黄陂一中2015届高二数学14

黄陂一中盘龙校区2015届高二数学

综合滚动试题（14）

命题人：向清耀 2013年10月22日

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只

有一项是满足题目要求的.）

1、若集合A?{x|(k?2)x?2kx?1?0}有且仅有2个子集,则实数k的值为（ ）

A．?2 B．?2或?1 C．2或?1 D．?2或?1

2x2y2x2y22、曲线??1与曲线??1??9?k?25?的（ ）

25925?k9?kA.实轴长相等 B.虚轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 3、设抛物线y?ax准线方程为（ ） A. x?2aa11 B. y?- C. y?? D. y?? 444a4a4、已知函数f(x)?(x?a)(x?b)（其中a?b）的图象如下面右图所示，则函数

g(x)?ax?b的图象是（ ）

A B C D

5、设m、n是两条不同的直线，?,?,?是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m??，n//?，则m?n ②若?//?，?//?，m??，则m?? ③若m//?，n//?，则m//n ④若???，???，则?//? 其中正确命题的序号是（ ）

A.①和② B.②和③

f (x)

C.③和④ D.①和④

6、设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I’上存在点P满足PF1：F1F2：PF2= 4:3:2，则曲线I’的离心率等于（ ） A.

132123或 B. 或2C. 或2 D. 或 223232227、已知圆C:x??y?3??4，点A?0,?3?，M是圆上任意一点，线段AM的中垂线l和直线CM相交于点Q，则点Q的轨迹方程为（ ）

2?x2 A. y2x28?1?y?0? B. y?8?1 C. x28?y2?1 D.x2?y28?1 2、如图，Fxy281,F2分别是双曲线C：a2?b2?1（a,b＞0）的左、右焦点，B

是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是（ ）

A.

233 B。62 C.2 D. 3 9、如图四边形ABCD为梯形，AD//BC，?ABC?90?，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积（ ）

A 2 D A.S?68?, V?140?140?3 B.S?34?, V?9

4 C.S?34?, V?140?3 D.S?68?, V?140?9

B 5 C O和点F(?2,0)分别是双曲线x210、若点2a2?y?1(a>0)的中心和左

焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则???OP?????FP?的取值范围为 ( )

A．[3-23,??) B． [-7,??) C．[3?23,??) D．[744,??)

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位

置上.）

y'11、如图，正方形O/A/B/C/的边长为a，它是水平放置的一个 C'B'平面图形的直观图，则原图形的面积是 ． O'A'x'

12、已知定点A(3, 2)在抛物线y2=2px (p>0)的内部，F为抛物线的焦点，点Q在抛物线上， 当|AQ|+|QF|取最小值4时，p= ．

13、顶点为（0，6），且与双曲线x22?y2?1有相同的渐近线的双曲线方程是_____________

14、过抛物线y2?2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，若AB?2512,AF?BF,则AF= . 15、已知函数f(x)????lgx,x?0??x,x?0，若关于x的方程f2(x)?2f(x)?b?0有三个不同的实

?x2数根，则实数b的范围为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16、（本小题满分12分）已知方程x?y?2x?4y?m?0，求

（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；

（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m； （3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程 17、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，

22PA?底面ABCD，E是PC的中点，已知AB?2，AD?22，

（1）三角形PCD的面积； PA?2，求：

（2）异面直线BC与AE所成的角的大小。

x2y2118、（本小题满分12分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，以原点为圆心，

ab2椭圆的短半轴为半径的圆与直线x?y?6?0相切，直线l:x?my?4与椭圆C相交于A、B两点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求OA?OB的取值范围；

19、（本小题满分13分）如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱ABC?A1B1C1与正三棱

???????锥B?ACD组成，其中，AB?BC,且AB=BC= (1) 求证:AC1?平面A1EC; (2) 求二面角D?AC?E的余弦;

(3) 求直线AC1与平面ACD所成角的正弦.

20、（本小题满分13分）

2,AA1=2.E为BB1的中点.

A A1E D B B1C1C 已知双曲线x?y?2的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交于A，B两点，点C的坐标是(1，0)．

22????????（I）证明CA，CB为常数；

?????????????????（II）若动点M满足CM?CA?CB?CO（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程．

21、（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中,过定点C（0,p）作直线与抛物线

x2?2py(p?0)相交于A、B两点.

y （Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点， 求△ANB面积的最小值；

（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.

