求解排列组合应用题的“八字诀”

学习改变命运

求解排列组合应用题的“八字诀”

分——注意利用分类计数原理和分步计数原理解题。对于一个比较复杂的排列组合应用问题；通常情况下，可以通过“分类”、“分步”等手段分解成若干个易于解决的小问题，然后各个击破之。

特——从特殊的元素、特殊的位置入手解题。附条件的排列组合应用问题往往涉及一些特殊的元素或特殊的位置；对特殊的元素和特殊的位置作特殊的照顾，则容易找到通向成功之路的入口处。

反——利用“正难则反”的原则解题。当问题的正面情况错综复杂时，即正面进攻很难奏效时，可以考虑从问题的反面入手，有时会帮你进入“柳暗花明”的境界。

等——利用概率相等解题。充分利用各元素在每个位置上出现的概率相等，有时可以直捣题目结论。 化——注意用转化思想指导解题。许多排列组合应用问题，表面上看似乎是风马牛不相及，若能用转化的思想方法剥去其外包装，则会发现其本质是相同的，仅仅是问题的“情境”不同而已。转化思想是我们通向成功彼岸的指路明灯，对此要引起特别的重视。

捆——解决若干元素必须排在一起的重要解题技巧。 插——解决若干元素必须互不相邻的重要解题技巧。

推——运用递推关系解决排列组合应用问题。递推方法是把复杂问题化归为简单问题，未知问题转化为已知问题的重要手段之一，也是应用转化思想指导解题的重要体现。

若能对上述“八字诀”做到烂熟于心，又能对具体情况作具体分析，合理地选择方法和技巧，并综合运用之；则通常情况下能立于不败之地。下面通过几个例题的解答和评注，说明“八字诀”的具体应用。

例2．（1994年上海高考题）计划在某画廊展示出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须放在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）种

A．

45345145245A4A5 B．A5A4A5 C．A3A4A5 D．A2A4A5

解：第一步：确定4幅油画的相对位置（捆在一起）的方法数

4A4. 5A5.

第二步：确定5幅国画的相对位置（捆在一起）的方法数

第三步：确定国画和油画的相对位置的方法数∴满足条件的陈列方式有：

21A2，再把水彩画插在国画和油画之间A1.

42A4?A54?A2种故选D。

评注：由于本题的主要附加条件是“连在一起”，故容易相到使用“捆”的技巧。

例3．（2002年全国高考题）从正方体的6个面中选取3个面，其中有两个面不相邻的选法共有（ ） A.8种 B.12种 C.16种 D.20种

解评：由于正面考虑比较复杂，而问题的反面即为三个面两两相邻，一个顶点对应于一种取法，故用“正难则反”的方法解之，即C63?8?20?8?12种故选B。

例4．五个成年人和两个小孩（一男一女）排成一排照相，要求每个小孩两边都是成年人，且小女孩要和其母亲（五个成年人之一）排在一起，问：有多少种不同的排法？

解：第一步：从其他四位成年人中选出一人和小女孩的母亲排在小女孩的两边成“成女母”的方法数为：

12C4?A2?8。

4A4?24

第二步：把“成女母”看成一个成年人和另外三位成年人排成一排的方法数：思考成就未来

2

第三步：把小男孩插入相应的位置的方法数为：∴满足条件的排法数为：8×24×3=576.

1A3?3.

评注：①由于小女孩最为特殊，故首先照顾小女孩，即从特殊的元素入手； ②小女孩必须和母亲在一起，且两边都是成年人，故易想到用“捆”的技巧； ③由于小男孩必须排在两成年人之间，故可采用“插”的技巧。

例5．编号为1.2.3??n的n个人，坐到编号为1.2.3??n的n把椅子上，且每个人都不对号入座的方法数记为xn。求，x1,x2,x3,x4,x5。

解：易见：x1=0 ,

x2?1，x3?2，

nAn。其中：

∵n个人坐到n把不同的椅子上的方法数为有且仅有n个对号入座的方法数为：1.

有且仅有（n-1）个人对号入座的方法数为：Cnx1. 有且仅有（n-2）个人对号入座的方法数为：Cnx2. 有且仅有（n-3）个人对号入座的方法数为：Cnx3. ???????????????????? 有且仅有（n-k）个人对号入座的方法数为：Cnxk. ???????????????????? 有且仅有1个人对号入座的方法数为：Cnn?1k321xn?1.

有且仅有0个人对号入座的方法数为：xn. ∴

n123n?1An=1+Cnx1+Cnx2+Cnx3+??+Cnxn?1+xn.

