江苏省木渎高级中学天华学校提优训练(1) - 函数性质及应用

江苏省木渎高级中学天华学校提优训练（1）---函数性质及应用

一、知识点梳理 1.考纲要求

内 容 函数的概念 函数的基本性质 指数与对数 函数概念与基本初等函数Ⅰ 要 求 A B C √ √ √

指数函数的图象与性质 √ 对数函数的图象与性质 √ 幂函数 函数与方程 √ √

函数模型及其应用 √

2.知识点归纳总结

１．研究函数问题要树立定义域优先的意识，否则解题中极易出错．

２．具备奇偶性的函数的定义域区间一定关于原点对称．奇函数若在x?0处有定义则一定有f?0??0，偶函数一定有f?x??f?x?．

3.比较大小是对指数函数、对数函数和幂函数性质考查的常见题型，熟记它们的图像特点并结合0、1比较是解这类题的通法.

4．函数图象的对称性的一些常见结论：

a?b对称； 2②若f?a?x???f?a?x?，对x?R恒成立，则y?f?x?关于点?a,0?对称；

①若f?a?x??f?b?x?，对x?R恒成立，则y?f?x?关于x?③函数y?f?a?x?与y?f?b?x?的图象关于直线x?b?a对称. 25．函数图像的平移：把y?f?x?的图像向左平移a（a>0）个单位，再向上平移b(b>0)个单位得到y?f?x?a??b的图象，简记为“上加下减，左加右减”. 二、考题回顾 1. 函数y?x(x?1)?x的定义域为 ?x|x≥1? ???02. 已知集合A?xlog2x?2,B?(??,a)，若A?B则实数a的取值范围是(c,??)，其中c= 4 .

3. 已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有

??5xf(x?1)?(1?x)f(x)，则f()的值是 0 24. 已知偶函数f(x)在区间?0,??)单调增加，则满足f(2x?1)＜f()的x 取值范围是 （

1312，） 335. 设函数y?f(x)在(??,??)内有定义，对于给定的正数K，定

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?f(x),f(x)?K,1?x取函数f(x)?2。当K=时，函数fK(x)的单调递增区间为 fK(x)??2?K,f(x)?K. (??,?1 ) x6. 若函数f(x)=a-x-a(a>0且a?1)有两个零点，则实数a的取值范围是 a?1 .

三、例题精析

例1. 已知二次函数y?g(x)的导函数的图像与直线y?2x平行，且y?g(x)在x??1处取得极小值m?1(m?0)．设f(x)?g(x)． x（1）若曲线y?f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m的值； （2）k(k?R)如何取值时，函数y?f(x)?kx存在零点，并求出零点．

解：（1）依题可设g(x)?a(x?1)2?m?1 (a?0)，则g'(x)?2a(x?1)?2ax?2a； 又g??x?的图像与直线y?2x平行 ?2a?2 a?1 ?g(x)?(x?1)2?m?1?x2?2x?m， f?x??g?x?m?x??2， xx2222设Pxo,yo，则|PQ|?x0?(y0?2)?x0?(x0???m2) x021世纪教育网m2?2x?2?2m?22m2?2m?22|m|?2m

x020m22当且仅当2x?2时，|PQ|取得最小值，即|PQ|取得最小值2

x020当m?0时，(22?2)m?当m?0时，(?22?2)m?2 解得m?2?1 2 解得m??2?1

m?2?0(x?0)，得?1?k?x2?2x?m?0 ?*? xmm当k?1时，方程?*?有一解x??，函数y?f?x??kx有一零点x??；

22（2）由y?f?x??kx??1?k?x?当k?1时，方程?*?有二解???4?4m?1?k??0， 若m?0，k?1?1， m第 2 页 共 10 页

函数y?f?x??kx有两个零点x?若m?0，k?1?1?1?m(1?k)?2?4?4m(1?k)，即x?；

k?12(1?k)1， m函数y?f?x??kx有两个零点x?1?1?m(1?k)?2?4?4m(1?k)，即x?；

k?12(1?k)1, m当k?1时，方程?*?有一解???4?4m?1?k??0, k?1?函数y?f?x??kx有一零点x?1??m k?1m； 2综上，当k?1时, 函数y?f?x??kx有一零点x??当k?1?11(m?0)，或k?1?（m?0）时， mm函数y?f?x??kx有两个零点x?当k?1?1?1?m(1?k)；

k?111??m. 时，函数y?f?x??kx有一零点x?mk?1a?0.1?15ln,　x?6,??a?x例2. 有时可用函数 f(x)??描述学习某学科知识的掌握程度.

