- 15 -

?3000ex?6(6?x),1?x?7,?∵当1?x?6时，∴h(x)在x?[1,6]h'(x)??1000且x?N*；h'(x)?0，

?6(x?8)(x?12),7?x?12,?e上单调递增，∴ 当1?x?7且x?N?时，h(x)max?h(6)?3000；∵当7?x?8时，h'(x)?0，当

8?x?12时，h'(x)?0，∴当7?x?12且x?N?时，

1000?2991000?299??3000； 6403e综上，预计第6个月的月利润达到最大，最大月利润为3000元．

a65、设函数f(x)?ax??2lnx.x h(x)max?h(8)?（Ⅰ）若f(x)在x?2时有极值，求实数a的值和f(x)的单调区间； （Ⅱ）若f(x)在定义域上是增函数,求实数a的取值范围．

解析：（Ⅰ）?f(x)在x?2时有极值，?有f'?2??0， 又f'?x??a?a2a，有?a??1?0，?2xx4444221?a?、?有f'?x???2??2?2x2?5x?2?， 由f'?x??0得x1?、x2?2，

555xx5x2又x?0?x,f'?x?,f?x?关系有下表

x f'?x? f?x? 0?x?1 2x?1 2? 递增 0 1?x?2 2? 递减 x?2 0 x?2 ? 递增 11?f(x)递增区间为(0,]和[2,??)，递减区间为(,2)；

22a2ax2?2x?a（Ⅱ）若f(x)在定义域上是增函数,则f'?x??0在x?0时恒成立，?f'?x??a?2??，2xxx?需x?0时ax2?2x?a?0恒成立，化为a?2x2x2恒成立，??1，?需a?1，此为所求. ?221x?1x?1x?x66、设函数y?f(x)?ax?bx?cx?d的图象在x?0处的切线方程为24x?y?12?0. （Ⅰ）求c，d；（Ⅱ）若函数在x?2处取得极值?16，试求函数解析式并确定函数的单调区间.

2解析：（Ⅰ）f(x)的定义域为R，f?(x)?3ax?2bx?c，∴f?(0)?c、∵切线24x?y?12?0的斜率

32为k??24，∴c??24，把x?0代入24x?y?12?0得y?12，∴P(0,12)，∴d?12、∴c??24、

- 16 -

d?12.

（Ⅱ）由（Ⅰ）f(x)?ax?bx?24x?12、由已知得?32?f(2)??16?8a?4b?36??16??

??f(2)?0?12a?4b?24?0?a?13222∴?、∴f(x)?x?3x?24x?12、∴f?(x)?3x?6x?24?3(x?2x?8)?3(x?4)(x?2) ?b?3由f?(x)?0得，x??4或x?2；由f?(x)?0得?4?x?2； ∴f(x)的单调增区间为(??,?4),(2,??)； 单调减区间为(?4,2).

67、已知函数f(x)?ax?lnx(a?R).

(Ⅰ)当a?2时，求f(x)在区间[e,e]上的最大值和最小值；

(Ⅱ)如果函数g(x),f1(x),f2(x)在公共定义域D上，满足f1(x)?g(x)?f2(x)，那么就称g(x)为

2211f1(x),f2(x)的“伴随函数”.已知函数f1(x)?(a?)x2?2ax?(1?a2)lnx，f2(x)?x2?2ax.

22若在区间(1,??)上，函数f(x)是f1(x),f2(x)的“伴随函数”，求a的取值范围.

