全国大学生数学建模比赛论文中国人口预测模型

中国人口预测模型

摘要：人口数量的变化,关系到一个国家的未来。认识人口数量的变化规律，建

立人口模型，能够较准确的预报,是有效控制人口增长的前提。本文对人口预测的数学模型进行了研究.首先，建立人口指数模型、Lｏｇisｔｉc模型及灰度预测模型.对我国20０５年以后45年的人口增长进行了预测，根据１982年人口基本数据运用模型对1９８２年~200５年进行了预测，并用实际数据对预测结果进行了检验。

我们将预测区间分为20０6～2０30年、203０～2050年两个区间，以量化未来我国短中期与长期的人口变化。

关键词：人口数量的变化人口指数模型 Loｇｉstｉc模型灰度预测模型ＭATＬＡB Excｅl

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目录

第一部分问题重述 (3)

第二部分问题分析 (3)

第三部分模型的假设 (3)

第四部分定义与符号说明 (3)

第五部分模型的建立与求解 (3)

5。1模型一 (3)

5.２模型二 (8)

5.3模型三........................................................................．(12)第六部分对模型的评价............................................................(1４)第七部分参考文献..................................................................(1５)第八部分附表 (15)

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一、问题重述

人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。本题要求根据已知数据，运用数学建模的思想对我国人口做出分析和预测。具体问题如下：

从中国的实际情况和人口增长的特点，例如我国老龄化进程加快、出生人口性别比持续升高、乡村人口城镇化等,利用参考附录中所提供的数据，建立中国人口增长的数学模型，由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，并指出模型的优缺点。

二、 模型假设

1、假设题目所给的数据真实可靠；

2、假设不考虑我国人口大规模的朝国外迁移,也不考虑外国人大量涌入我国； ３、假设不考虑战争、自然灾害、疾病对人口数目和性别比的影响；

4、假设在本世纪中叶前，我国计划生育政策稳定。

５、假设中短期内生育率和死亡率保持相对稳定

6、假设相同年龄段人口性别比基本稳定。

7、假设人口生育率不受传统观念和个人主观因素的影响。

三、符号说明

符号说明：由于符号较多,在以后的模型中具体给出

四、问题分析

人口发展过程的定量预测，需要预测出未来的人口发展趋势，人口出生、死亡和自然增长率的变化以及在未来的人口构成等各项人口指数全部测算出来.人口增长的决定因素为出生率、死亡率和人口基数,鉴于我国人口问题已有多方面的研究,我们针对近年来我国的人口发展出现的一些新特点，忽略国际人口流动，故可以认为我国人口为一个封闭的系统。对于封闭的系统来说 ，某时刻人口总量=人口基数＋新生人口数—死亡人口数。

五、模型的建立与求解

５.1．模型一：指数增长模型［１]

（一)、模型建立:

记t 时刻的人口数为()x t ，当考察一个国家的人口时，()x t 为一个人很大的整数。利用微积分这一数学工具，将()x t 看作一个连续、可微函数。记初始时刻

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（0t =）的人口为0X 。假设人口增长率为常数r ，即单位时间内()x t 的增量等于

r 乘以()x t .考虑到t 到t t +?时间内人口的增量，显然有：

()()x t t rx t t +?=?

（５.1．1）

令0t →,得到()x t 满足微分方程

0,(0)dx

rx x x dt

== 于是()X t 满足微分方程:

()

()(0)dx t rx t dt

x X ?=?

??=? （5.1.2）

（二）、模型求解

解微分方程（５。1．2）得：

.()0()r t t X t X e -=

（５.1．3)

表明：t →∞时,(0)t x r →∞> 1982年人口自然增长率为1.1％，011.98504X =

为了能对比Ｍalthu ｓ模型计算的长期值和实际值，取１９８2年～２0０5年数

根据Malthu ｓ模型,用M ａt ｌab 计算１９94～2005各年的人口总数，程序：

> t=［198２：1:2005］；

t0=1982;

x=10。１65４＊exp（0.014＊(t—t0))；

〉〉x

计算结果

x =

Ｃolｕmns 1 tｈｒouｇh 11

10。１654 10．3087 10．4５41 １０.6014 10。7５09 10．9０２5 1１。05６2 11。2121 11.３７0１11。5304 11。6930

