大学物理2-212章习题详细答案

习题12

12-3．如习题12-3图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为q，试求在直杆延长线上到杆的一端距离为d的点P的电场强度。

qL[解] 建立如图所示坐标系ox，在带电直导线上距O点为x处取电荷元dq?点产生的电电场强度度为

dE?14??0dx，它在P

L2dPxdq?L?d?x??14??0qL?L?d?x?2dx

0dx则整个带电直导线在P点产生的电电场强度度为

E??0L14??0qL?L?dq?x?2dx?14??0qd?L?d?

故E?4??0d?L?d?i

12-4．用绝缘细线弯成的半圆环，半径为R，其上均匀地带有正电荷Q，试求圆心处点O的场强。

[解] 将半圆环分成无穷多小段，取一小段dl，带电量dq?QdlQ?Rdl

yd??dq在O点的电场强度dE?dq4??0R2?R ?24??0R从对称性分析，y方向的电场强度相互抵消，只存在x方向的电场强度 dEx?dE?sin??Q4??0R23xdEsin??dl dl?Rd?

dEx?Qsin?4??0R22d?

E?Ex??dEx???Qsin?4??0R220d??Q2??0R22 方向沿x轴正方向

12-5. 如习题12-5图所示，一半径为R的无限长半圆柱面形薄筒，均匀带电，沿轴向单位长度上的带电量为?，试求圆柱面轴线上一点的电场强度E。

[解] d?对应的无限长直线单位长带的电量为dq???d?

它在轴线O产生的电场强度的大小为

dE?dq2??0R??d?2??0R2

d?因对称性dEy成对抵消dEx?dE?cos???cos?d?2??0R2

?E??dEx?2?20?cos?d?2??0R2????0R2

12-6．一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为?，求球心点O处的场强。

[解] 将半球面分成无限多个圆环，取一圆环半径为r，到球心距离为x，所带电量绝对值

dq??2?rdl。

在O点产生的电场强度(利用圆环轴线电场强度公式)

dEx?xdq4??0dlr?x?x2?r232?

O带电半球壳在O点的总电场强度

Ex??dEx??4???x0xdq2?r2?32??4???x0x?2?rdl2?r2?32

由于 x?Rcos?，r?Rsin?，dl?Rd? 所

E?Ex?以

?2?0??20sin??cos?d???8?0??20sin2?d?2?????cos2?8?0????20?? ??4??0方向沿x轴负向

12-7．如习题12-7图所示，A、B为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度为E0，两平面外侧电场强度大小都是E0，方向如图。求两平面A、B上的面电荷密度?A和?B

。

3[解] 无限大平面产生的电场强度为E??2?0

AB则 EA??A2?0 EB??B2?0

?A??B??E0?2?0?2?0 ?E0?B?A????2?2?30?0E0/3E0E0/3解得 ?A??23?0E0 ?B?43?0E0

12-8．一半径为R的带电球体，其体电荷密度分布为?=Ar (r≤R)，??0 (r>R)，A为常量。试求球内、外的场强分布。

[解] 在带电球体内外分别做与之同心的高斯球面。 应用高斯定理有E?4?r2?q?0

q为高斯球面内所包围的电量。设距球心r处厚度为dr的薄球壳所带电量为dq

dq???4?rdr?4?Ardr

23r≤R时 q??04?Ar2r3dr??Ar4

Ar2解得 E?Ar4?0 (r≤R) (或E?4?0er)

r>R时高斯面内包围的是带电体的总电量Q

Q??dq?0R?0R4?Ardr??AR34

应用高斯定理E?4?r2?Q?0

E?AR424?0r (r>R) (或E?AR424?0rr)

当A>0时，电场强度方向均径向向外；当A<0时，电场强度方向均指向球心。

12-9．有一带电球壳，内、外半径分别为R1和R2，体电荷密度??Ar，在球心处有一点电荷Q，

求当A取什么值时，球壳区域内(R1

[解] 以同心球面为高斯面，电通量为

??S?E?dS?4?rE?2?2?q

?0q??0d??sin?d?0??R

r1rdr?Q?2?Ar2?22?R1?Q

?E?2?Ar?2?R1?Q22?4??0r当A?Q2?2R1时 E?A2?0 与r无关。因此得证。

12-10．一球体内均匀分布着体电荷密度为?的正电荷，若保持电荷分布不变，在该球体内挖去半径为r的一个小球体，球心为O?，两球心间距离OO??O?d，如习题12-10图所示。求：(1)在球形空腔内，球心O?

处的电场强度E；(2)在球体内点P处的电场强度E。设O?、O、P三点在同一直径上，且OP=d。

[解] 在空腔内分别填上密度为??的电荷和密度为??的电荷。

(1) O?处的电场强度是密度为?的大球和??的小球所

P

?O d r? O? x 产生的电场强度的叠加。

大球产生电场强度：

在球体内做半径为d的同心高斯球面，应用高斯定理

??E?4?d243习题12-10图

?d3??0 E??d3?0

而小球产生电场强度由于对称性为0 因此O?点的电场强度 EO???d3?0i

(2)P点的电场强度也是两球电场强度的叠加。 同理大球产生的电场强度 E???d3?0i

?43?r3小球产生的电场强度 E??4?4d?2?0 E?????i???3?0??r3212?0d??i ??i

合电场强度 EP3??d?r?????3?12?0d0?23?r?d?2?4d?12-11．一半径为R的带电球体，其体电荷密度分布为 ??qr?R4 (r≤R)

??0 (r>R)

试求：(1)带电球体的总电量；(2)球内外各点的场强；(3)球内外各点的电势。

[解] （1）带点球体的总电量：Q??R（2）在带电球体内外分别做与之同心的高斯球面。

00?Rdq??Rqr44?rdr?q

2应用高斯定理有E?4?r?2q内?0

q内为高斯球面内所包围的电量。设距球心r处厚度为dr的薄球壳所带电量为dq

dq???4?rdr?2qRqR44rdr 4rdr?33r≤R时 q内??r0qR44r

4解得 E?qr244??0R (r≤R) (或E?qr244??0Rer)

r>R时高斯面内包围的是带电体的总电量q 应用高斯定理E?4?r2?q?0

E?q4??0r2 (r>R) 方向沿径向 (或E?q4??0r2er)

当q>0时，电场强度方向均径向向外；当q<0时，电场强度方向均指向球心。 （3）

U?? ? rEdr?q? R rqr244??0Rdr?? ? Rq4??0r2dr (r?R)??r??4?3? (r?R)12??0R?R???3

U?? ? rEdr?q? ? rq4??0r2dr (r?R)

?4??0r (r?R)

12-12．如习题12-12图所示，在Oxy平面内有与y轴平行、位于x?a2和x??12a处的两条无限长平行

均匀带电直线，电荷线密度分别为+?和??。求z轴上任一点的电场强度。

[解] 无限长带电直线在线外任一点的电电场强度度

E??2??0r

所以 P点的电场强度 E?λ???a?22??0??z??4???212

E?λ???a?22??0??z??4???212

ExE+?zP-?y由对称性知合电场强度的z方向分量为零，x方向分量

Ex?2Eλcos?

E-?+?-a/2Oa/2x而 cos??a2?a22????z?4???12

所以 E?2Eλcos??2a???0?a2?4z2? 方向指向x轴负方向

12-13．如习题12-13图所示，在半径为R，体电荷密度为?的均匀带电球体内点O?处放一个点电荷q。试求：点O、P、N、M处的场强 (O?、O、P、N、M在一条直线上)。

[解] 由电场叠加原理

EO?E球?Eq?q4??0rOO?2

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