?x?4.4,　　　　　?6??x?4其中x表示某学科知识的学习次数（x?N），f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.

（1）证明：当x ?7时，掌握程度的增长量f（x+1）- f(x)总是下降；

*（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121］,(121,127］, (127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科. 证明（1）当x?7时，f(x?1)?f(x)?0.4

(x?3)(x?4)而当x?7时，函数y?(x?3)(x?4)单调递增，且(x?3)(x?4)?0 故函数f(x?1)?f(x)单调递减

当x?7时，掌握程度的增长量f(x?1)?f(x)总是下降

21世纪教育网

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(2)有题意可知0.1?15ln整理得

a?0.85 a?6a?e0.05 a?6e0.05?6?20.50?6?123.0,123.0?(121,127]…….13分 解得a?0.05e?1由此可知，该学科是乙学科……………..14分 例3. 设a为实数，函数(1)若(2)求

f(x)?2x2?(x?a)|x?a|. f(0)?1，求a的取值范围； f(x)的最小值； (不需给出演算步骤)不等式h(x)?1的解集. f(x),x?(a,??)，直接写出．．．．

(3)设函数h(x)??a?0解：（1）若f(0)?1，则?a|a|?1??2?a??1

?a?122（2）当x?a时，f(x)?3x?2ax?a,f(x)min2?f(a),a?0?2a,a?0?? ??a??2a2f(),a?0?,a?0??3?3 当x?a时，f(x)?x?2ax?a,f(x)min222?f(?a),a?0???2a,a?0????2

??f(a),a?0?2a,a?0 综上f(x)min??2a2,a?0? ??2a2,a?0??322222（3）x?(a,??)时，h(x)?1得3x?2ax?a?1?0，??4a?12(a?1)?12?8a

当a??66时，??0,x?(a,??)； 或a?22?a?3?2a2a?3?2a266(x?)(x?)?0 当?时，△>0,得：??a??3322??x?a讨论得：当a?(26,)时，解集为(a,??); 22a?3?2a2a?3?2a262,?)时，解集为(a,当a?(?]?[,??); 2233a?3?2a222,]时，解集为[当a?[?,??). 223第 4 页 共 10 页

例4. A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数?(x)组成的集合：①对任意x?[1,2]，都有?(2x)?(1,2) ； ②存在常数L(0?L?1)，使得对任意的x1,x2?[1,2]，都有

|?(2x1)??(2x2)|?L|x1?x2|

(Ⅰ)设?(x)?31?x,x?[2,4]，证明：?(x)?A

(Ⅱ)设?(x)?A，如果存在x0?(1,2)，使得x0??(2x0)，那么这样的x0是唯一的; (Ⅲ)设?(x)?A，任取xl?(1,2)，令xn?1??(2xn),n?1,2,???,证明:给定正整数k，对任意的正整数p，成立不等式|xk?lLk?1?xk|?|x2?x1|

1?L解：对任意x?[1,2]，?(2x)?31?2x,x?[1,2]，33??(2x)?35，1?33?35?2，所以?(2x)?(1,2) 对任意的x1,x2?[1,2]，

|?(2x1)??(2x2)|?|x1?x2|3?323?1?2x1?2?3?1?2x1??1?x2??3?1?x2?2，

?1?2x1?23?3?1?2x1??1?x2??3?1?x2?，

所以0＜

2?1?2x1?22?3?1?2x1??1?x2??3?1?x2?222?2， 3令

3?1?2x1??3?1?2x1??1?x2??3?1?x2?＝L，0?L?1，

|?(2x1)??(2x2)|?L|x1?x2|

所以?(x)?A

??(1,2),x0?x0?使得x0??(2x0)，x0???(2x0?)则 反证法:设存在两个x0,x0由|?(2x0)??(2x0)|?L|x0?x0|，得|x0?x0|?L|x0?x0|，所以L?1，矛盾，故结论成立。

////x3?x2??(2x2)??(2x1)?Lx2?x1，所以xn?1?xn?Ln?1x2?x1

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Lk?1|xk?p?xk|??xk?p?xk?p?1???xk?p?1?xk?p?2????xk?1?xk??|x2?x1|

1?L?xk?p?xk?p?1?xk?p?1?xk?p?2??xk?1?xk?Lk?p?2x2?x1?Lk?p?3x2?x1＋?

