大学物理（2刚体振动和波部分）

第六章 刚体运动学

第一节．刚体和自由度的概念

刚体：物体上任意两点间的距离保持不变。

通俗地说：大小和形状保持不变的物体。

刚体和质点都是对实际物体的抽象。刚体考虑了物体的体积效应，但忽略了物体的形变。与质点相比，刚体更加接近实际物体。 自由度：确定一个物体的位置所需要的独立坐标数。 质点的位置：x，y，z三个空间坐标，3个自由度。 刚体的运动：任意点的平动＋绕该点的转动

点的平动：3个自由度；绕定点转动：3个自由度，6个自由度。

第二节 刚体的平动

运动过程中，刚体上任意一条直线始终保持和自身平行—平动。 平动时，刚体上各点的运动轨迹都相同。因此只要知道某一点的运动状态就知道了整个刚体的运动状态。

x z B rB rA A y rB?rA?AB drBdrAdAB??dtdtdt

drAdr?vA,B?vBdtAB为常矢量，dt

vA?vB

再对时间求导得：

dvAdvB?dtdt

aA?aB

可见，刚体作平动时，各点的速度和加速度都相同。 书中例题5.1(P.182)

装置如图，曲柄长度为r，与x轴的夹角φ＝ωt，其中ω为常量。 求：T形连杆在t时刻的速度和加速度。

解：T形连杆的运动为平动，∴连杆上任意点的速度和加速度都相同。以杆上M点为研究对象：

x＝rcosωt O ω φ M 对时间t求导得速度和加速度：

v＝－rωsinωt a＝－rω2cosωt

第三节 刚体绕定轴转动

定轴转动的实例很多：电机转动，开关门，等等。 刚体绕一固定轴转动，转过的角度θ称为角位移。 角位移的单位：rad（弧度） ；角位移的方向：右手定则， 符合右手定则的方向为“＋”；反之为“－” 角位移随时间的变化关系表示为：

θ＝f（t）

角速度：描述刚体转动快慢的物理量。 单位：rad/s （弧度/秒） ；方向：右手定则 角速度是角位移随时间的变化率：

??d?df(t)??lim??t?0?tdtdt

角加速度：描述刚体角速度变化快慢的物理量。 单位：rad/s2 （弧度/秒2）；方向：右手定则 角加速度是角速度随时间的变化率：

??d?d2?d2f(t)??lim??2?t?0?tdtdtdt2

定轴转动是一维运动，当函数给定后，和直线运动的情况基本相同。

生活中描述转动方向按顺时针和逆时针方向。 物理中描述转动方向按右手定则。

工程上转速的单位经常用：转/分钟 （r/min） 最常用的电机转速为：3000转/分钟 发电机的转速：50转/秒＝3000转/分钟

书中例题5.2(P.184)

飞轮的角速度在12s内由1200r/min均匀地增加到3000r/min。 求：（1）飞轮的的角加速度；（2）在这段时间飞轮转过的圈数。 解：先将单位由 转/分 换成 弧度/秒 ω1＝1200×2π/60＝40π (rad/s) ω2＝3000×2π/60＝100π (rad/s) ∵匀加速，t＝12s，

∴β＝（ω2－ω1）/t＝（100－40）π/12＝5π＝15.7(rad/s2) 角速度随时间的变化关系可通过β积分和初条件求得：

????dt??t?c

当t＝0时，ω＝ω1

∴ω＝ω1＋βt

角位移随时间的变化关系可通过ω积分和初条件求得：

???(?1??t)dt??1t??t2?c'12

其中c’由初条件确定。 因为要求的是12s内转过的角度，可令t＝0时，θ＝0，代入得c’＝0

∴

???1t??t2?40??12??5???122?840?(rad)N?840??4202?（圈）

1212

换算成圈数为：

第四节 角量与线量的关系

定轴转动中，刚体上一点到转轴的距离为r，该点线量度和角量之间的关系为：

S＝θr ；v＝ωr ；a切向＝βr ；a法向＝v2/r＝ω2r2/r＝ω2r 由于刚体没有形变，所以刚体的法向加速度不重要。 考虑方向后：

s＝θ×r v＝ω×r a＝β×r

作业：P. 191 5.9 ; 5.10

第七章 刚体动力学

第一节 刚体定轴转动与转动定理

复习： 力矩定义： 动量矩定义为：

M?r?F L?r?mv

d(r?mv)dL?dtdt

M?动量矩定理：

将刚体看成由一组特殊的质点组成，其特殊性就是：任意两质点间的距离保持不变。对于质点组中任意一个质点i，可根据动量定理写出它所受到的力矩与动量矩之间的关系：

d(ri?mivi)Mi?dt

其中Mi为质点i所受的力矩，包括外力作用在该质点的力矩Mi外和质点组内相互作用的的力矩Mi内。

∴

d(ri?mivi)Mi外?Mi内?dt (1)

