广东省2016年全国卷适应性考试文科数学试题及答案

广东省2016年全国卷适应性考试

文科数学

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A?{xx?5x?6?0}，集合A?{1,2}，B?{x2?1}，则A?B?（ ） A．?2,3? B．(0,??) C．(0,2)?(3,??) D．(0,2]?[3,??) 2．设复数z1?3?2i，z2?1?i，则z1?2x4?（ ） z2A．2 B．3 C．4 D．5

3．甲，乙，丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为（ ） A．1215 B． C． D． 33264．设p,q是两个题，若?p?q是真命题，那么（ ）

A．p是真命题且q是假命题 B．p是真命题且q是真命题 C．p是假命题且q是真命题

D．p是真命题且q是假命题

开始5．已知等比数列{an}满足：a2?a3?10，

5，则{an}的通项公式an?（ ） 411 A．n?4 B．n?3

2211 C．n?3?4 D．n?2?6

226． 执行右边的程序框图，如果输入的N?10， a4?a5?则输出的x?（ ）

A．0.5 B．0.8 C．0.9 D．1

7．三角函数f(x)?sin(A．3,输入Nn=1,x=0n=n+1n

C．2,?2

B．3,?

?2

D．2,?

8．已知过球面上有三点A,B,C的截面到球心的距离是球半径的一半，且AB?BC?CA?2，则此球的半径是（ ） A．

1

34 B．1 C． D．2 43????????9．在等腰三角形ABC中，?A?150，AB?AC?1，则AB?BC? （ ）

?A．?3333?1 B．??1 C．?1 D．?1 2222x2y2510．已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，则b?ab3（ ）

A．8 B．6 C．5 D．4

11．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ） A．

2016 B． 33C．8??? D．8? 63正视图侧视图12．已知?是第二象限的角，其终边上的一点为P(x,5)， 且cos??2x，则tan??（ ） 4俯视图A．15151515 B． C．? D．? 5353二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

?2x?y?2?13．已知实数x,y满足约束条件?x?y??1，若目标函数z?2x?ay仅在点(3,4)处取得最小值，则a的

?x?y?1?取值范围是_________．

x216y214．已知双曲线?2?1的左焦点在抛物线y2?2px的准线上，则p?_________．

3p15．已知f(x)是定义域为R的单调减的奇函数，若f(3x?1)?f(1)?0，则x的取值范围是_________．

16．顶点在单位圆上的?ABC，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c．若sinA?322，b?c?4，则2S?ABC?_________．

2

三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）

2数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意的n?N，均有2an，2Sn，an成等差数列．

*（1）求a1的值；

（2）求数列{an}的通项公式．

18．（本小题满分12分）

某学校的篮球兴趣小组为调查该校男女学生对篮球的喜好情况，用简单随机抽样方法调查了该校100名学生，调查结果如下：

性别是否喜欢篮球是否男生3525女生1228

（1）该校共有500名学生，估计有多少学生喜好篮球？

（2）能否有99%的把握认为该校的学生是否喜欢篮球与性别有关？说明原因； 50名女生中按是否看营养说明采取分

2（3）已知在喜欢篮球的12名女生中，6名女生（分别记为P1,P2,P3,P4,P5,P6)同时喜欢乒乓球，名女

生(分别记为B1,B2）同时喜欢羽毛球，4名女生(分别记为V1,V2,V3,V4)同时喜欢排球， 现从喜欢乒乓球、羽毛球、排球的女生中各取1人，求P1,B2不全被选中的概率．

n(ad?bc)2附：K?，n?a?b?c?d．

(a?b)(a?c)(b?d)(c?d)2参考数据：

P(K2?k0) 0.10 0.050 0.010 0.005 k0

19．（本小题满分12分）

如图所示，在直三棱柱ABC?DEF中，底面ABC的棱AB?BC，且AB?BC?2．点G、H在棱

2.706 3.841 6.635 7.879 CF上，且GH?HG?GF?1

（1）证明：EH?平面ABG； （2）求点C到平面ABG的距离．

3

FGHCADEB20．（本小题满分12分）

12????????????????． QP?QF?FP?FQ已知点F(,0)及直线l:x??1．P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且2（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）设圆M过点A(1,0)且圆心M在P的轨迹C上，E1,E2是圆M在y轴上截得的弦，证明弦长

