西安邮电2005-2006第一学期概率论试卷

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概率论与随机过程试题参考答案（A）

一、计算题（共8小题，每小题满分10分，共80分）

1. 由题意大家是围圆桌就座，所以只要这些人就座的相对位置一样，那么就是相同的就坐方式.因此a位男士和b位女士不同的就座方式共有:

(a b)!

a b

a b 1 !种

当a b 2，只有一种就坐方式，因此所求概率P 1；

当a b 2时，把甲乙两人看作一人，则 a b 1 人的就座方式共为 a b 2 !种;又甲乙两人的不同就座方式为2种，所以甲乙两人坐在一起的概率为:

P

2 (a b 2)!(a b 1)!

2

(a b 1)

. 2. 随机变量X的所有可能取值为3，4，5. 而且

P(X=3)=11

C1C212133C1C4C3 ，P(X=4)= P(X=5)= 6510C3，3

10. 510C5因此

345 X~ 1

36 10

1010

当X 3时，F(X) P(X x) 0;当3 X 4时，F(X) P(X x) P(X 3)

1

10

当4 X 5时，F(X) P(X x) P(X 3) P(X 4)

410

; 当X 5时，F(X) P(X x) P(X 3) P(X 4) P(X 5) 1.

所求分布函数为

0,x 3; 1

F(x) ,3 x 4; 10 4

,4 x 105;

1,x 5.3. 因为X与Y相互独立，所以

f x,y f e y,0 x 1,y 0

X x fY y

0,

其他由卷积公式得

f z f x,z x dx Z

fX x fY z x dx

又由已知可知，当

0 x 1 0 x x 0，亦即 1

时，上述积分的被积函数不等于零，即可得

z x z

11 e z x dx e 1 e z 0,z 1fz z

Z 1 e z x dx 1 e z,1 z 0

0 0z 0

4. X

Y

的分布律为

X

Y所以

E(X) 1 38 1 38 0，E(Y) 1 38 1 38 0，E(XY) 1 28 1 2

8

0， 故

Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y) 0，

即X和Y是不相关的。而显然

f(x)(y) f x

,y ， 即X和Y

不是相互独立的。

5. 设最少共给电力为NkW

，才能以95%的把握满足该车间生产. 把对每台车床的观察作为一次试验，开动的概率为

0.7，因此可以看成是n 200的Bernoulli试验. 设某时刻开动的车床的台数记为X, 则X~b(200,0.7)，np

140

，由中心极限定理

P{0 15X

N} P

1

0.95.

1.65， N 15(14

0。4即2 )N 15(140 2260.4

因而最少需耗电2260.4KW，才能以95%的把握满足该车间生产.

6. 由题中条件，对任意n个时刻t1,t2, ,tn T和任意一组实数u1,u2, ,un，和式

nn

ui

X(ti

) ui

(At

i

B) Ai 1

i 1

nn

uiti B ui

i 1

i 1

n

是独立正态变量A,B的线性组合，故

ui

X(ti

)也是正态变量，根据n维正态分布的重要性质，随机

i 1

变量(X(t1),X(t2), ,X(tn))，服从n维正态分布，由定义知X(t)是正态过程．而X(t)的相关函数（协方差函数）为

RX(t1,t2) CX(t1,t2) E[(At1 B)(At2 B)]

t1t2E(A2) t1E(AB) t2E(BA) E(B2) 2(t1t2 1)．

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7. (1) 先求出二步转移概率矩阵

3/41/40 P(2) PP 1/41/21/4 3/41/40 5/85/16

1/41/21/4 5/161/23/16 , 03/41/4 03/41/4 03/41/4

于是

P{X} P{X155

0 0,X2 10 0}P{X2 1|X0 0} p0(0)P01(2) 3 16

48

． (2) 再由(11.7)式，

p1(2) P{X2 1} p0(0)P01(2) p1(0)P11(2) p2(0)P21(2) 1 519 3 16 2 16 11

24.(3) 由概率的乘法公式及马尔科夫链定义得

P{X0 1,X1 1,X3 1,X5 1}

P{X0 1}P{X1 1|X0 1}P{X3 1|X1 1}P{X5 2|X3 1}

p11131

1(0)P11(1)P11(2)P12

(2) 3 2 2 16 64

. 8. 由于E[X2(t)] E[X2(0)] 1 ，所以X(t)是一个二阶矩过程. 容易计算E[X(t)] 0，现在来计算E[X(t)X(t )]，先设 0，我们注意，如果电流在(t,t )内变号偶数次，则X(t)和X(t )必同号且乘积为I2；如果变号奇数次，则乘积为 I2．因为事件{X(t)X(t ) I2

}的概率

为P(A0) P(A2) P(A4) ;而事件{X(t)X(t ) I2

}的概率为P(A1) P(A3) P(A5) . 于是

E[X(t)X(t )] I

2

P(A

2

2k 0

( )k

k

) I

2

P(A

2k 1

) Ie

I2e 2 . k 0

k 0

k注意，上述结果与t无关，故若 0时，只需令t t ，则有

E[X(t)X(t )] E[X(t )X(t )] I2e

2 .