A O N x C B 答案

一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 A 5 A 6 7 8 B 9 A 10 C A B 二、填空题

y2x2511、 22a 12、 2 13、??1 14、 15、b?0

36726216解：(1)由D2?E2?4F=20-4m＞0,得m＜5. 2分

(2)将x=-2y+4代入x+y-2x-4y+m=0,得5y-16y+8+m=0.

2

2

2

由Δ=16-20(8+m)＞0,得m＜

2

.设M(x1,y1)、N(x2,y2),由OM⊥ON有kOM·kON=-1.

∴x1x2+y1y2=0.又x1=-2y1+4,x2=-2y2+4,∴5y1y2-8(y1+y2)+16=0.

将y1+y2=,y1y2=代入解得m=. 8分

(3)当m=时,因圆心H(a,b)是MN的中点,

故b==,a=-2b+4=.半径R=|MN|=|y1-y2|=.

∴以MN为直径的圆的方程为(x-)+(y-

2

)=

2

.

17解：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，

又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD， ∴CD⊥PD， 又∵PD?22?(22)2?23，CD=2，

∴△PCD的面积为

1?2?23?23。 2（2）解法一：取PB的中点F，连接EF,AF,

则EF∥BC，∴∠AEF(或其补角)是异面直线 BC与AE所成的角。

在△ADF中，EF=2、AF=2,AE=2， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴∠AEF=

?， 4?。 4BC=(0,22,0), ∴AE=(1，2,1)，

∴异面直线BC与AE所成的角大小为

解法二：如图所示，建立空间直角坐标系， 则B(2,0,0),C(2，22,0),E(1，2,1)， 设AE与BC的夹角为?，则

cos??AE?ACAEAC=42?22?2,, 2又∵0＜?≤

??，∴?=。 24

c2a2?b21c1422218（Ⅰ）由题意知e??，∴e?2?，即?a?b

4a23aa2y26x222又b?b?3 故椭圆的方程为?3，∴a?4，??1……………4分

431?1?l:x?my?4?（Ⅱ）解：由?x2y2得：(3m2?4)y2?24my?36?0 …………………………6分

??1?3?4由??0?(24m)2?4?36(3m2?4)?0?m2?4

24m36设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则y1?y2??2………………8分 ,y1y2?3m?43m2?4?????????12m2?1001162∴OA?OB?x1x2?y1y2?(m?1)y1y2?4m?y1?y2??16? ……10分 ??4?3m2?43m2?4????????1322∵m?4∴3m?4?16， ∴OA?OB?(?4，)

4????????13∴OA?OB的取值范围是(?4，)．………………………………………………… 13分

4 19

20.解:(1)连结BC1?AB?BC,AB?BB1?AB?面BC1?BC1为AC1在面BC1中的射影BE1??tan?BC1C D BC2??BCE??BC1C,又?BC1C＋?CBC1?90??tan?BCE??CE?BC1,?AC1?CE(三垂线定理）?3分又ACC1A1为正方形，AC1?A1C?AC1?面A1EC.???4分F B E A A1B1C1C (2)取AC的中点F,则DF?AC,EF?AC,则?DFE为所求.DE=3,AE?CE?3,?EF?2,又DE?2?1?在?DEF中,cos?DFE???DFE=?-arccos3?2?(2?1)22?3?2??

1?266?23 9分 6

23?6???8分6(3)设?为所求的线面角?S?ACD?3,S?ACA1?2,D到面ACA1的距离为B到面ACA1,即为1?由VA1?ACD?VD?A1AC可得:A1到面ACD的距离为233232366?sin??33?6?所求的角为arcsin??12分.sin??CA1?6 6 13分

A1C620解：由条件知F(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

（I）当AB与x轴垂直时，可设点A，B的坐标分别为(2，2)，(2，?2)，

????????CB?(1，2)?(1，?2)??1． 此时CA?当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y?k(x?2)(k??1)．