令n=4可得：24=1+C4x2+C4x3+x4=1+6+8+x4 ∴x4=9.

令n=5可得：120=1+C5x2+C5x3+C5x4+x5=1+10+20+45+x5，x5=44.

23423首先我们把人数推广到 n个人，即n个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的

位置上。设满足这样的站队方式有an种，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递推关系：

第一步：第一个人不站在原来的第一个位置，有n-1种站法。

第二步：假设第一个人站在第2个位置，则第二个人的站法又可以分为两类：第一类，第二个人恰好站在第一个位置，则余下的n-2个人有an-2种站队方式；第二类，第二个人不站在第一个位置，则就是第二个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置，……，第n个人不站在第n个位置，所以有an-1种站队方式。

2

3

由分步计数原理和分类计数原理，我们便得到了数列an的递推关系式：

an=(n-1)*(an-1+an-2)，显然，a1=0,a2=1，a3=2,a4=9,a5=44

评注：①给出的问题本身就有点递推数列的“味道”，故选择递推方法解之。

②在实施递推策略的过程中，注意到问题的反面——至少有一人对号入座的问题已经解决，故又使用了“正难则反”的解题策略。

③从理论上讲，上述给出的公式已彻底解决了n个元素对n个位置的错位排列问题。

例6：（1993年全国高考题）同室4人然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡的不同分配方式有（ ）

A.6种 B.9种 C.11种 D.23种

解评：本题可转化为：编号为：1.2.3.4的四个人坐在编号为1.2.3.4的四把椅上，4人都不对号入座的方法数为多少？由例5可知：x4=9.

故选（B）.

例7：4对夫妻排成一排照相，每对夫妻要排在一起的方法数为多少？ 解：第一步：请每对夫妻各自手拉手（捆）的方法数为：2×2×2×2=16. 第二步：把每对夫妻看成一个人排成一排的方法数为： ∴满足条件的排法数为：16×24=384.

评注：由于每对夫妻要排在一起，故使用先捆后排的策略。

例8．4对夫妻排成前后两排，每排4人，使每对夫妻前后对号的排法有多少种？ 解评：易见本题和例7是同一个问题，故方法数为384.

例９．４对夫妻排成前后两排，每排４人，使每对夫妻前后都不对号的排法有多少种？

解：第一步：对四对夫妻进行重新组合，建立４个新的临时家庭，使每个家庭一男一女，但不是夫妻，由例5可知其方法数为x4＝９.

第二步：对四个临时家庭进行排队，由例８解法可知，其方法数为384. ∴满足条件的排法数为：9×384=3456.

评注：本题看似复杂，但利用分步计数原理可以分解为两个小题，事实上本题可以看成是由例6和例8组合并成的。

各写一张贺年卡，先集中起来，

二 知识要点 (一).两个计数原理:

1.分类计数原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,?,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N= m1+ m2+ m2+?+ mn种不同的方法.(分类满足的条件是不重不漏).

2.分步计数原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,?,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N= m1× m2× m2×?× mn种不同的方法.(注意分步的标准,既不重步也不漏步).

4A4?24.

3

4

3.注意:两个原理是解决以后问题的基础,多数的问题在解决的最后,都可以归结到这两个原理上来,特别要注意分步与分类的区别. (二)排列

1.排列的定义:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素(被取出的元素各不相同),按照一定的顺序排成一列,叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列(有序性是排列的本质).

2.排列数的定义:从n个元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个元素中取出m个元素的排列数,用符号

mAn表示.

3.排列数公式:

(1)当m

mAn?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)(必须熟记.) mAn?n(n?1)(n?2)?3?2?1?n!.规定0!?1.

(3)排列数公式的另一种形式:

mAn?n!(在计算,化简,证明中用途比较大).

(n?m)!(4)两个性质:①An(三).组合

mm?1mm?1m?nAn?1;②An?mAn?1?An?1.

1.组合的定义:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合(组合中的元素与顺序无关).

2.组合数的定义:从n个元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个元素中取出m个元素的组合数,用符号Cn表示. 3.组合数公式:

mAnn(n?1)(n?2)?(n?m?1)(1)基本公式C?m?(必须熟记.)

Amm(m?1)(m?2)?2?1mnm(2)组合数公式的另一种形式:

mCn?n!(m?n,n?N*)(在计算,化简,证明中用途比较大).规定

m!(n?m)!0Cn?1.

(3)两个性质:①Cnmn?mmmm?1?Cn;②Cn?1?Cn?Cn.(两个很重要的公式,一定要记住).