对质点组中每一个质点求和得：

d(ri?mivi)Mi外??Mi内???dtiii (2)

在刚体内部，作用力与反作用力总是成对出现的，并且大小相等，

方向相反，作用在一条直线上，这对力所产生的力矩也是大小相

?对，方向相反的。因此，所有内力矩的求和为0。?Mi内?0。

i刚体在做定轴转动是一维问题，角速度ω的方向为z轴方向，ri与vi总是互相垂直的，ri×vi的方向为z轴方向，ri×vi的大小为rivisin90o＝rivi ；

d(ri?mivi)d(mirvii)???dtdti∴ i

因为刚体中任意两质点间的距离保持不变，∴miri均为常量，且vi＝ωri，可得：

2d(mirv)d(mr?r)d(mr2d?iiiiiii?)??????miri?dtdtdtdt iiii其中

d???为角加速度，M??Mi外表示和外力矩，则(2)式为： dtM??miri2?i (3)

令J??miri ，则(3)式写成：

2M=Jβ (4) —— 刚体转动定理

对比牛顿第二定律 F=ma

m是描述物体惯性的物理量，J也是描述物体惯性的物理量，并且是描述物体转动时的惯性，称为转动惯量。

第二节 转动惯量

转动惯量的定义：

对于连续的刚体：

J??miri2

J??r2dmV

从转动惯量的定义可以看到，刚体做定轴转动时，其惯性不仅与刚体的质量有关，还与质量的分布状况有关。

对于质量相同的刚体，一个质量分布靠近转轴，另一个质量分布远离转轴，从定义中可以看出，前者的转动惯量比后者小。 生活实例：

锤头的质量为m，锤柄的质量不计，当以角速度ω转动锤子时，柄越长，其转动惯量越大，直观地看，柄越长，锤头的线速度越大，它所具有的动能也越大，其惯性也就越大。 书中例题6.1(P.198)

已知：长为L，质量为M的均质细杆。

求：该杆对通过中心并与杆垂直的轴的转动惯量。 解：对连续的刚体，用积分的方法求转动惯量。

在离转轴x处取一线元dx，由于杆是细杆，这一线元的质量为：

Mdm?dxL

质量元到转轴的距离为x，根据转动惯量的定义：

Jy??x2dm??L2L?2L2L?2LM1Mx2dx?x3|2L?L3L2

1M?L3L3?12???ML??3L?88?12

因为转轴在杆的中心，所以积分限从－L/2积到L/2。

如果转轴在杆的一端，则积分限从0积到L，这时的转动惯量为：

J??xdm??0'yL2L0M1M3Lxdx?x|0L3L

21M31?L?0??ML2?3L3

有此看到，同一根杆，绕端点的转动惯量是绕中点的转动惯量的4倍。

转动惯量是一个新的物理量，求转动惯量需要用积分的方法，是本课程重点内容之一。 书中例题6.2(P.198)