代入x?y?2，有(1?k)x?4kx?(4k?2)?0．

2222224k24k2?2则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1?x2?2，x1x2?2，

k?1k?1????????CB?(x1?1)(x2?1)?y1y2?(x1?1)(x2?1)?k2(x1?2)(x2?2) 于是CA??(k2?1)x1x2?(2k2?1)(x1?x2)?4k2?1

(k2?1)(4k2?2)4k2(2k2?1)???4k2?1 22k?1k?1?(?4k2?2)?4k2?1??1．

????????CB为常数?1． 综上所述，CA??????????（II）解法一：设M(x，y)，则CM?(x?1，y)，CA?(x1?1，y1)，

?????????????????????????CB?(x2?1，y2)，CO?(?1，0)，由CM?CA?CB?CO得：

?x?1?x1?x2?3，?x1?x2?x?2，即? ?y?y?yy?y?y?12?12于是AB的中点坐标为??x?2y?，?． ?22?yy?y2yy2当AB不与x轴垂直时，1，即y1?y2???(x1?x2)．

x?2x1?x2x?2?2x?2222又因为A，B两点在双曲线上，所以x12?y12?2，x2?y2?2，两式相减得

(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)，即(x1?x2)(x?2)?(y1?y2)y．

将y1?y2?y(x1?x2)代入上式，化简得x2?y2?4． x?2当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(2，0)，也满足上述方程． 所以点M的轨迹方程是x?y?4．

22?x1?x2?x?2，解法二：同解法一得?……………………………………①

y?y?y?124k2当AB不与x轴垂直时，由（I） 有x1?x2?2．…………………②

k?1?4k2?4ky1?y2?k(x1?x2?4)?k??4??2．………………………③

k?1k?1??4k2由①②③得x?2?2．…………………………………………………④

k?1y?4k．……………………………………………………………………⑤ k2?1当k?0时，y?0，由④⑤得，

x?2?k，将其代入⑤有 yx?24y(x?2)y22y??．整理得x?y?4． 222(x?2)(x?2)?y?1y24?当k?0时，点M的坐标为(?2，0)，满足上述方程．

当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(2，0)，也满足上述方程． 故点M的轨迹方程是x?y?4．

21解法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N(0，?p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直线AB的方程为y?kx?22?x2?2p，y，与x?2py联立得?消去y得py?kx?．p?2y x2?2pkx?2p2?0．

由韦达定理得x1?x2?2pk，x1x2??2p． 于是S△ABN?S△BCN?S△ACN?·2px1?x2．

2B C A O N x 12?px1?x2?p(x1?x2)2?4x1x2 ?p4p2k2?8p2?2p2k2?2，

∴当k?0时，S?ABN?22p2．

（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y?a，

AC的中点为O?，l与AC为直径的圆

相交于点P，Q，PQ的中点为H，

y ?xy?p?则O?H?PQ，Q?点的坐标为?1，1?．

22??B l A O?C x ∵O?P?11212AC?x1?(y1?p)2?y1?p2， 222O N O?H?a?2y1?p1?2a?y1?p， 2222∴PH?O?P?O?H11?(y12?p2)?(2a?y1?p)2 44p????a??y1?a(p?a)，

2????p??2∴PQ?(2PH)2?4??a??y1?a(p?a)?．

2????令a?pp?0，得a?，此时|PH|?p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为22y?p， 2即抛物线的通径所在的直线． 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得

AB?1?k2x1?x2?1?k2·(x1?x2)2?4x1x2?1?k2·4p2k2?8p2

?2p1?k2·k2?2，

又由点到直线的距离公式得d?2p1?k22．

·AB?·2p1?k·k?2·从而S△ABN?·d121222p1?k2?2p2k2?2，

∴当k?0时，(S△ABN)min?22p2．

（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y?a，则以AC为直径的圆的方程为

(x?0)(x?x1)?(y?p)(y?y1)?0，

将直线方程y?a代入得x?x1x?(a?p)(a?y1)?0， 则△?x1?4(a?p)(a?y1)?4??a?22????p??y?a(p?a)． ?1?2??设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)， 则有PQ?x3?x4???p??p??4??a??y1?a(p?a)??2?a??y1?a(p?a)．

2?2?????令a?pp?0，得a?，此时PQ?p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为22y?

p， 2即抛物线的通径所在的直线．

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