4.排列组合常见问题解题策略: (1).特殊元素优先安排的策略; (2).合理分类与准确分步的策略; (3).排列、组合混合问题先选后排的策略; (4).正难则反、等价转化的策略; (5).相邻问题捆绑处理的策略; (6).不相邻问题插空处理的策略; (7).定序问题除法处理的策略; (8).分排问题直排处理的策略;

4

(9).“小集团”排列问题中先整体后局部的策略; (10).构造模型的策略. (四)二项式定理

1.二项式定理:一般地,对于任意正整数n,都有:

5

0n1n?1rn?rrnn(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab????Cnb(n?N)

这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做

(a?b)n的二项展开式,其中系数

rrn?rrCn(r?0,1,2?,n,叫做二项式系数),式中的Cnab叫做二项式的通项公式,用Tr?1表示,式展开式中的

第r+1项.

2.二项式系数的性质

①对称性:与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即Cnmn?m?Cn.

②增减性与最大值:如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大.

当n是偶数时,n+1是奇数,展开式共有n+1项,所以展开式有中间一项,并且这一项的二项式系数最大,最大为C.

当n是奇数时,n+1是偶数,展开式共有n+1项,所以展开式有中间两项,并且这两项的二项式系数相等并且最大,最大为Cn?12nn2n?Cn?12n.

012n?Cn?Cn???Cn?2n.

024135?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2n?1.

③各项二项式系数的和:Cn奇数项的二项式系数和等于偶数项的系数和:Cn3.展开式中各项的系数和:只需要将变元值令为1,算出值即可. 4.二项展开式中系数最大问题

①由二项式系数性质可知,当项数n是偶数时,展开式中二项式系数最大的项是中间项,最大为C;当n是奇数时,展开式中二项式系数最大的项为中间两项,最大为Cn?12nn2n?Cn?12n.

②展开式中系数与二项式系数不同,设tr?1是展开式中Tr?1项的系数,若Tr?1项为系数最大的值,则必有

?tr?1?tr,0?r?n.由此不等式组,可确定r的值,从而确定系数最大的项. ??tr?1?tr?2,(五)概率

1.随机事件的概率 (1)基本概念

①随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件. ②必然事件:在一定条件下必然要发生的事件. ③不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件.

④基本事件:一次试验连同其中出现的每一个结果称为一个基本事件.

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(2)随机事件的概率

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①定义:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率时就把这个常数叫做事件A的概率,记作:P(A).

m总是接近于某一个常数,在它附近摆动,这n②必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,所以随机事件的概率0≤P(A)≤1. (3)等可能事件的概率

①一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常一次试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且每一个结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是

1m.如果某个事件A的结果有m个,那么事件A的概率为P(A)?. nn②求等可能事件的基本步骤:A.算出基本事件的总个数n;B.算出事件A中包含基本事件的个数m;C.算出事件A的概率,P(A)?m. n2.互斥事件有一个发生的概率 (1)基本概念:

①互斥事件:事件A与B不可能同时发生,这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件. ②对立事件:其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件,事件A的对立事件记作A.

③两个对立事件一定是互斥事件,反之两个互斥事件不一定是对立事件;两个事件对立是两个事件互斥的充分非必要条件;两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件. (2)事件A+B的意义及其概率运算公式

①若事件A,B互斥,事件A+B的含义是A,B中有一个发生且只有一个发生,只有对于互斥事件才能运用概率运算的加法公式.

②如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).

③如果事件A1,A2,A3,?,An彼此互斥,则P(A1+A2+?+An)= P(A1)+P(A2) +?+P(An). ④对立事件A与

A的概率和等于1,即P(A)?P(A)?P(A?A)?1?P(A)?1?P(A).

3.相互独立事件同时发生的概率 (1)相关概念:

①相互独立事件:如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,那么这样的两个事件叫做相互独立事件.

②性质:如果事件A与B相互独立,那么

A与B,A与B,A与B也都是相互独立的.

③事件A·B:表示相互独立事件A与B同时发生的事件.

(2)两个相互独立事件A与B同时发生的概率公式: P(A·B)=P(A)·P(B).

(3)推广:如果事件A1,A2,A3,?,An相互独立,则P(A1·A2·?·An)= P(A1)·P(A2)·?·P(An). (4)两个相互独立事件A与B至少有一个发生的概率:P(A?B)?1?P(A?B). (5)相互独立事件同时发生的概率的乘法公式求概率的解题步骤: ①确定诸事件是相互独立的; ②确定诸事件会同时发生;

③先求每个事件发生的概率,再求其积. 4.独立重复试验

n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率记为Pn(k),设在一次试验中事件A发生的概率是P,则

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kkPn(k)?CnP(1?P)n?k.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/50rr.html