求：质量为M，半径为R，高h的圆柱或园盘对过圆心且与盘面垂直转轴的转动惯量。

解：取半径为r，宽dr的薄圆环，高h。

M??2?Rh 该圆环的质量为：dm＝ρ2π r h dr，其中ρ是园盘的密度：

该圆环上各个点到转轴的距离都是r，

∴圆环的转动惯量为：dJ＝r2dm

整个园盘的转动惯量就是dJ从0到R积分：

J??rdm??r?2?rhdr?2??h?r3drV002R2R

14R1M142?2??hr|??hR?MR402?R2h2

如果是圆环，则积分限从R1积到R2：

R2R2J??rdm??r?2?rhdr?2??h?r3drVR1R122

??这时的密度应为：

M?(R22?R12)h

14R21M14422J?2??hr|??h(R?R)?M(R?R2121)22R142?(R2?R1)h2

（1）平行轴定理

若有两个轴互相平行，其中一个轴过质心，则：

J＝Jc＋md2

其中Jc为刚体对质心的转动惯量；m为刚体的质量；d为两轴的垂直距离。

证明：以转轴为z轴做坐标系oxyz；以刚体质心为原点做质心坐标系o’x’y’z’；刚体质心在oxyz坐标系中的坐标为：xc, yc, zc, 刚体上的任意点在oxyz坐标系的坐标为：xi, yi, zi； 该点在质心坐标系o’x’y’z’的坐标为：xi’, yi’, zi’

以z轴为转轴，刚体对z轴 的转动惯量为：

z d z’ J??mi(xi2?yi2)和y坐标，且：

xi＝xc＋xi’； yi＝yc＋yi’

x’ C(xc,yc,zc) y’ 其中xi和yi是质点的x坐标

y

x

其中xc和yc是刚体质心的x坐标和y坐标， xi’和yi’是质点在质心坐标系中的x’坐标和y’坐标 代入得：

J??mi[(xc?xi')2?(yc?yi')2]其中

??mi(xc2?yc2)?2xc?mixi'?2yc?miyi'??mi(xi'2?yi'2)?mx'?mx'?0； ?miiciyi'?myc'?0

表示质心在质心坐标系中的坐标为0

xc2+yc2=d2为质心到转轴的距离；

22m(x'?y'?iii)?Jc

为刚体对过质心转轴的转动惯量。 ∴ J＝Jc＋md2

例：书中例题6.1求了杆通过中心轴的转动惯量，用平行轴定理，

求过端点且与杆垂直的轴的转动惯量。

解：两平行轴的间距为d＝L/2，根据平行轴定理

J?Jc?md2?12?1?1ml?m?l??ml212?2?3

2例：过园盘边缘与园盘中心轴平行的轴的转动惯量。 园盘对其中心轴的转动惯量为：1/2 MR2 两轴之间的距离为R，根据平行轴定理：

1322I?Ic?md?mR?mR?mR222

2这种情况用直接积分比较困难。

(2)垂直轴定理

对于无穷薄的薄板，建立坐标 轴oxyz，其中oxy平面在薄板 平面内，z轴与薄板垂直。

yi xi x y z Jz＝Jx＋Jy

证明：

22222Jz??mr?m(x?y)?mx?my?iii?ii?iiii

＝Jx＋Jy

例题：均匀薄圆板，质量为m，半径为R。 求：过圆心且在板面上的转轴的转动惯量。 解：薄板对过圆心且与薄板 垂直转轴（z轴）的转动惯量 为Jz＝1/2 MR2，根据对称性， 薄板对x轴和对y轴的转动惯量相同， Jx＝Jy，根据垂直轴定理：

Jz＝Jx＋Jy ＝2Jx Jz＝1/2 MR2 Jx＝1/4 MR2 补充例题：

y x 半径为R，长为L，质量为M的实心圆柱体对中心直径的转动惯量。

解：从圆柱上切下一个 薄圆片dM，它对x轴 的转动惯量为： dJx＝? dMR

2

z z’ dM x L x 用垂直轴定理，得出它对z’轴的转动惯量为： dJz’＝?dMR2 其中dM＝M/Ldx 用平行轴定理，得出它对z轴的转动惯量为：

dJz＝?dMR2＋dMx2 从－?L到＋?L积分得

J??

L2L?21M2112RdM?xdx?MR?ML24L412

第三节 转动定理的应用

M=Jβ (4) 刚体转动定理 书中例题6.3 (P201)

已知：滑轮半径为R，质量为M，绳 子不可伸缩的轻绳，绳子与滑轮间无 滑动，轴处无摩擦，两个悬挂物的质 量分别为m1，m2。

求：两重物的加速度，滑轮的角加速度， 绳中的张力。

解：用隔离物体法分析力，并列出动力学方程。 园盘：

园盘的转动惯量：J＝1/2MR2 T’1的力矩：R T’1 T’2的力矩：R T’2

园盘的角加速度：β ; β的方向与RT’1方向相同：

T’2

T’1

m2

m1

R T’1－R T’2＝Jβ m1: m1g－T1＝m1a m2： T2－m2g＝m2a ∵ 绳子是轻绳，

∴ T1＝T’1 ； T2＝T’2

∵绳子与滑轮间无滑动，∴a＝βR ——牵连关系 解方程得：

m2g

m1g

T2

T1

m1?m21gRm?m?1M122

m1?m2a?g1m1?m2?M2

??12m1m2?Mm12T1?g1m1?m2?M2 12m1m2?Mm22T2?g1m1?m2?M2

中学见过这类问题很多，但滑轮都是轻滑轮，不考虑滑轮的质量，M＝0，将其代入上面的方程得：

a?