E1E2是一个常数．

21．（本小题满分12分）

设函数f(x)?loga(x?1)(a?0,a?1)．

（1）当a?1时，证明：?x1,x2?(?1,??),x1?x2，有f(x1?x2f(x1)?f(x2))?； 22 （2）若曲线y?f(x)有经过点(0,1)的切线，求a的取值范围．

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清楚题号． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，BC是半圆O的直径，AD?BC，垂足为D，?AB??AF，BF与AD、AO分别交于点E、

G．

（1）证明：?DAO??FBC；

（2）证明：AE?BE． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

AGEBDOFC在直角坐标系xOy中，过点P(1,?2)的直线l的倾斜角为45．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为?sin（1）求直线l的参数方程； （2）求PA?PB．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)?x?a?5x．

（1）当a??1时，求不等式f(x)?5x?3的解集； （2）若x??1时有f(x)?0，求a的取值范围．

4

2???2cos?,直线l和切线C的交点为A,B．

2016年适应性测试文科数学答案及评分参考

评分说明:

1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.

2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4. 只给整数分数. 选择题不给中间分. 一．选择题： （1）A （2）D （7）B 二．填空题 （13） （-?，-2）三．解答题 （17）解：

22（Ⅰ）由假设，当n?1时，有4S1?2a1?a1，即4a1?2a1?a1.

（3）B （9）A

（4）C （10）D

（5）A （11）A

（6）C （12）D

（8）C

（14）4

纟2ú -?,（15）???è3ú?（16）3 4故a1(a1?2)?0.由于a1?0，故a1?2.

2（Ⅱ）由题设，对于n≥1，有4Sn?2an?an ① 2 因此4Sn?1?2an?1?an?1,n≥2 ②

22由①-②得,4an?2an?2an?1?an?an?1.

………4分

即2(an?an?1)?(an?an?1)(an?an?1).

由于an和an?1均为正数，故an?an?1?2,n≥2. 从而?an?是公差为2，首项为2的等差数列. 因此，an?2n,n≥1.

………12分

（18）解：

（Ⅰ）在被调查的100名学生中，有（35+12）名学生喜欢篮球，因此全校500名学生中喜欢篮球的人数为：500?35?12?235（人）. 100 5

………4分

100?(35?28?12?25)2（Ⅱ）K??7.7345?6.635，所以有99%的把握认为该学校的学生是否喜欢

47?53?60?402篮球与性别有关.

（Ⅲ）从喜欢乒乓球、羽毛球、排球的女生中各选一名，一切可能的结果组成的基本事件有

N?6?2?4?48个，用M表示“P1,B2不全被选中”这一事件，则对立事件M表示“P1,B2全被选中”这

一事件，由于M包含(P1,B2,V1)，(P1,B2,V2)，(P1,B2,V4)4个基本事件，所以1,B2,V3)，(PP(M)?41?. 4812111?. 1212………12分

由对立事件的概率公式得P(M)?1?（19）解：

（Ⅰ）因为ABC?DEF是直三棱柱，所以FC?平面ABC，而 AB?平面ABC，

所以，FC?AB.

又?AB?BC，BC?FC?C.

?AB?平面BCFE，又?EH?平面BCFE， ?AB?EH.

由题设知?EFH与△BCG均为直角三角形，

?EF?2?FH，BC?2?CG，

? ?EHF?45?，?BGC?45?.

?设BG?EH?P，则?GPH?90，即EH?BG.

又AB?BG?B，?EH?平面ABG .

（Ⅱ）?AB?BC?2，AB?BC， ?S?ABC?………6分

?CG?平面ABC，?VG?ABC1AB?BC?2. 214?S?ABC?CG?. 33由（1）知AB?BG，CG?2?BC，BG?BC2?CG2?22?22?22，

1AB?BG?22. 2设点C到平面ABG的距离为h ，则

124?VC?ABG?S?ABG?h??2h?VG?ABC?，

333?S?ABG??h?2.

即点C到平面ABG的距离为2. （20）解：

（Ⅰ）从题意知，设点P的坐标为?x,y?，则Q的坐标为??

6

………12分

?1?,y?， ?2???????1???? 因此 QP??x?,0?,QF??1,?y?,

2????????1????FP??x?,y?,FQ???1,y?.

2??????????????????1?1???因QP?QF?FP?FQ，得 ?x?,0???1,?y???x?,y????1,y?，

2?2???即x?????????????????设N(x0,y0)是y?2x的任一点，过N作直线l的垂线，垂足为Q，则有FN?FQ?QN?QF,即

211??x?y2，故动点P(x,y)的坐标满足方程y2?2x 22y2?2x上的任一点都具有所需的性质.