14x2?12解析： (Ⅰ)当a?2时，f(x)?2x?lnx，f?(x)?4x??、对于x?[e,e]，有f?(x)?0，

xx2∴f(x)在区间[e,e]上为增函数，∴f(x)max?f(e2)?2?2e4,f(x)min?f(e)?1?2e2. (Ⅱ)在区间(1,??)上，函数f(x)是f1(x),f2(x)的“伴随函数”，则f1(x)?f(x)?f2(x)， 令p(x)?f(x)?f2(x)?(a?)x2?2ax?lnx?0对x?(1,??)恒成立，

21212x?2ax?a2lnx?0对x?(1,??)恒成立， 21[(2a?1)x?1](x?1)∵p?(x)?(2a?1)x?2a????（*）

xx111①若a?，令p?(x)?0，得极值点x1?1,x2?，当x2?x1?1，即?a?1时，在(x2,??)上有

22a?12且h(x)?f1(x)?f(x)??p?(x)?0，此时p(x)在区间(x2,??)上是增函数，并且在该区间上有p(x)?(p(x2),??)，不合题意；p(x)?(p(1),??)，也不合题意；

②若a?1，则有2a?1?0，此时在区间(1,??)上恒有p?(x)?0，从而p(x)在区间(1,??)上是减函数； 21111要使p(x)?0在此区间上恒成立，只需满足p(1)??a??0?a??，所以??a?.

2222 - 17 -

a2?x2?2ax?a2?(x?a)2又因为h?(x)??x?2a????0,h(x)在(1,??)上是减函数.

xxx1111h(x)?h(1)???2a?0，所以a?.综合可知a的取值范围是[?,].

2424a2(x?a)2另解：（接在（*）号后）先考虑h(x)，h?(x)??x?2a????0，h(x)在(1,??)上递减，

xx只要h(1)?0，即?11(x?1)[(2a?1)x?1]1对x?(1,??)，且a?有?2a?0，解得a?. 而p?(x)?24x4111111即a??2a?0，解得a??，所以??a?，即a的取值范围是[?,]. p?(x)?0. 只要p(1)?0，

2224243268、已知函数f(x)?x?ax?3x.

(1)若f(x)在区间[1,??)上是增函数，求实数a的取值范围； (2)若x??是f(x)的极值点，求f(x)在[1,a]上的最大值；

(3)在(2)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)?bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．

13解析：(1)f/(x)?3x2?2ax?3、f(x)在[1,??)是增函数，∴f/(x)在[1,??)上恒有f/(x)?0，即

f/(x)?3x2?2ax?3?0在[1,??)上恒成立，则必有

a?1且f/(1)??2a?0，∴a?0. 32/2/(2)依题意，f(?)?0、∴a?4，∴f(x)?x?4x?3x、令f(x)?3x?8x?3?0得x1??、

13313x2?3、∴f(x)在[1,4]上的最大值是f(1)??6.

(3)函数g(x)?bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程f(x)?x?4x?3x?bx恰有3个不等实根．∴x?4x?3x?bx?0，∴x?0是其中一个根，∴方程x?4x?3?b?0有两个非零不等实根． ∴??0且?3?b?0、∴b??7且b??3. ∴存在满足条件的b值，b的取值范围是b??7且b??3. 69、已知f(x)?lnx?32232a?2. g(x)?lnx?2x. x（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线y?g(x)相切？请说明理由.

解析：（1）f?(x)?x?a(x?0). x2（ⅰ）当a?0时，?f?(x)?0、?f(x)在(0,??)上单调递增；

（ⅱ）当a?0时，若0?x?a,则f?(x)?0；若x?a，则f?(x)?0?f(x)在?0,a?上单调递减，在(a,??) - 18 -

上单调递增；

（2）设切点为?x0,lnx0?2x0?、?g?(x)?11?2、切线方程为y??lnx0?2x0??(?2)(x?x0)

x0x?切线过点(2,5)，?5??lnx0?2x0??(1?2)(2?x0)、即x0lnx0?2x0?2?0??（＊） x0令?(x)?xlnx?2x?2，??(x)?lnx?1、?当0?x?e时，??(x)?0；当x?e时，??(x)?0

??(x)在?0,e?上单调递减，在(e,??)上单调递增、又

12e?3?1???(e)??e?2?0,?()??0,?(e2)?2?0??(x)?0在?,e2?上有两个零点，即方程（＊）在

ee?e??0,???上有两个根，?过点?2,5?可作两条直线与曲线y?g(x)相切．

x(2?x)ex70、已知函数f(x)?x,g(x)?. 2ee（Ⅰ） 求函数f(x)的极值； （Ⅱ） 求证：当x?1时，f(x)?g(x)； （Ⅲ） 如果x1?x2，且f(x1)?f(x2)，求证：f(x1)?f(2?x2)．