Cｏｌｕｍns 1２ｔhｒｏuｇh 2２

11.85７8 12．0250 12．1９4６１2.3665 １２.５４08 12。717６１2。8969 13.０7８8 13.２632 13．4501 １３．6398

Ｃolｕmnｓ23 through 24

13。8321 14.0271

用Matｌａb软件将计算值与实际人口数进行对比：

程序：

t=［１9８2 1９83 １９84 1９85 198６ 1987 １988 19８９１990 19９1 １９9２１9９3 1９９4 199５１996 19９７1９98 １99９2000 2０01 2００2 ２00３200４ 2005］；

x=［10１6５4 1030０8 104３57 105851 １07５07 １09３00 １1102６ 112７0４１1433３ 115823 117171 1158１7 119850 121１21 １2238９１23626 1２4761 125786 1２67４３ 1２7627 128453 1292２7 1299８８ 1306２8]; plot（t,ｘ）;

ｈoｌd on

y＝［１01654 １0３０87 1045４1 １0６014 107５０9 10９0２５11０562 11２121 11３701 1１5３0４１16９30 1１8５78 １20250 1219４6 123665 125４08 12717６１28９６9 1３0７８8 １32632 1345０１ 13638９１３832１ 1402７１］；

ｐｌot(t，ｙ，'r＊＇）;

legenｄ（＇实际值’,’预测值’）；

hｏｌd ofｆ

xlabｅl('年份’）；

ｙlabeｌ（'总人口数＇）；

ｔitｌe（＇模型计算值与实际值对比’)；

grｉd；

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(图一)

(三)、结果分析

从１99４年起在较短的一段时间内（1982－19９５）用Mal ｔhus 模型计算的值与实际人口数很接近，相对误差均在１%以下.后面的时期（1995—20０5）相对误差较大，并且随着年份的增加计算差值越来越大。这表明此模型能够比较准确地计算短期内人口的数量.但长期来看,任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述较长时期的人口演变过程。这是因为,人口增长率事实上是不断变化的。排除灾难,战争等特殊时期,一般来说，当人口较少时，增长较快，即增长率较大；人口增加到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小。为了使人口预测特别是长期预报更好的符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数的假设。

用M ａlt ｈus 模型预测人口总量的相对误差

程序：

t=[1982 1９8３ 1984 198５ 1986 1987 1988 1989 １９９0 1991 １９９２ １99３ 1994 199５ 1９96 199７ 199８ 1999 2０00 ２0０1 ２００2 2003 2０04 2005];

x ＝［1016５４ 1０3０08 １04357 10５85１ 10７507 １0９300 1110２6 112704 114333 1１5８2３ １17171 1１８017 119850 1２１121 122３8９

1236２6 12４76１ 1257８6 1267４3 １２７627 １284５3 129227 12９９８8 130628］；

ｙ=[10１65４103087 104５41 １06014 １07509 109０25 １１０5６2 112121 11３70１１１53０４１169３0 1１8578 １2０２50 121946 12３66５ 12５408 1271７６ 1２８９6９13078８1３2632 1345０1 136３89 1３8３21 14０271］;

ｚ=ａbs(ｙ-ｘ）./x；

plot（t,z);

xｌaｂel(＇年份＇);

ylａbel('误差');

ｔｉｔｌe(’计算值与实际值的相对误差’)；

ｇrid；

（图二）

（四）、预测

程序：

〉> ｔ＝［20０5:1：2030];

t0=2０05;

x=13。0６２8＊ｅxp(０.０06＊（t—t0)）;

＞> ｘ

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计算结果 x =

Colu ｍns 1 ｔhro ｕｇh 11

13．０6２８ 13.１４14 13.2205 13。３０01 13。3８01 13．4６06 13.5４16 13。6２31 13。7051 13．787６ 13。8706

Ｃolum ｎｓ １２ throug ｈ 22

13.９540 １4。0380 １4.1２２５ 14。2０７5 １4。2930 1４。3７９０ 1４.4655 14.5526 14。6４０2 14.7283 14。81６9

Col ｕmn ｓ ２3 through 2６

1４.9061 14.9９58 15．0860 15。１76８

5．2：模型二Logisti ｃ曲线预测模型[3］ （一)、模型的建立

假定第 00t =年的人口为(0)x ,人口增长率为r ，则第t 年的人口为

()(0)(1)t x t x r =+

（５.2。1)