综上，动点P的轨迹方程为y2?2x.

（Ⅱ）设M?a,b?为圆M的圆心，则b?2a.

2………6分

?圆M过点A?1,0?，?圆M上的点(x,y)满足

b ?x?a???y??22??a1??22?b.

令x?0,得y2?2by?2a?1?0,于是可得圆M与y轴的交点为E1?0,y1?和E2?0,y2?，其中

y1,2?b?b2?2a?1?b?1，

故E1E2?y1?y2?2是一个常数. ……… 12分 （21）解：

（Ⅰ）由f(x)?loga(x?1)得：

f(x1)?f(x2)loga(x1?1)?loga(x2?1)?

221?loga[(x1?1)(x2?1)]?loga(x1?1)(x2?1) 2?x1?1?0,x2?1?0，且x1?1?x2?1，

?(x1?1)(x2?1)?x1?1?x2?1x1?x2??1

22当a?1时，logax单调递增，

?当a?1时,

f(x1)?f(x2)x?xx?x?loga(x1?1)(x2?1)?loga(12?1)?f(12).

………4分 222（Ⅱ）f(x)的定义域为(?1,??)，若曲线y?f(x)在点(x,f(x))处的切线经过点(0,1)，则应有

7

loga(x?1)?1f(x)?11?f?(x)，即. ?xx(x?1)lna?(x?1)lna?[loga(x?1)?1]?x?0（x??1）, （*）有解.

设F(x)??(x?1)lna?[loga(x?1)?1]?x（x??1）， 则F?(x)?[loga(x?1)?1]lna??(x?1)lna?令F?(x)?0，解得x?a?1.

1?1?[loga(x?1)?1]lna,

(x?1)lna?当x?a?1时，F?(x)?0，当x?a?1时，F?(x)?0， ?F(a?1)?1?a是F(x)的最小值.

因此，当1?a?0，即0?a?1时，方程（*）无解，所以曲线y?f(x)没有经过点(0,1)的切线. 当1?a?0时，由于ae?1?a?1时，

F(ae?1)??aelna?(logaae?1)?ae?1?1?0,所以方程（*）有解，故曲线y?f(x)有经过点

(0,1)的切线.

（22）解：

（Ⅰ）连接FC，OF，??AB??AF, OB?OF，

………12分

?点G是BF的中点，OG?BF.

因为BC是?O的直径，所以CF?BF.

?OG//CF. ??AOB??FCB，

??DAO?90???AOB,?FBC?90???FCB， ??DAO??FBC.

又OA?OB，所以，△OAD?△OBG，于是OD?OG.

………5分

（Ⅱ）在Rt△OAD与Rt△OBG中，由（Ⅰ）知?DAO??GBO，

?AG?OA?OG?OB?OD?BD.

在Rt△AGE与Rt△BDE中，由于?DAO??FBC，AG?BD， 所以，△AGE?△BDE，因此，AE?BE. （23）解：

（Ⅰ）由条件知，直线l的倾斜角??45?，cos??sin??………10分

2. 2设点M(x,y)是直线l上的任意一点，点P到点M的有向距离为t，则

8

?2x?1?t??2. ??y??2?2t??2（Ⅱ）曲线C的直角坐标方程为y2?2x,由此得(?2?2………5分

222t)?2(1?t), 22即 t?62t?4?0.

设t1,t2为此方程的两个根，因为l和C的交点为A,B，所以t1,t2分别是点A,B所对应的参数，由韦达定理得 PA?PB=t1t2?4. （24）解：

（Ⅰ）f(x)?|x?1|?5x≤5x?3可得|x?1|≤3，解得?4≤x≤2.

………4分

………10分

（Ⅱ）f(x)??足x≤?1.于是

?6x?a,x≥a在R上是单调递增的. 若f(x)适合题设条件，则f(x)的零点x必须满

?4x?a,x?a?a≤x≤?1（1）由?，得a≤?6；

?6x?a?0?x?a?（2）由?x≤?1，得a≥4.

?4x?a?0?从而a????,?6???4,???.

反之，?a????,?6???4,???，易计算此时f(x)?x?a?5x满足题设条件. 故满足题设条件的a的取值范围是???,?6???4,???

………10分

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