m1?m22m1m2gT1?T2?gm1?m2 ； m1?m2

书中例题6.4 (P202)

已知：两个皮带轮半径分别为R1，R2，质量分别为m1，m2，分别绕固定轴O1，O2转动，用皮带相连，轮1作用力矩M1，轮2有负载力矩M2，皮带与轮无滑动，轴处无摩擦。 求：轮1的角角速度。 解：隔离物体法分析力： 轮1：

受作用力矩M，(正方向) 皮带的力矩R1T1和R1T2； 轮的转动惯量J1＝1/2m1R12

⊕M1 T2 M1 R1

R2 T1

M2

∴

M?R1T1?R1T2?J1?1?1m1R12?12

轮2：

受作用力矩M’，

皮带的力矩T1’R2和T2’R2； 轮的转动惯量J2＝1/2m2R22

T2’ T1’

⊙M2 ∴

?M'?R2T1'?R2T2'?J2?2?12m2R2?22

M定为正方向后，力矩的方向与M一致则为“正”反之为“负”。 两个轮是牵连在一起运动的，所以存在着牵连关系。 皮带与轮没有相对滑动，则：?1R1??2R2且?1R1??2R2

不计皮带质量，∴T1＝T1’， T2＝T2’； 解方程得：

2(R2M?R1M')?1?(m1?m2)R12R2

书中例题6.5 (P203)

已知：飞轮齿轮1绕转轴1的转动惯量J1＝98.0kgm2，飞轮齿轮2绕转轴2的转动惯量J2=78.4kgm2，两齿轮咬合传动，齿数比Z1：Z2＝3：2，r1＝10cm，轴1从静止在10s匀加速到1500r/min, 求：加在轴1上的力矩M和齿轮间的相互作用力Q。

解：飞轮1受到的力矩：M 和 r1Q，角加速度：β1 动力学方程： M－Qr1＝J1β1

飞轮2受到的力矩： Q’r2，角加速度：β2 动力学方程： Q’r2＝J2β2

M r2 J2 r1 J1 牵连关系： β1 r1＝β2 r2 ；r1/r2＝Z1/ Z2

2???Z1?M??J1???J2??1???Z2??? 解方程得：

J2?Z1?Q????1J1?Z2? 将具体数值代入：

21?1500??2?1???2???5?(s)?10?60?

9??M??98.0?78.4???5??4.31?103(N?m)4?? ?78.4??9?3Q???????5??27.7?10(N)?0.1??4?

第四节 刚体定轴转动的动能与动能定理

（一）刚体的转动能

考察由n个质点组成的刚体，其中第k个质点的质量为mk，速度vk＝rkω，k质点的动能为mk vk 2/2＝mk rk2ω2/2，整个刚体的动能就是所有质点动能的算术和：

1121222E??m???mkrk?krk?22k2∴

E?1Jz?22

?Jz2

E?与质点动能对比：

12mv2

y Ft （二）力矩的功

作用在刚体上的力只有沿刚体 转动切线方向的分量Ft才作功， 其它方向的力没有位移，所以 不作功。在Ft的作用下，产生 的位移ds＝rdθ，其元功为：dA＝Ftrdθ

F Fn

dθ x 其中Ft与r垂直，Ftr就是F对转轴的力矩Mz，故元功可写为：

dA＝Mzdθ

刚体由θ1转到θ2的过程中，力矩对刚体所作的功为：

A??Mzd??1?2

如果作用在刚体上有n个力矩, Mz1，Mz2，。。。，Mzn，刚体转过dθ角时，各力对刚体所作的元功总和为：

A??dAi??Mzid?ii

刚体由θ1转到θ2的过程中，各力矩所作的功之和为：

A???2?1?Mizid????Mzid?i?2?1

上式说明，和力矩所作的功等于各力矩所作功之和。

（三）刚体转动的动能定理

由刚体转动定理： M=Jβ 写成导数的形式：

d?d?d?d?Mz?Jz?Jz?Jz?dtd?dtd?

