北京市西城区（北区）2012-2013学年高二上学期期末考试数学（理

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北京西城区(北区) 2012-2013学年度第一学期期末试题

高二数学（理科）

试卷满分：150分考试时间：120分钟

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

3?1．在直角坐标系xOy中，在y轴上截距为?1且倾斜角为的直线方程为( )

4A．x?y?1?0

B．x?y?1?0

C．x?y?1?0

D．x?y?1?0

2．已知向量a?(?1,2,1),b?(3,x,y)，且aA．3

B．?3

b，那么实数x?y等于( )

C．9

D．?9

3．已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为2，则球的表面积是( ) A．24?

B．???

C．8?

D．6?

x2y21?1(m?0)的离心率为，则实数m等于( ) 4．若椭圆?4m216A．3 B．1或3 C．3或

35．已知直线a和两个平面?,?，给出下列两个命题： 命题p：若a命题q：若aD．1或

16 3?，a??，则???； ?，a?，则??；

那么下列判断正确的是( ) A．p为假

B．?q为假

C．p?q为真

D．p?q为真

6．设x,y?R，则“x?y?4?0”是“x?0且y?0”的( ) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件 D．充分必要条件

C．即不充分也不必要条件

2y2?1的左、右焦点，P为C为一点，若△PF1F2的面积为7．设点F1,F2为双曲线C：x?3uuuruuur6，则PF1?PF2的值是( )

A．?3

B．3

C．?9

D．9

8．已知矩形ABCD，AB?1，BC?x，将△ABD沿矩形对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则( )

A．?x?(0,2)，都存在某个位置，使得AB?CD B．?x?(0,2)，都不存在某个位置，使得AB?CD C．?x?1，都存在某个位置，使得AB?CD D．?x?1，都不存在某个位置，使得AB?CD

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二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．命题“?x?R,x2?0”的否定是_____________________.

10．设a,b?R，若直线ax?y?b?0与直线x?3y?1?0垂直，则实数a?_______． 11．抛物线x2?4y的焦点坐标是__________.

12．下图是一个几何体的三视图，那么这个几何体的表面积是__________.

4 2 正视图 2 俯视图 A

左视图

A

1 D 1 C B

1

1

D B

C

第12题图 第13题图

13．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，设AD?AA1?1,AB?2，

uuuruuuruuuruuur则|CC1?BD1||__________，CC1?CA1|_________.

14．在直角坐标系xOy中，设P为两动圆(x?2)2?y2?(r?2)2,(x?2)2?y2?r2(r?1) 的一个交点，记动点P的轨迹为C．给出下列三个结论： ①曲线C过坐标原点； ②曲线C关于x轴对称；

③设点P(x,y)，则有|y|?|2x|．

其中，所有正确的结论序号是__________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出相应的文字说明，证明过程或者演算步骤．

15．（本小题13分）

如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，设AA1?2．M，N分别是C1D1，CC1的中点． （1）求异面直线A1N与MC所成角的其余弦值； （2）设P为线段AD上任意一点，求证：MC?PN．

D A 1 1 M B 1

C

1

N

D P A B

C

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16．（本小题13分）

已知圆C经过点A（1，3），B（5，1），且圆心C在直线x?y?1?0上． （1）求圆C的方程；

（2）设直线l经过点（0，3），且l与圆C相切，求直线l的方程．

17．（本小题13分）

如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC，AC?BC?CC1，M为AB的中点． （1）求证：BC1平面MA1C；

B B

1

（2）求直线BC1与平面AA1B1B所成角的大小．

M

C

A

18．（本小题13分）

x2已知椭圆C1：?y2?1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．

4

C1

A1

（1）求椭圆C2的方程；

（2）设O为坐标原点，过O的直线l与C1相交于A，B两点，且l与C2相交于C，D

两点．若|CD|?2|AB|，求直线l的方程．

19．（本小题14分）

如图，在三棱锥P?ABC中，底面△ABC为等边三角形，?APC?90?，AC?2PA?4，且平面PAC?平面ABC．

（1）求三棱锥P?ABC的体积； （2）求二面角B?AP?C的余弦值；

（3）判断在线段AC上是否存在点Q，使得△PQB为直角三角形？若存在，找出所有符

AQ合要求的点Q，并求的值；若不存在，说明理由．

QC

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P A C

B

20．（本小题14分）

已知动圆P（圆心为点P）过定点A（1，0），且与直线x??1相切，记动点P的轨迹为C．

（1）求轨迹C的方程；

（2）设过点P的直线l与曲线C相切，且与直线x??1相交于点Q．试研究：在坐标平

面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐

标；若不存在，说明理由．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/51yp.html