解析：⑴∵f(x)=

x1?x?，∴=．令f?(x)?0，解得x?1． f(x)xxeex f?(x) f(x) (??,1) ＋ ↗ 1 0 极大值(1,??) － 1 e↘ ∴当x?1时，f(x)取得极大值f(1)=

1． ex(2?x)ex1?xex(1?x)(1?x)(e2?e2x)?⑵令F(x)?f(x)?g(x)?x?,则F?(x)=x?．当x?1时，

ee2ee2ex?21?x?0，2x?2，从而e2?e2x?0，∴F?(x)＞0，F(x)在(1,??)是增函数．

∴F(x)?F(1)?11??0，故当x?1时，f(x)?g(x) ee⑶∵f(x)在(??,1)内是增函数，在(1,??)内是减函数．∴当x1?x2，且f(x1)?f(x2)时，x1、x2不可能

在同一单调区间内．∴x1?1?x2，由⑵的结论知x?1时，F(x)?f(x)?g(x)＞0，∴f(x2)?g(x2)． ∵f(x1)?f(x2)，∴f(x1)?g(x2)．又g(x2)?f(2?x2)，∴f(x1)?f(2?x2)．

- 19 -

f(x)?alnx?ax?3(a?R且a?0)．

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数y?f(x)的图像在点(2,f(2))处的切线的斜率为1，问：m在什么范围取值时，对于任意的

mt?[1,2]，函数g(x)?x3?x2[?f?(x)]在区间(t,3)上总存在极值？

2a(1?x)解析：（Ι）由f?(x)?知；当a?0时，函数f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1,??)；

x当a?0时，函数f(x)的单调增区间是(1,??)，单调减区间是(0,1)；

2a（Ⅱ）由f?(2)???1得a??2，∴f(x)??2lnx?2x?3，f/(x)?2?、

x2mmg(x)?x3?x2[?f/(x)]?x3?(2?)x2?2x、g/(x)?3x2?(4?m)x?2、∵函数g(x)在区间(t,3)上

22总存在极值，∴g?(x)?0有两个不等实根且至少有一个在区间(t,3)内，又∵函数g?(x)是开口向上的二次函

?g?(t)?022/数，且g?(0)??2?0，∴? 、由g(t)?0得m??3t?4∵H(t)??3t?4在[1,2]上单调

tt?g?(3)?0

71、已知函数

递减，所以H(t)min?H(2)??9，∴m??9，由g?(3)?27?3(4?m)?2?0，解得m??综上得：?37； 33737?m??9，所以当m在(?,?9)内取值时，对于任意t?[1,2]，函数33mg(x)?x3?x2[?f?(x)]在区间(t,3)上总存在极值.

23272、已知函数f(x)?x?ax?bx?c.，且曲线y?f(x)上的点P(1,f(1))处的切线方程为y?3x?1.

（1）若y?f(x)在x??2时有极值，求f(x)的表达式； （2）若函数y?f(x)在区间[?2,1]上单调递增，求b的取值范围.

解析：（1）由f(x)?x3?ax2?bx?c求导数得f'(x)?3x2?2ax?b、过y?f(x)上点P(1,f(1))处的切

线方程为y?f(1)?f'(1)(x?1)，即y?(a?b?c?1)?(3?2a?b)(x?1)，而过y?f(x)上的点P(1,f(1))（）1?3?2a?b?3?2a?b?0??处的切线方程为y?3x?1，故?，即?，因为y?f(x)在x??2时有极值，

?a?c?2?1?a?c?3??（2）??故f'(?2)?0,?4a?b??12?（3）、由（1）（2）（3）联立解得a?2,b??4,c?5，所以

f(x)?x3?2x2?4x?5；

2⑵y?f(x)在区间[?2,1]上单调递增，又f'(x)?3x?2ax?b，由（1）知2a?b?0，

?f'(x)?3x2?bx?b，依题意f'(x)?0在[?2,1]上恒成立即3x2?bx?b?0在[?2,1]上恒成立

①在x?b?1时，f'(x)min?f'(1)?3?b?b?0,?b?6； 6- 20 -

②在x?b??2时，f'(x)min?f'(?2)?12?12b?b?0,b??； 612b?b2b③在?2??1时，f'(x)min??0则0?b?6.