移项得：

dA?Mzd??Jz?d?

等式两边同时积分得：

?2?2?2A??dA??Mzd????1?1?1112Jz?d??Jz?2?Jz?1222

——刚体转动的动能定理

此式说明：力矩所作的功＝刚体转动动能的增量。

（四）刚体的重力势能

由n个质点组成的刚体，某一质点的重力势能为： Epi＝mighi＝migyi

对所有的质点求和即为刚体的势能：

y

hi

Ep??migyimy??mg?mgyiimc质心的定义：

ycmy??ix

im ，其中m表示总质量。

书中例题6.7(p.209)

一长为l，质量为m的匀质细杆AB，挂于A处，轴处无摩擦，初始时杆铅直静止。

求：使的杆由铅值位置刚好转至水平位置所需要的最小初角速度。

解：轴处无摩擦，系统的机械能守恒。

动能

势能

A

初： 1/2 Jzω02 0 终： 0 mgl/2 动能转换成势能：

1/2 Jzω02＝mgl/2 ; 其中 Jz＝1/3ml2

B ?0?3gl 书中例题6.8(p.209)

园盘滑轮质量M，半径R，绕轻绳，绳的另一端系一质量m的物体，轴无摩擦，开始时系统静止。

求：物体下降s时，滑轮的角速度和角加速度。 解：轴无摩擦，系统机械能守恒

m动能 m势能 M动能

初： 0 mgs

0

终： 1/2 mv2 0 1/2 Jzω2

牵连关系：v＝ωR，Jz＝1/2 MR2

mgs＝1/2 mv2＋1/2 Jzω2＝1/2 mR2ω2＋1/4MR2ω2

2mgs??R2m?M ∴

求角加速度：

d?d?2????dtdt??Rmgs2m?M?2???R?mgds2m?Mdt ?2mg11ds1mg1??RR2m?M2sdtR2m?Ms

mg2mgs12mg?2m?MR2m?MsR(2m?M)

其中ds/dt＝v＝ωR，并将ω值代入得：

??

第五节 轴转动的动量矩定理

【复习】在第五章中

一个质点的动量为mv，它对O点的动量矩定义为：

L?r?mv

考察由n个质点组成的刚体，其中第k个质点的质量为mk，速度vk＝rkω，k质点的动量矩mk vk rk＝mk rk2ω，（在做定轴转动时，vk与rk互相垂直），则刚体的动量矩为所有质点动量矩之和：

Lz??mkvkrk??mkrk2??Jz?kk

对比： Lz＝Jzω 质点的动量： P＝mv 由动量矩定理

d(r?mv)dLM??dtdt

将Lz＝Jzω代入得：（定轴转动为一维问题）

Mz?dLd?(Jz?)dtdt

L1两边同时对dt积分得：

?t1t0Mzdt??d(Jz?)?(Jz?)t1?(Jz?)t0L0

此为动量矩定理 对比动量定理：

?t1t0Fdt??dP?P1?P0??PP0P1?t1t0Mzdt称为冲量矩

动量矩定理说明：

冲量矩作用的结果是使刚体的动量矩发生变化。 书中例题6.13(p.217)

长l，质量M，铅直悬挂，初始处于静止状态， 杆的中心受一冲量I作用，方向与杆垂直。 求：冲量作用结束时，杆的角速度。

l解：冲量对转轴的冲量矩为 2I根据动量矩定理： J ? ? l I 其中

z2Jz?12Ml3∴ ??3I2Ml

第六节 定轴转动的动量矩守恒定理

dL当Mz＝0时， z?0dtLz＝恒矢量

刚体定轴转动的动量矩守恒定律 书中例题6.16(P.221)

长为L，质量为M的均匀杆，一端悬挂，由水平位置无初速度地下落，在铅直位置与质量为m的物体A做完全非弹性碰撞，碰后，物体A沿摩擦系数为μ的水平面滑动。 求：物体A滑动的距离。 解：整个过程分为三个阶段：

