备战高考数学全国统考区精选理科试题（详解）分类汇编17：几何证明

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备战高考之全国统考区（甘肃、贵州、云南）精选理科试题（大部分详解）分类汇

编17：几何证明

一、解答题

1 ．（云南师大附中高三高考适应性月考卷（三）理科数学试题）【选修4—1：几何证明选讲】

如图6，在正△ABC中，点D,E分别在边AC, AB上，且AD=

1AC， AE= 32AB，BD，CE相交于点F。 3（I）求证：A，E，F，D四点共圆；

（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．

【答案】（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】

（Ⅰ）证明：AE?21AB，?BE?AB. 331AC，?AD?BE， 3在正△ABC中，AD?又

AB?BC，?BAD??CBE，

?△BAD≌△CBE，??ADB??BEC，

即?ADF??AEF?π，所以A，E，F，D四点共圆. …………………………（5分） （Ⅱ）解：如图6，取AE的中点G，连结GD，则AG?GE?AE?AD?212AB，?AG?GE?AB?， 33312AC?，?DAE?60?， 331AE. 2?△AGD为正三角形， ?GD?AG?AD?22，即GA?GE?GD?， 332. 3图6

所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为

由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为

2.…（10分） 32 ．（云南师大附中高考适应性月考卷(八)理科数学试题（详解））【选修4-1:几何选讲】

如图4,已知AB,CD是圆O的两条平行弦,过点A引圆O的切线EP与DC的延长线交于点

P,F为CD上的一点,弦FA,FB分别与CD交于点G,H.

(1)求证:GP?GH?GC?GD;

(2)若AB?AF?3GH?9,DH?6,求PA的长.

A B O H F P G C D

【答案】【选修4?1:几何证明选讲】

(Ⅰ)证明:∵PE与圆O切于点A, ∴?EAB??BFA, ∵AB//CD,

∴?EAB??APD.

??HFG??APG,在△HGF和△AGP中,?

?HGF??AGP,?∴△HGF∽△AGP,

∴GHGP?GFGA. 又∵GCGD?GFGA, ∴GPGH?GCGD. (Ⅱ)解:∵AB?AF,

∴?ABF??AFB??APH. 又∵AB//CD,

∴四边形ABHP为平行四边形, ∴AB?PH?9,

∴GP?PH?GH?6,

GPGH6?3??2, GD9∴PC?4.

∵PA是⊙O的切线, ∴GC?∴PA2?PCPD,PA?215.

3 ．（云南师大附中高三高考适应性月考卷（四）理科数学试题）如图7，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延

长，交圆O于点C，连PB交圆O于点D，若MC?BC． （1）求证：△APM∽△ABP； （2）求证：四边形PMCD是平行四边形．

【答案】（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】

证明：（Ⅰ）∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点， ∴MN2?PN2?NA?NB, ∴

PNNA?, NBPN又∵?PNA??BNP, ∴△PNA∽△BNP， ∴?APN??PBN, 即?APM??PBA, ∵MC?BC, ∴?MAC??BAC, ∴?MAP??PAB,

∴△APM∽△ABP． …………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）∵?ACD??PBN，

∴?ACD??PBN??APN，即?PCD??CPM， ∴PM//CD，

∵△APM∽△ABP，∴?PMA??BPA， ∵PM是圆O的切线，∴?PMA??MCP， ∴?PMA??BPA??MCP，即?MCP??DPC, ∴MC//PD,

∴四边形PMCD是平行四边形． ……………………………………………………（10分） 4 ．（云南省部分名校（玉溪一中、昆明三中、楚雄一中）高三下学期第二次统考数学（理）试题）选

修4-1:几何证明选讲

如图,AB为圆O的直径,P为圆O外一点,过P点作PC⊥AB于C,交圆O于D点, PA交圆O于E点,BE交PC于F点.

(Ⅰ)求证:?P??ABE;(Ⅱ)求证:CD?CF?CP.

2

【答案】

5 ．（贵州省遵义四中高三第四月考理科数学）（满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》

如下图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．

（I）求AC的长； （II）求证：BE＝EF．

【答案】（满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》

解：（I）?PA2?PC?PD,PA?2,PC?1，?PD?4，…（2分） 又?PC?ED?1,?CE?2，??PAC??CBA,?PCA??CAB,

??PAC∽?CBA，?PCAC，…………（4分） ?ACAB?AC2?PC?AB?2，?AC?2 …………（5分）

（II）?BE?AC?2，CE?2，而CE?ED?BE?EF， …………（8分）

?EF?2?12?2，?EF?BE． …………（10分）

6 ．（【解析】贵州省四校高三上学期期末联考数学（理）试题）如图，已知PA与圆O相切于点A，经

过点O的割线PBC交圆O于点B、C，?APC的平分线分别交AB、AC于点D、E， （Ⅰ）证明：?ADE??AED；

AEDPBCOPC（Ⅱ）若AC=AP，求的值。

PA??BAP【答案】解：（1）AB是弦，?PA是切线，

又

??C ??APD??CPE,??BAP??APD??C??CPE

??ADE??BAP??APD,?AED??C??CPE??ADE??AED(2)由（1）知?BAP??C,又??APC??BPA,

（5分）

??APC～?BPA,

PCCA?,?AC?AP,??APC??C??BAP, PAAB?由三角形内角和定理可知，?APC??C??CAP?180,

? BC是圆O的直径，??BAC?90?,

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