概率

《概率论与数理统计》 第一次作业

1.03随机安排甲、乙、丙三人在星期一到星期三各学习一天，求：（1）恰好有

一人在星期一学习的概率；（2）三人学习日期不相重的概率。

解：（1）设事件A表示“恰好有一人在星期一学习”。由题意知：安排甲、乙、丙三人在星期一到星期三各学习一天有n=33种方法；安排“恰好有一人在星期一学习”有m=3?22种方法。

mn3?2332所以：P(A)???49

（2）设事件A表示“三人学习日期不相同”，安排三人在不相同日期学习有m=3?2?1种方法。 所以：P(A)?mn?633?29

1.08某单位同时装有两种报警系统A与B，当报警系统A单独使用时，其有效

的概率为0.70，当报警系统B单独使用时，其有效的概率为0.80，在报警系统A有效的条件下，报警系统B有效的概率为0.84.若发生意外时，求：（1）两种报警系统都失灵的概率;(2)在报警系统B有效的条件下，报警系统A有效的概率；(3)两种报警系统中至少有一种报警系统有效的概率；（4）两种报警系统都失灵的概率。

解：设事件A表示报警A有效，事情B表示报警B有效，由题意得概率： P（A）=0.7 P（B）=0.8 P（B｜A）=0.84 （1） P（AB）=P(A)*P（B｜A）=0.7*0.84=0.588

（2） 所求在报警系统B有效的条件下，报警系统A有效的概率P（A｜B），根据乘

法公式：P（A）P（B｜A）= P（B）P（A｜B）

P（A｜B）= P（A）P（B｜A）/ P（B）=(0.7*0.84)/0.8=0.735

(3)两种报警系统中至少有一种报警系统有效，意味着报警系统A有效或报警系统B有效，即

事件A发生或事件B发生，可用和事件A+B表示，由题意得概率： P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)= 0.7+0.8-0.588=0.912

（4）两种报警系统都失灵，意味着报警系统A失灵且报警系统B也失灵，即事件A不发生且事件B不发生，可用积事件P（AB）=1－P（A+B）=1－0.912 = 0.088

1.09 口袋里装6个黑球和3个白球，每次任取1个球，不放回去两次，求：（1）

第一次取到黑球且第二次取到白球的概率；（2）两次取到球的颜色一致的概率。

解：设事件A表示第一次取到黑球，事件B表示第二次渠道白球。

（1） 第一次渠道黑球且第二次取到白球，即第一次是A，第二次取到白球B发

生，两次可用积事件AB表示： P（AB）=P（A）P（B|A）=

69?38?14

(2)P（AB?AB），由于积事件AB和AB互斥，则

P（AB?AB）=P（AB）+P（AB）=P（A）P（B|A）+ P（A）P（B|

=

69?58?39?28?512?112?612?12A）

1.10 在一批产品中有80%是合格品，验收这批产品时规定，先从中任取1个产品，

若它为合格品就放回去，然后在任取1个产品，若仍为合格品，则接收这批产品，否则拒收。求：（1）检验第一个产品为合格品且检验第二个产品为次品的概率；（2）这批产品被拒收的概率。

解：设事件A表示第一次产品为合格品，事件B表示第二次产品为次品，由题意得：P(A)=80% P(B)=20%

(1) 第一次产品为合格品即是A，第二次取产品为次品B，两次可用积事件AB表示：P(AB)=80%*20%=0.16

(2) 这批产品被拒收，则说明第一次与第二次均取得次品，第一次抽到次产品B，

第二次抽到此产品为积事件AB，即事件可用和事件B+AB表示，由题意得： P（B+AB）=0.2+0.16=0.36

1.11 甲、乙两厂互相独立生产同一种产品，甲厂产品次品率为0.2，乙厂产品的

次品率为0.1，从甲、乙两厂生产的这种产品中各任取1个产品，求：(1)这2个产品中恰好有1个正品的概率；（2）这2个产品中至少有1个正品的概率。 解：设事件A表示甲厂产品的次品，事件B表示乙产品次品，由题意得到概率： P（A）=0.2 P(B)=0.1

（1） 这2个产品中恰好有1个正品的概率，可用和事件AB?AB表示，且积事件AB与

AB互斥，由于甲、乙两厂相互独立生产同一种产品，说明事件A与B相互

独立，因而A与B也相互独立，事件A与B也相互独立，由题意得概率：

P（AB?AB）=P（AB）+P（AB）=P（A）P（B|A）+ P（A）P（B|A）

=0.8×0.1+0.2×0.9 = 0.08+0.18=0.26

（2）甲、乙两厂中至少有1个正品，可用和事件A?B表示，由于甲、乙两厂相互独立生

产，说明事件A与B相互独立，因而A与B也相互独立，又题意得:

P（A?B）= P（A）+ P（B）—P（AB）=0.8+0.9—0.8×0.9=0.98

1.14 市场上供应的某种商品由甲厂、乙厂及丙厂生产，甲厂甲占50%，乙厂占

用30%，丙厂占20%，甲厂产品的正品率为88%，乙厂产品的正品率为70%，丙厂产品的正品率为75%，求： （1） 从市场上任买1件这种商品是正品的概率； （2） 从市场上已买1件正品是甲厂生产的概率。 解：设事件A

要求：用A4纸写或者将作业发到老师邮箱

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