Lk?1LK?1x2?x1 x2?x1?1?L

四、课后练习

1. 函数y?log0.5(|x?1|?2)的值域为 (??，?1] 2. 若函数f(x)?logm(x?x2?2m2)是奇函数，则m? 2 23. 当0?x?1时，f(x)?x2，g(x)?x，h(x)?x?2，则三者的大小关系为

f(x)?g(x)?h(x) 2，??)上是增函数，则实数a的取值范围是 4. 已知函数y?log3(3x?ax?5)在[?1(?8,?6] 5. 函数f(x)?ax?loga(x?1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a?

1 2?x2?4x,6. 已知函数f(x)??2?4x?x,(?2,1) x?0x?0若f(2?a)?f(a),则实数a的取值范围是

27. 已知函数f(x)?alog2?blog3?2,若f(xx1)?4.则f(2009)的值为 0 20098. 对于在区间[a,b]上有意义的两个函数f(x)和g(x)，如果对任意x?[a,b]，均有

|f(x)?g(x)|?1, 那么我们称f(x)和g(x)在[a,b]上是接近的．若f(x)?log2(ax?1)与g(x)?log2x在闭区间[1,2]上是接近的，则a的取值范围是 [0,1] ． 9. 函数y?f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f(x?1)?f(x?1)成立．已知当x?[1，2]时，f(x)?logax． （1）求x?[?1，1]时，函数f(x)的表达式；

11，且x?[?1，3]时，解关于x的不等式f(x)?． 24解 ∵f(x?1)?f(x?1)，且f(x)是R上的偶函数，

（2）若函数最大值为

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0]，?loga(2?x)，x?[?1，∴f(x)?f(x?2)??

log(2?x)，x?[0，1].?a（2）由于函数以2为周期，故考查区间[?1，1]，

11知f(0)?f(x)max?loga2?，即a?4． 221若0?a?1，则当x?1或x??1时，f(x)有最大值，即loga(2?1)?矛盾舍去，

2综上可得，a?4．

1当x?[?1，1]时，若x?[?1，0]，则log4(2?x)?，∴0?x?2?2．

41log(2?x)?若x?(0，，则，∴0?x?2?2． 1]44若a?1时，由f(x)的最大值为

∴ 此时满足不等式的解集为(2?2，2?2)．

∵f(x)是以2为周期的周期函数，∴当x?(1，3]时，f(x)?1的解集为(2，4?2)． 4综上可知，所求不等式的解集为(2?2，2?2)?(2，4?2)．

10. 已知二次函数y?f1(x)的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y?f2(x)的图象与直线y?x的两个交点间距离为8，f(x)?f1(x)?f2(x)． （1）求函数f(x)的表达式；

（2）证明：当a?3时，关于x的方程f(x)?f(a)有三个实数解． 解 （1）由已知，设f1(x)?ax2，由f1(1)?1得a?1，∴f1(x)?x2．

k(k?0)，它的图象与直线y?x的交点分别为A(k,k)，B(?k,?k)由x88|AB|?8得k?8，∴f2(x)?．故f(x)?x2?．

xx88882222（2）方法1 由f(x)?f(a)得x??a?，即??x?a?．在同一坐标系内

xaxa8822作出f2(x)?和f3(x)??x?a?的大致图象（如图所示），

xayy?f2(x)其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限

y?f3(x)82的双曲线，f3(x)的图象是以（0，a?）为顶点，开口向下

ax的抛物线．故f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点， O2 设f2(x)?即f(x)?f(a)有一个负数解．

882，当a?3时，f3(2)?f2(2)?a??8?0， aa∴当a?3时，在第一象限f3(x)的图象上存在一点（2，f3(2)）在f2(x)图象的上方，

又∵f2(2)?4，f3(2)??4?a?2∴f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点，即f(x)?f(a)有两个正数解． 因此，方程f(x)?f(a)有三个实数解．

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方法2 由f(x)?f(a)得x?2888?a2?，)?0，即(x?a)(x?a?得方程的一个解xaaxx1?a．方程x?a?8?0 化为ax2?a2x?8?0，由a?3，??a4?32a?0， ax?a2?a4?32a?a2?a4?32a得 x2?，x3?．