126综合上述讨论可知，所求参数b的取值范围是b?0.

13x?bx2?cx?bc，其导函数f?(x). 34（1）如果函数f(x)在x?1处有极值?，试确定b、c的值；

373、已知关于x的函数f(x)??（2）设当x?(0,1)时，函数y?f(x)?c(x?b)的图象上任一点P处的切线斜率为k，若k?1，求实数

b的取值范围.

?f'(1)??1?2b?c?04?2解析：（1）f'(x)??x?2bx?c、因为函数f(x)在x?1处有极值?、所以?143f(1)???b?c?bc???33?解得??b?1?b??1或?； c??1c?3??2（i）当b?1,c??1时，f'(x)??(x?1)?0、所以f(x)在R上单调递减，不存在极值； （ii）当b??1,c?3时，f'(x)??(x?3)(x?1)、x?(?3,1)时，f'(x)?0，f(x)单调递增、

x?(1,??)时，f'(x)?0，f(x)单调递减、所以f(x)在x?1处存在极大值，符合题意，

综上所述，满足条件的值为b??1,c?3； （2）当x?(0,1)时，函数y?f(x)?c(x?b)??13x?bx2、设图象上任意一点P(x0,y0)，则322k?y'|x?x0??x0?2bx0,x0?(0,1)、因为k?1，所以对任意x0?(0,1)，?x0?2bx0?1恒成立，所以对任2x0?1x2?1(x?1)(1x)?意x0?(0,1)，不等式b?恒成立、设g(x)?，则g(')x?2x02x2x2、当x?(0,1)时，g'(x)?0

故g(x)在区间(0,1)上单调递减、所以对任意x0?(0,1)，g(x0)?g(1)?1，所以b?1. 74、已知函数f(x)?(x?k)e.

（Ⅰ）求f(x)的单调区间； （Ⅱ）求f(x)在区间[1,2]上的最小值； （III）设g(x)?f(x)?f'(x)，当范围.

- 21 -

x35?k?时，对任意x?[0,1]，都有g(x)??成立，求实数?的取值22解析：（I）f(x)的单调递增区间为(k?1,??)，单调递减区间为(??,k?1)；

（II）当k?2时，f(x)的最小值为(1?k)e；当k?3时，f(x)的最小值为(2?k)e；当2?k?3时，f(x)的最小值为?ek?1； （III）???2e2k?32.

275、已知函数f(x)是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，f?x??ax?lnx，其中a?R. （1）已知函数f(x)的解析式；（2）若函数f(x)在区间???,?1?上是单调减函数，求a的取值范围；

（3）试证明对?a?R，存在??(1,e)，使f/????f?e??f?1?e?1.

?ax?lnx,x?0解析：（1）f(0)?0、x?0时，f(x)?f(?x)?ax?ln(?x)、所以f(x)?? ?0,x?0?ax?ln(?x),x?0?（2）函数f(x)是奇函数，则f(x)在区间(??,?1)上单调递减，当且仅当f(x)在区间(1,??)上单调递减， 当x?0时，f(x)?ax?lnx,f'(x)?a?1、由f??x??a?＜0得a＜?、?在区间(1,??)的取值范围

xxxx为??1,0?、所以a的取值范围为???,?1?；

111（3）

11f?e??f?1??qe?1?1、解f?????a??a?、因为1?e?1?e，??e?1为所求. ??a??e?1e?1e?1e?176、某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交m元（3?m?5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9?x?11）时，一年的销售量为(12?x)万件.

