变化率问题教案

人教A版选修2-2第一章《导数及其应用》第1节 变化率与导数

1.1.1 变化率问题

冯敏（监利一中） 教学目标 知识目标

1.了解微积分在数学发展中的作用，感受数学家的智慧和精神。

2.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。

3.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。 4.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。 能力目标：1.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；

2.通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。 情感目标： 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,体会数学的博大精深以及学习数学的意义。 教学重点

1.平均变化率的概念的归纳得出；

2.理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；

3.感受数学模型在刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力。

教学难点：平均变化率的理解与转化 教学方法

引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解平均变化率的实际意义和几何意义。 教学基本流程 历史背景 知识流程 现象解析 有效建构 类比归纳

实例探究 习题释疑 归纳小结 教学过程设计：

一．创设情境

为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究不断深入，17世纪中叶牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：（1）已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意

时刻的速度与加速度等;反之亦可；（2）求曲线的切线;（3）求已知函数的最大值与最小值;（4）求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一。 【设计意图】运用数学史知识,有助于帮助学生弄清数学知识的来龙去脉，使知识网络更加清晰，形成科学系统；运用数学史知识，会让学生大脑处于兴奋状态，提高学习兴趣，对所学内容有更深刻的理解乃至欣赏，并领悟到问题的本质. 二．新课讲授

（1） .问题提出：

T (℃)C (34, 33.4)问题1 气温平均变化率

30【设计意图】引导学生最终用温度的平均变化率刻画 20B (32, 18.6)温度变化的快慢，让学生意识到可以用变化率体现事 物变化的快慢情况。 10A (1, 3.5)2【学生探索】从图中观察出各时间段内的温度变化 02103034情况,怎样用数学知识表示这种现象？ （注：3月18日为第一天）20t(d)问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2

+6.5t+10.

思考，我们可以用什么物理量来描述运动员在某段时间内的运动快慢情况?（平均速度）， 动手计算：0?t?0.5和1?t?2的平均速度v， 在0?t?0.5这段时间里，v?h(0.5)?h(0)0.5?0?4.05(m/s)；

在1?t?2这段时间里，v?h(2)?h(1)2?1??8.2(m/s)

思考：当时间从t1增加到t2时,高台跳水运动员的平 均速度是多少?

v?h(t2)?h(t1)

t2?t1【归纳总结】平均速度是用来刻画位移变化快慢的量。 探究：计算运动员在0?t?6549这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内是静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ h(65【学生探究】经过计算知h(65)?h(049)?h(0)49)，所以v?65?0(s/m)， 49?0

【分析作答】如图是函数h(t)= -4.9t2

+6.5t+10的图像，结合图形可知虽然运动员在

0?t?6549这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，

平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，并不能反映每一时刻的运动状态。 问题3 气球膨胀率

【学生探索1】吹气球的过程中，气球发生了什么变化？

现象总结：在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.

【学生探索2】从数学的角度, 如何描述这种现象呢?

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)?43?r3 如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)?33V4? 空气容量v(L) 0 1 2 3 气球半径（dm） 0 0.62 0.78 0.89 半径的改变量（dm） 0.62 0.16 0.11 如果体积增量不是1L,而是2L或是3L,显然用半径的变化量不足以刻画半径增加的快慢， 因此还要计算半径的变化率。

此题中的气球半径的变化率就叫做气球的平均膨胀率。

V从0增加到1L气球平均膨胀率为 V从1L增加到2L气球平均膨胀率为 V从2L增加到3L气球平均膨胀率为

【设计意图】对一种生活现象的数学解析，层层深入，激发学生深入探究的兴趣，而且让学生感到数学是可以服务于生活实际的.

Vr(V2)?r(V思考：当空气容量从?1)1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少V2?V1

【归纳总结】平均膨胀率用来刻画气球半径变化快慢的量。

让学生回顾上述的三个问题，找出它们的共同特征，把问题一般化，归纳得到函数的平均变化率的概念。

（2）平均变化率概念:

【获取新知】平均变化率定义

平均变化率：式子f(x2)?f(x1)x ，称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率。

2?x1习惯上用?x表示x2?x1，即?x?x2?x1, ?f?f(x2)?f(x1) 则平均变化率为

f(x2)?f(x1)x??y（说明?x是一个整体符号，而不是2?x1?x?与x相乘） 【定义理解】

1、平均变化率是用来刻画变量变化快慢的量。

2、式子中?x，?y的值可正、可负，?x的值不能为0，?y的值可以为0.

3、变式:

??x?x2?x1,?x2?x1??xf(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)x? 2?x1?x求函数的平均变化率的步骤:

(1)求函数的变化量

?y?(2)计算函数平均变化率： ?f( yx2)?ff(x(x1)2)?f(x1)思考：

? x?x2?x1W(k

11 8.6 6. 3.5 （3）例题讲解 0 3 6 9 1T(月)

例1.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试比较从出生到 第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率那个较大. 【设计意图】引导学生从数与形两个角度来 分析变量的变化快慢。

例2.已知函数f(x)=2x+1, 分别计算在下列区间上f(x)的平均变化率. (1) [-3，-1]， (2) [0，5],

【设计意图】 理解定义并会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

(4)小结归纳，拓展深化

１.通过本节课的学习，你学到了那些知识？ ２.你又掌握了哪些学习方法？ ３.课后作业：①习题1.1Ａ组 第1题．

②质点运动规律为s?t2?3，则在时间(3,3??t)中相应的平均速度为 ． ③过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.

【设计意图】让学生在小结中明确本节课的学习内容，强化本节课的学习重点，并为后续学习打下基础．通过回顾知识，达到拓展深化．

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