1、杆由水平位置绕端点的轴转动：机械能守恒 2、与A作完全非弹性碰撞：动量矩守恒 3、A滑动：动能被摩擦力耗散掉。 第一阶段：机械能守恒

动能

势能

初： 0 Mg L/2 终： 1/2Jzω2 0

∴ 1/2Jzω2＝Mg L/2 其中Jz＝1/3ML2

∴ ω2＝3g/L

第二阶段：动量矩守恒

初： Jzω ； 终： Jzω’ ＋ mL2ω’ ∴ Jzω＝Jzω’ ＋ mL2ω’ 代入Jz和ω值得：

123g12ML?ML?'?mL2?'3L3

3gML?'?M?3m

第三阶段，动能定理

A的速度：ω’L ；摩擦力mgμ

1m(l?')2?mg?s2

3LM2s?2?(M?3m)2

书中习题6.13（p227）

以力F将一块粗糙平面均匀压在轮上，平面与轮之间的滑动摩擦系数为μ，轮为匀质圆盘，半径为R，质量为M，轴处摩擦力不计，轮的初角速度为ω0，问：轮转过多少度时即停止转动。

F解：盘面单位面积上的压力为： ?R2

以轮的轴心为圆心，半径为r，宽度dr的环所受的压力为： dF?F?2?r?dr?R2环所受的摩擦力为： df??dF??F?2?r?dr?R2对转轴的力矩为：

F2 dM?rdf??R22rdr整个圆盘所受摩擦力矩为：

F22rdr??FR?0R23由转动能定理： M?R2?2 M??1J?02 3mR?02??8?F

书中习题6.22（p228）

一均质细杆，长L=1m，可绕通过一端的水平光滑的轴O在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于铅直位置。一子弹沿水平方向以v=10m/s的速度射入杆，射入点距离O点的距离为3L/4，子弹的质量为杆质量的1/9。

试求：(1)子弹与杆共同运动的角速度。

(2)杆的最大摆角θ。

??31l?mv?LMv49解：射入前，子弹的动量矩 射入过程动量矩守恒

2??311?3?12LMv??M?L??ML??493???9?4??4v???2.1(rad/s)19L入射后，子弹与杆共同摆动，机械能守恒

2??2?111?3?132?M?L??ML????MgL?Mg 2?9?4?34?9??? 2v2cos??1??0.8466133LgL?(1?cos?)?2?

??32.160刚体定点转动——进动

dLM?dt

L＝Jω dL＝Jωdθ

dL d

d?M?J??J??dt

Ω称为进动角速度。

作业：P. 226 6.5 ; 6.6 ; 6.17 ; 6.21

第八章 机械振动

第一节简谐振动

1.简谐振动的动力学方程

如果一个质点受到这样一个力：

F＝－kx （1）

即：力的大小与位移成正比，方向与位移方向相反。 将其代入牛顿第二定律，得：

d2xm2??kxdt （2）

进行小的变换得：

d2xk?x?02dtm (3)