2a2a∵x2?0，x3?0，∴x1?x2 且x2?x3．

?a2?a4?32a4若x1?x3，即a?，则3a?a4?32a，即a?4a，得a?0或

2aa?34，这与a?3矛盾，∴x1?x3． 故原方程有三个实数解．

11. 已知a 是实数，函数f(x)?2ax2?2x?3?a．如果函数y?f(x)在区间[?1，1]上有零点，求a的取值范围．

解 （1）当a?0时，f(x)?2x?3．令2x?3?0 得x?∴f(x)在[?1，1]上无零点，故a?0．

（2）当a?0时，f(x)?2ax2?2x?3?a的对称轴为x??3?[?1，1]， 21． 2a1??a?511?f(?)?0??1，即a?时，须使?① 当? 即． ?2a2a2a?1???f(1)?0∴a的解集为?．

?1?f(?1)?011???3?a?0?0，即0?a?时，须使?②当?1?? 即?2a， 2a2f(1)?0???a?1解得a?1，∴a的取值范围是[1，??)． （3）当a?0时，

?f(?1)?05?11?a???1，即a??时，须使?① 当0?? 即?1， 1??3?a?0f(?)?02a2???2a2a?解得a?1?3?7?3?7或?a?5，又a??，

222∴a的取值范围是(??，② 当??3?7]． 2?a?5?f(?1)?011?1，即??a?0时，须使? 即?． 2a2?a?1?f(1)?0?3?7]?[1，??)． 2∴a的解集为?．

综上所述，a的取值范围是(??，

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12. 已知函数f1(x)?3x?p1，f2(x)?2?3x?p2（x?R,p1,p2为常数）．函数f(x)定义为：

对每个给定的实数x，f(x)???f1(x),若f1(x)?f2(x)

?f2(x),若f1(x)?f2(x)（1）求f(x)?f1(x)对所有实数x成立的充分必要条件（用p1,p2表示）；

（2）设a,b是两个实数，满足a?b，且p1,p2?(a,b)．若f(a)?f(b)，求证：函数f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度之和为

b?a（闭区间[m,n]的长度定义为n?m） 2解：（1）由f(x)的定义可知，f(x)?f1(x)（对所有实数x）等价于

f1?x??f2?x?（对所有实数x）这又等价于3x?p1?2?3x?p2，即

3x?p1?x?p2?3log32?2对所有实数x均成立. （*）

由于x?p1?x?p2?(x?p1)?(x?p2)?p1?p2(x?R)的最大值为p1?p2， 故（*）等价于3p1?p2?2，即p1?p2?log32，这就是所求的充分必要条件

（2）分两种情形讨论

（i）当p1?p2?log32时，由（1）知f(x)?f1(x)（对所有实数x?[a,b]） 则由f?a??f?b?及a?p1?b易知p1?a?b， 2y p?x(b,f(b)?(a,f(a)?31,x?p1再由f1(x)??x?p的单调性可知，

1??3,x?p1函数f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度

a?bb?a?为b?（参见示意图1） O x 图1 22（ii）p1?p2?log32时，不妨设p1?p2,，则p2?p1?log32，于是

当x?p1时，有f1(x)?31当x?p2时，有f1(x)?3从而 f(x)?f2(x) ；

p?x?3p2?x?f2(x)，从而f(x)?f1(x)；

x?p1?3p2?p1?x?p2?3p2?p1?3x?p2?3log32?3x?p2?f2(x)

y 当p1?x?p2时，f1(x)?3由方程3x?p1x?p1，及f2(x)?2?3p2?x，(a,f(a)) (x0,y0) (b,f(b)) ?2?3p2?x

(p2,2) (p1,1) O 第 9 页 共 10 页

解得f1(x)与f2(x)图象交点的横坐标为

x 图2 p1?p21?log32 ⑴ 221显然p1?x0?p2?[(p2?p1)?log32]?p2，

2这表明x0在p1与p2之间。由⑴易知 x0??f1(x),p1?x?x0 f(x)??

x?x?pf(x),02?2?f1(x),a?x?x0综上可知，在区间[a,b]上，f(x)?? （参见示意图2）

?f2(x),x0?x?b故由函数f1(x)及f2(x)的单调性可知，f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度之和为

(x0?p1)?(b?p2)，由于f(a)?f(b)，即3p1?a?2?3b?p2，得

p1?p2?a?b?log32 ⑵

1b?a故由⑴、⑵得 (x0?p1)?(b?p2)?b?[p1?p2?log32]?

22b?a综合（i）（ii）可知，f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度和为。

2

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