（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x（元）的函数关系式；

（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值Q(m).

2解析：（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L?(x?3?m)(12?m),x?[9,11]

22（2）L?(X)?(12?x)?2(x?3?m)?(12?x)(18?2m?3x).令L??0得x?6?m或x?12（不合

32282题意，舍去）、∵3?m?5，∴8?6?m?.在x?6?m两侧L?的值由正变负. 所以（1）当

333298?6?m?9即3?m?时，Lmax?L(9)?(9?3?m)(12?9)2?9(6?m).

322829（2）当9?6?m?即?m?5时，

3322221Lmax?L(6?m)?(6?m?3?m)[12?(6?m)]2?4(3?m)3，

33332 - 22 -

9?9(6?m),3?m?,??2所以Q(m)??

?4(3?1m)3,9?m?5?32?9，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(m)?9(6?m)（万元）； 2921若?m?5，则当每件售价为(6?m)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)?4(3?m)3（万元）. 233177、设函数f(x)?(2?a)lnx??2ax.

x1（1）当a?0时，求f(x)的极值；（2）设g(x)?f(x)?，在[1,??)上单调递增，求a的取值范围；

x（3）当a?0时，求f(x)的单调区间.

1212x?1解析：（1）函数f(x)的定义域为(0,??).当a?0时，f(x)?2lnx?，∴f?(x)??2?. 2xxxx1由f?(x)?0得x?.f(x),f?(x)随x变化如下表：

2111 (0,)(,??) x 222— 0 + f(x) 答：若3?m?f?(x) 减函数 极小值 增函数 122?a（2）由题意，g(x)?(2?a)lnx?2ax，在[1,??)上单调递增，g?(x)??2a?0在[1,??)上恒成立

x设h(x)?2ax?2?a?0在[1,??)上恒成立，当a?0时，2?0恒成立，符合题意；

故f(x)极小值?f()?2?2ln2，没有极大值；

当a?0时，h(x)在[1,??)上单调递增，h(x)的最小值为h(1)?2a?2?a?0，得a??2，所以a?0； 当a?0时，h(x)在[1,??)上单调递减，不合题意； 所以a?0；

2ax2?(2?a)x?111?（3）由题意f?(x)?、令得，f(x)?0x??x?. 122xa211若a?0，由f?(x)?0得x?(0,]；由f?(x)?0得x?[,??).

22111111若a?0，①当a??2时，??，x?(0,?]或x?[,??)，f?(x)?0；x?[?,]，f?(x)?0,

a2a2a2②当a??2时，f?(x)?0

111111③当?2?a?0时，??,x?(0,?]或x?[,??),f?(x)?0;x?[?,],f?(x)?0.

a2a2a211综上，当a?0时，函数的单调递减区间为(0,]，单调递增区间为[,??)；

221111当a??2时，函数的单调递减区间为(0,?],[,??)，单调递增区间为[?,]；

a2a21111当?2?a?0时，函数的单调递减区间为(0,],[?,??),单调递增区间为[?,?].

2a2a

- 23 -

78、已知函数f(x)?13x?bx2?cx?d，设曲线y?f(x)在与x轴交点处的切线为y?4x?12，f?(x)为3f(x)的导函数，满足f?(2?x)?f?(x)．

f?(x)，m?0，求函数g(x)在[0,m]上的最大值；

（1）求f(x)；（2）设g(x)?x（3）设h(x)?lnf?(x)，若对一切x?[0,1]，不等式h(x?1?t)?h(2x?2)恒成立，求实数t的取值范围．

2解析：（1）f?(x)?x?2bx?c，?f?(2?x)?f?(x)，?函数y?f?(x)的图像关于直线x?1对称，则

b??1．?直线y?4x?12与x轴的交点为(3,0)、?f(3)?0，且f?(3)?4，

13x?x2?x?3． 32??x?x,x?1,222（2）f?(x)?x?2x?1?(x?1)，g(x)?x(x?1)?xx?1?? 2??x?x,x?1.y1?212其图像如图所示．当x?x?时，x?，根据图像得：