再写得好看一点：令k/m＝ω2

d2x2??x?02dt

（4）

这是一个典型的微分方程，该方程的解为：

x＝Acos（ωt＋φ）

（5）

验证该方程的解，对（5）进行求导运算：

dx???Asin(?t??)dt

d2x2???Acos(?t??)2dt

代入（4）式

－ω2Acos（ωt＋φ）＋ω2Acos（ωt＋φ）＝0 （5）式中各项的名称：

A：振幅，振动幅度的大小，由初条件决定。 ω：角频率（园频率），振动系统固有的 φ：初相位，由初条件决定。

以时间的正弦或余弦函数表示的运动称为：简谐振动。 哪些情况下可以简谐振动？ (1)弹簧振子

轻弹簧的一端固定，另一端系一质量为m的物体，放在光滑的水平面上，弹簧由原长位置移开x距离所受到的力为：

F＝－kx ω2＝k/m

d2x2??x?02dt

(2)单摆

不可伸长的轻绳L悬挂一质量为m的小球，在铅垂面内沿圆弧

摆动，受力为： F＝－mg sinθ

在一般情况下，单摆不是作简谐振动。 当θ角很小时（<5o），sinθ≈θ， 这时：

F＝－mg θ

代入牛顿第二定律：

d2(L?)m??mg?2dt d2?g???02L整理得： dt

令ω2＝g/L，得标准方程

d2?2????02dt

说明在摆角很小时，单摆是作简谐振动。

1米长的线，摆角为50是，振幅为8.7厘米(sin50＝0.087) (3)复摆

质量为m的刚体，转动惯量为J，悬挂于不通过质心C的水平转轴，转轴到质心的距离为h，在重力作用下绕平衡位置来回摆动。 刚体所受力矩：

M＝－mgh sinθ

在一般情况下，单摆不是作简谐振动。 当θ角很小时（<5o），sinθ≈θ， 这时：

C

M＝－mgh θ

d2?J2??mgh?dt

d2?mgh???02J整理得： dt

令ω2＝mgh/J，得标准方程

d2?2????02dt

说明在摆角很小时，复摆是作简谐振动。

2.周期、频率和角频率（园频率）

周期：完成一次完全振动所需要的时间T

Acos（ωt＋φ）＝Acos[ω(t+T)＋φ] ωT＝2π T＝2π/ω

频率：每秒钟内完全振动的次数。

1????T2? ω＝2πν

∴ω与ν都是频率，两者之间相差2π倍，ω通常称为角频率，或园频率

??k1??m， 2?kmT?2?m， k 对于弹簧振子：

对于单摆： 对于复摆：

??g1??l， 2?mgh1??J，2?lgT?2?g l，

JmghT?2?mgh J，??∴周期和频率是由振动系统决定的。

对于一个确定的系统，其频率虽然确定，但其运动状态还要由初条件决定。

3.振幅、相位和初相位

振幅：由简谐振动的运动学方程可以看到，位移x的最大绝对值为A，称为振幅。振幅的大小由初条件决定： 当t＝0时，位移x＝x0，速度v＝v0 x0＝Acos（ωt＋φ）|t=0＝Acosφ

（1）

v0＝－ωA sin（ωt＋φ）|t=0＝－Aωsinφ （2） 由两式平方和即可求出振幅

A?x?202v0?2 相位：由简谐振动的运动学方程可以看到，（ωt＋φ）是一个角度，称为简谐振动的相位，它决定振动物体在任一时刻的位置和运动状态。

当t＝0时，振动的相位为φ，称为初相位。 由（1）（2）式可解出φ

tg???v0?x0

书中例题7.1(P.237)

已知：A＝8cm，T＝4s，t＝0时，x＝4cm，向x轴正方向运动。 求：初相位

解：振动方程为：x＝Acos（ωt＋φ） 由已知条件：A＝0.08 m，ω＝2π/T＝π/2， t＝0时，x＝0.04 m，代入得： 0.04＝0.08cosφ

所以 φ＝π/3 或 φ＝5π/3 由于是向x轴正方向运动，φ＝5π/3 振动方程为：

5????x?0.08cos?t??3??24.简谐振动的速度和加速度

知道了简谐振动的运动方程，通过求导便可得到速度与加速度。 x＝Acos（ωt＋φ）

v＝－ωAsin（ωt＋φ）＝ωAcos（ωt＋φ＋π/2） a＝－ω2Acos（ωt＋φ）＝ω2Acos（ωt＋φ＋π） 由此看出：

速度与位移的相位相差π/2

加速度与速度的相位相差π/2 加速度与位移的相位相差π

5.简谐振动的能量

以弹簧振子为例

12122E?kx?kAcos(?t??)势能： p22动能： Ek?1mv2?1m?2A2sin2(?t??)22ω＝k/m ? = 1kA2sin2(?t??)2总能量： E?Ep?Ek1/2 kx2

12?kA[cos2(?t??)?sin2(?t??)]22 121/2 mv?kA2

简谐振子的总能量与振幅的平方成正比。

在简谐振动过程中，动能与势能之间互相转换，但总能量保持恒定。

这个结论虽然是从弹簧振子得到的，对于单摆和复摆也依然适用。

6.简谐振动的矢量表示法

从简谐振动的表达式x＝Acos（ωt＋φ）与一个矢量A在x轴上的投影值相同。所以可用一个旋转的矢量在x轴上的投影表示简谐振动。

规定：一长度等于振幅的矢量A，称为振幅矢量，以匀角速度ω0绕O点旋转，在t＝0时，振幅矢量A与x轴的夹角为初相位φ，t时刻矢量A与x轴的夹角为（ωt＋φ），该矢量在x轴上的投影为：

x＝Acos（ωt＋φ） 与简谐振动的表达式一样。

同时，矢量A对时间t的一次导数与二次导数也和简谐振动的速度与加速度的表达式一样。 v＝ωAcos（ωt＋φ＋π/2） a＝ω2Acos（ωt＋φ＋π） 书中例题7.7(P.245)