经过简单的数学变换，上面递推公式的通用项可以化为指数形式

0()rt x t x e =

9 / 17 （5。2.2）

假定变量连续,求导得到齐次方程

()()dx t rx t dt

= （5。２.3）

考虑到自然资源、环境条件等因素对人口的增长起阻滞作用,并且随着人口的增

加，阻滞作用越大，即人口增长率r 为人口总量()x t 的减函数。因此对上式做出

修改，加上一个表征环境约束因子的二次项2()qx t ，从而得到二阶 Be ｒno ｕ

lli 式齐次方程

2()()()()()[1]m dx t x t rx t qx t rx t dt x =-=- (5．2.4)

这里q 为约束参数，/m x r q =表示区域饱和人口即最大人口容量。该方程的初始

条件和饱和条件分别为00(),()m x t x x t x =≤。解之得到 Ｌogis ｔic 预测模型

0()1(1)m

rt

m x x t x e X -=+-

(5.2．5)

(二)、模型求解

用阻滞增长模型计算19８2-20０5年人口数量:

M ａｔｌab 程序：

t=［1９８２ 1983 1984 19８5 1９86 1９87 1988 １989 19９0 1991 1992 1993

1994 １995 199６ 1997 199８ 1９9９ 2０00 2001 2002 20０３ 2004

2005]；

t0=1982;

Ｘm=36；

X0=１0.１6５4;

ｒ=0.０15；

y=X ｍ./(1+（Xm.／Ｘ０－1)*ex ｐ(－r ＊(t-t ０））)

计算结果

ｙ =

Ｃｏlu ｍn ｓ １ thr ｏugh 12

10。1６54 １０。２７52 10．３8５7 1０。4969 10。608８ １

0。7213 １0.834６ 10.９4８５ 11.0632 １1．1７84 11．2９

４4 11。41１０

Coｌumｎs 13 through ２４

１１。５2８2 １１．６461 1１。7646 1１.8837 １2。0034 １２．12３7 1２。2446 12。3661 １2.4881 12．6108 12。7339 12。8５7７

（三)、分析:

将计算值与实际值对比：

程序:

t=[1982 1９8３ 198４ 19８５1９８6 1９8７ 1988 １989 １9９0 19９１ 19９2 1993 1994 １9９5 199６１９９７ 19９8 1999 2000 20０１ 2002 2003 2004 2005]；

x=［101654 1０30０8 1０435７１05８51 10750７ 109300 １11０26 11２70４１14３3３ 115823 117171 1１８０1７ 119850 1２11２１ 1223８9 12362６12４76１1２5786 12６7４3 １２7627 12８453 １2922７ 129988 130628］；

plot(t，ｘ）；

ｈold oｎ

y=[101654 １02７5２ 103857 1０４96９ 1０608８１0７213 １０８346 109485 110632 1117８４11２９4４ 11４１1０1152８2 116461 11764６118837 1200３4 1２123７ 12２４４6 1２３6６１ 124８８1 １26108 127339 12８577］；

ｐｌot（t,ｙ,’r＊＇）；

legend（＇实际值’，'预测值＇)；

ｈolｄ ofｆ

ｘlabel（'年份＇）；

ylabel（’总人口数’）;

tiｔle（＇模型计算值与实际值对比'）；

grｉd;

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11 /

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(图三)

t=［１982 １9８3 1984 1９85 1986 198７ 1９88 1９89 1990 １９91 199２ 19９3 １９９4 1995 1９96 1997 １998 1９99 2000 ２001 ２002 2003 20０4 2005］；

ｘ=［101654 １0３００8 104３5７ １0５851 107507 10９3０0 111026 11２704 11433３ １15823 11７171 11８0１7 119850 121121 1２2389 12３62６ １2４761 1257８６ １２６7４3 1２7627 1２8453 １2９2２7 12９988 １3０６28］；

y=[1０1654 102752 10385７ 10４９69 106０88 107２１３ 10８346 10９４８５ １1063２ 1１17８4 112944 114110 １１528２ 11646１ 1１7６46 118837 １２０03４ １21２３7 122４46 1236６1 124881 １26108 1273３９ 12８５7７]；

z ＝a ｂs （y —x ）。/ｘ；

plo ｔ（t ，z)；

x ｌab ｅl(＇年份'）；

y ｌabel （’误差’）;

ti ｔle('计算值与实际值的相对误差'）;

g ｒid;

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