224即9?9b?3c?d?0，且9?6b?c?4，解得c?1，d??3．则f(x)?（ⅰ）当0?m?12时，g(x)最大值为m?m； 2?1111?21（ⅱ）当?m?时，g(x)最大值为；

224（ⅲ）当m?O 11?222x1?22时，g(x)最大值为m?m． 22（3）方法一：h(x)?ln(x?1)?2lnx?1，h(x?1?t)?2lnx?t，h(2x?2)?2ln2x?1，?当x?[0,1]x?1时，2x?1?2x?1，?不等式2lnx?t?2ln2恒成立等价于x?t?2x?1且x?t恒成立，由x?t?2x?1恒成立，得?x?1?t?3x?1恒成立，?当x?[0,1]时，3x?1?[1,4]，?x?1?[?2,?1]、

??1?t?1，又?当x?[0,1]时，由x?t恒成立，得t?[0,1]，因此，实数t的取值范围是?1?t?0．

y方法二：（数形结合法）作出函数y?2x?1,x?[0,1]的图像， 其图像为线段AB（如图），

?y?x?t的图像过点A时，t??1或t?1，

4B32A1?2?1O1234xx?t，?要使不等式x?t?2x?1对x?[0,1]恒成立，必须?1?t?1，又?当函数h(x?1?t)有意义时， ?当x?[0,1]时，由x?t恒成立，得t?[0,1]，因此，实数t的取值范围是?1?t?0．

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2方法三：?h(x)?ln(x?1)， h(x)的定义域是{xx?1}，?要使h(x?1?t)恒有意义，必须t?x恒成立，

?x?[0,1]，?t?[0,1]，即t?0或t?1．????①

由h(x?1?t)?h(2x?2)得(x?t)?(2x?1)，即3x?(4?2t)x?1?t?0对x?[0,1]恒成立，令

2222?2?t?0,2?t???(x)?3x2?(4?2t)x?1?t2，?(x)的对称轴为x??，则有? 33???(0)?02?t??2?t?1,?1,?0????或?或?、解得?1?t?1．???② 33???(4?2t)2?4?3?(1?t2)?0???(1)?0?综合①、②，实数t的取值范围是?1?t?0． 79、已知函数f(x)?x2ln(ax)(a?0)．

（Ⅰ）若f'(x)?x2对任意的x?0恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅱ）当a?1时，设函数g(x)?f(x)1，若x1,x2?(,1),x1?x2?1，求证x1x2?(x1?x2)4． xe解析：（Ⅰ）f'(x)?2xln(ax)?x、f'(x)?2xln(ax)?x?x2，即2lnax?1?x在x?0上恒成立、

2?1?0,x?2，x?2时，单调减，x?2单调增，所以x?2时，u(x) xe有最大值u(2)、u(2)?0,2ln2a?1?2，所以0?a?；

2f(x)111（Ⅱ）当a?1时，g(x)??xlnx,g(x)?1?lnx?0,x?,所以在(,??)上g(x)是增函数，(0,)上

xeee1是减函数、因为?x1?x1?x2?1，所以g(x1?x2)?(x1?x2)ln(x1?x2)?g(x1)?x1lnx1

e设u(x)?2lnax?1?x、u'(x)?即lnx1?x1?x2x?x2ln(x1?x2)、同理lnx2?1ln(x1?x2) x1x2x1?x2x1?x2xxxx?)ln(x1?x2)?(2?1?2)ln(x1?x2)、又因为2?1?2?4,当且仅x2x1x2x1x2x1所以lnx1?lnx2?(1当“x1?x2”时，取等号，又x1,x2?(,1),x1?x2?1，ln(x1?x2)?0，所以

e(2?

x1x2?)ln(x1?x2)?4ln(x1?x2)、所以lnx1?lnx2?4ln(x1?x2)、所以：x1x2?(x1?x2)4 x2x1 - 25 -

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