已知：角频率ω和振幅A，用旋转矢量法求以下情况的初相位和运动学方程：

t＝0时，由平衡位置向x负方向运动。

t＝0时，在x负方向一侧，离开平衡位置为振幅的一半，且向x轴负方向运动。 解：（1）

x

A A

v a A ωt＋φ

x＝Acos（ωt＋1/2π）＝0.001 cos（6.28×102t＋1/2π） （2）

A A/2 x A x＝Acos（ωt＋2/3π）＝0.001 cos（6.28×102t＋2/3π）

第二节 简谐振动的合成

同频率

不同频率 （2） （4）

同方向： （1） （3）

互相垂直：

（1）同方向同频率简谐振动的合成

a）解析法 两个振动分别为：

x1＝A1cos（ωt＋φ1）； x2＝A2cos（ωt＋φ2）

合振动为：

x＝x1＋x2＝A1cos（ωt＋φ1）＋A2cos（ωt＋φ2） 将余弦函数展开再重新组合得：

x＝(A1cosα1＋A2cosα2)cosωt－(A1sinα1＋A2sinα2)sinωt

常数

常数

引入另外两个常数替代它们 Acosφ＝A1cosφ1＋A2cosφ2 Asinφ＝A1sinφ1＋A2sinφ2

∴x＝Acosφcosωt－Asinφsinωt＝Acos（ωt＋φ） 此式说明，合振动仍为简谐振动，且频率相同。 合振动的振幅合初相位分别为：

2A?A12?A2?2A1A2cos(?2??1)

A1sin?1?A2sin?2tg??A1cos?1?A2cos?2

b）旋转矢量合成法

用旋转矢量A1、A2分别表示两个振动：

A2 ω0 A φ2 φ A1 φ1 X

（2）同方向不同频率简谐振动的合成——拍

一般来说同方向不同频率简谐振动的合成情况比较复杂，没有什么规律，合振动也不再是简谐振动。

有一种情况比较特殊，两个振动的频率都很高，但相差很小，即：ω1＋ω2>>|ω1－ω2| ，这时会出现拍的现象。

简单起见，考虑两个振幅相同，初相位均为0的两个振动的合成：

x1＝Acos ω1t 和 x2＝Acos ω2t x＝x1＋x2＝Acos ω1t＋Acos ω2t 利用三角函数和差化积公式得：

??2??1???2??1?x?2Acos?t?cos?t??2??2?

慢变

快变

令： A(t)?2Acos??2??1t????2?

??2??1?t?则 x ?A(t)cos??2??2??12??平可看成ω1、ω2的平均值，则

x?A(t)cos??平t???????2?

这种形式与简谐振动的形式相同，不同之处是其振幅受到周期函

cos数 ? 2 1 t ? 的调制。这种合振动的振幅周期变化的现象叫拍。

双簧管就是利用这个原理产生的颤音。

（3）互相垂直的同频率简谐振动的合成

作图法：根据简谐振动的旋转矢量表示法

（4）互相垂直的不同频率简谐振动的合成

作图法：根据简谐振动的旋转矢量表示法

第三节 阻尼振动

实际物体的振动都是阻尼振动，这里只讨论一种特殊的阻力： f＝－γv

阻力的大小与速度v成正比，γ为阻力系数；阻力的方向与速度v的方向相反。

考虑阻力后，振动系统的运动方程为：

d2xdxm2??kx??dtdt

移项整理得：

d2x?dxk??x?02dtmdtm

令：γ/m＝2n；k/m＝ω02 得：

d2xdx2?2n??0x?02dtdt

次式为典型的常系数二阶齐次线性微分方程。 n为阻尼系数，与系统的阻力系数有关；

ω0为固有角频率，是系统不受阻力作用时的角频率。 方程的解与阻力系数有关：

（1）阻力很小，n < ω0 ，小阻尼情况，

方程的解为：

x?Ae?ntcos(?'t??)

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