2019年高考数学（理）二轮强化训练：专题3第1讲等差数列、等比数列及答案

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2019.5

第一讲 等差数列、等比数列

1．等差数列{an}中，a2＝3，a3＋a4＝9，则a1a6的值为( ) A．14 B．18 C．21 D．27

2．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3＝( ) 32A. B. 4358C. D. 625

4

3．(20xx·高考大纲全国卷)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项

3

和等于( )

1－

A．－6(1－310) B.(1－310)

9

－－

C．3(1－310) D．3(1＋310) 4．(20xx·浙江省名校联考)已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1＝1且前n项和Sn

满足SnSn－1－Sn－1Sn＝2SnSn－1(n∈N*且n≥2)，则a81＝( )

A．638 B．639 C．640 D．641 5．(20xx·高考辽宁卷)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题： p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；

anp3：数列{}是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．

n

其中的真命题为( ) A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4 6．(20xx·高考辽宁卷)已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3

2

是方程x－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.

7．(20xx·温州市适应性测试)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}前n项的和，则S2 013＝________．

an＋2－an＋1

8．在数列{an}中，如果对任意n∈N*都有＝k(k为常数)，则称数列{an}为等

an＋1－an

差比数列，k称为公差比．现给出下列命题：

①等差比数列的公差比一定不为零； ②等差数列一定是等差比数列；

③若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列；

④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比． 其中正确命题的序号为________． 9．(20xx·高考课标全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25 ，且a1，a11，a13

成等比数列．

(1)求{an}的通项公式；

(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.

10．在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，a2＝b1＝3，a5＝b2，a14＝b3，

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(2)令cn＝ban，求数列{cn}的前n项和Tn.

1

11．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，且2Sn＝2Sn－1＋2an－1＋1(n≥2，n∈N*)．数

4

3

列{bn}满足b1＝，且3bn－bn－1＝n(n≥2，n∈N*)．

4

(1)求证：数列{an}为等差数列； (2)求证：数列{bn－an}为等比数列；

(3)求数列{bn}的通项公式以及前n项和Tn.

答案：

??a1＋d＝3

1．【解析】选A.依题意得?，由此解得d＝1，a1＝2，a6＝a1＋5d＝7，a1a6＝14，

?2a1＋5d＝9?

故选A.

a1（1－q6）a1（1－q3）1

2．【解析】选A.由于[]∶[]＝1∶2，得q3＝－，

21－q1－q

a1（1－q9）a1（1－q3）1－q911336

而S9∶S3＝[]∶[]＝3＝1＋q＋q＝1－＋＝. 2441－q1－q1－q

an＋11

3．【解析】选C.由3an＋1＋an＝0，得＝－，

an3

1

故数列{an}是公比q＝－的等比数列．

3

4

又a2＝－，可得a1＝4.

3

1

4[1－（－）10]

3－

所以S10＝＝3(1－310)．

1

1－（－）

3

4．【解析】选C.由已知SnSn－1－Sn－1Sn＝2SnSn－1可得，Sn－Sn－1＝2，∴{Sn}是以1为首项，2为公差的等差数列，故Sn＝2n－1，Sn＝(2n－1)2，∴a81＝S81－S80＝1612－1592＝640，故选C. 5．【解析】选D.因为d>0，所以an＋1>an，所以p1是真命题．因为n＋1>n，但是an的符号不知道，所以p2是假命题．同理p3是假命题．由an＋1＋3(n＋1)d－an－3nd＝4d>0，所以p4是真命题． 6．【解析】因为a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且数列{an}是递增的等比数列，所

1－26

以a1＝1，a3＝4，q＝2，所以S6＝＝63.

1－2

【答案】63 7．【解析】由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得该数列是周期为4的数列，且a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0.所以S2 013＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 013＝503×(－2)＋1＝－1 005. 【答案】－1 005 8．【解析】若k＝0，{an}为常数列，分母无意义，①正确；公差为零的等差数列不是等差比

an＋2－an＋1－

数列，②错误；＝3，满足定义，③正确；设an＝a1qn1(q≠0)，

an＋1－an＋

an＋2－an＋1a1qn1－a1qn则＝－＝q，④正确． an＋1－ana1qn－a1qn1【答案】①③④ 9．【解】(1)设{an}的公差为d，由题意得a211＝a1a13，

2

即(a1＋10d)＝a1(a1＋12d)． 于是d(2a1＋25d)＝0.

又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2. 故an＝－2n＋27.

(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 由(1)知a3n－2＝－6n＋31，

故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．

nn

从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n.

22

???3＋3d＝3q，?d＝2，??10．【解】(1)由条件得 2∴?3＋12d＝3q，??q＝3，?

∴an＝2n－1，bn＝3n.

－

(2)由(1)得cn＝ban＝b2n－1＝32n1.

＋

cn＋132n1∵＝＝9，c1＝3， cn32n－1∴{cn}是首项为3，公比为9的等比数列，

3（1－9n）3n

∴Tn＝＝(9－1)．

81－9

11．【解】(1)证明：∵2Sn＝2Sn－1＋2an－1＋1(n≥2，n∈N*)， ∴当n≥2时，2an＝2an－1＋1，

1

可得an－an－1＝. 2

∴数列{an}为等差数列．

1

(2)证明：∵{an}为等差数列，公差d＝，

2

111

∴an＝a1＋(n－1)×＝n－.

224

又3bn－bn－1＝n(n≥2)，

11

∴bn＝bn－1＋n(n≥2)，

33

1111

∴bn－an＝bn－1＋n－n＋ 3324

111＝bn－1－n＋ 364113＝(bn－1－n＋) 324111＝[bn－1－(n－1)＋] 3241

＝(bn－1－an－1)， 3

1

又b1－a1＝≠0，

2

bn－an1

∴对n∈N*，bn－an≠0，得＝(n≥2)．

bn－1－an－1311

∴数列{bn－an}是首项为，公比为的等比数列．

23n－1

11?

(3)由(2)得bn－an＝·?，

2?3?

n11?1?n－1

∴bn＝－＋·?3?(n∈N*)．

242

∵b1－a1＋b2－a2＋…＋bn－an 1??1?n?2?1－?3??＝，

11－3

∴b1＋b2＋…＋bn－(a1＋a2＋…＋an) 3??1?n?＝1－3， 4????

n23??1?n?∴Tn－＝1－3，

44????n23??1?n?

∴Tn＝＋1－3(n∈N*)．

44????

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