故这一过程的自相关函数为

RX( ) E[X(t)X(t )] I2e

2

，

它只与 有关．因此随机电报信号X( )是一平稳过程。

二、解答题（共3小题，第9、10题各7分，第11题6分，共20分）

9． 设Bj表示“第j次取到的一份报名表是女生的”，Ai表示“考生的报名表是第i个各地区”，其中i 1,2,3.显然A1,A2,A3构成一个完备事件组。

.

(1) 根据已知条件得到

P(AC1

11111C3BC33C77C51

i) 1 ,P(1|A1) C1 ,P(B1|A2) 1 ，P(B1|A3) 1 .

31010C1515C255

再由全概率公式得所求概率

P(B1) P(A1)P(B1|A1) P(A2)P(B1|A2) P(A3)P(B1|A3)

13171129

3 10 3 15 3 5

90

. (2) 因为所求概率为P(BP(B1B2)

1|B2) P(B.，而

2)

P(B2) P(A1)P(B2|A1) P(A2)P(B2|A2) P(A3)P(B2|A3).

又

P(B2|Ai) P[B2(B1 B1)|Ai] P(B2B1|Ai) P(B2B1|Ai).

其中i 1,2,3.又由已知条件得

11

11P(BC23C7C77C1125C20C2042|A1) ，

C2 2 P(BC7C8C2882|A2) 2 2 ，P(B2|A3) 2 2

. 10C1010

C15C1515C25C255所以P(B13 710 13 82) 15 13 45

61

90

. 又

P(B12) P(A1)P(B12|A1) P(A2)P(B12|A2) P(A3)P(B12|A3)

1 13 C3

C11C111C1177C85C202C2 3 C2 2 . 10153C259

因此所求概率

P(BP(B1B2)1|B2)

P(B 29 20

2)

61. 10. 根据已知条件

1 1 3 1 1 6 6

3 1 1

1

2或

9 6

9

9

1 1

9

1 18

1 6 1

18 9

118可以验证P(X i,Y j) P(X i) P(Y j),i,j 1,2,3过所求。 , , 分别为121

6,9,

6

或1,1,

1

3918

.

11．设每周产量为N，则每周的利润

T

(C2 C1)N,Q N

6N,Q N C2Q C1N C3(N Q)

,

Q N

10Q 4N

,

Q N

利润的期望值

E(T) 6NP(Q N) (10Q 4N)P(Q N) 7N N2

即当N 3.5时，所期望的利润达到最大值，由于需求量Q与生产量N应取整数，所以取N 3或

N 4。此时利润的最大期望值为12元。

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概率论与随机过程试题参考答案（B）

一、计算题（共8小题，每小题满分10分，共80分）

1. 设A、B、C分别表示甲、乙、丙破译出密码， 则（1）恰有一人能破译出密码为事件：

A B ，又由题意知甲乙丙三人是否能破译出密码是相互独立的，且

P 1 P A

23 ，P 34

4，P 5

〉， 所以所求概率为 P P P P

P A P P P P B P P P P C

1330

（2）密码能被破译的概率P(A B C) 1 P(ABC) 3

5

2. （1）由密度函数的性质得

1 1

f(x)dx 0xdx 2

1

(a x)dx a 1

即所求a 2.

(2) 当x 0时，F(x) x f(t)dt x

0dt 0；

当0 x 1时，F(x) x0xx2

f(t)dt 0dt 0tdt 2

； 当x 2时，F(x) 1. 随机变量X的分布函数为

0, x 0, x2

, 0 x F(x) 21, 2

2x x 1, 1 x 2,

2 1, x 2.

3． 显然随机变量Z X Y的所有可能去值为3，5，7，且

P Z 1 2 3 P X 1,Y 2 P X 1 P Y 2 0.3 0.6 0.18; P Z 1 4 5 P X 1,Y 4 P X 1 P Y 4 0.3 0.4 0.12; P Z 3 2 5 P X 3,Y 2 P X 3 P Y 2 0.7 0.6 0.42; P Z 3 4 7 P X 3,Y 4 P X 3 P Y 4 0.7 0.4 0.28. 所以随机变量Z X Y的分布律为：

3 5 7pz 0.18 0.54 0.28

4． f 12 x2, 2 x 2,

X(x)

f(x,y)dy

0,其它， f(y)

f(x,y)dx 1 2 y2, 2 y 2,

Y

0,其它，显然f(x,y) fX(x) fY(y)，所以X和Y不是相互独立的．

E(X)

xf21

X(x)dx 2

x

2 x2dx 0,

同理E(Y) 0. 而

E(XY) dx

xyf1

(x,y)dy xy

D

2

12

2

22

d

rsin cos rdr 0，

于是

Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y) 0,

所以X和Y是不相关的.

5. 由题意可知,100家索赔户中被盗的索赔户数X~B(100,0.2),即X的分布律为

P(X k) Ck

k100(0.2)k(0.8)100 ,

k 0,1,2, ,100.

由np 100 0.2 20,np(1 p) 0.2 0.8 4,利用德莫佛-拉普拉斯定理知P{14 X 30} P 14 np X np30 np np(1 p)np(1 p)

np(1 p)

P X 20

1.5 4 2.5

(2.5) ( 1.5) (2.5) (1.5) 1

0.994 0.933 1 0.927.

6． 由题设，对任意n个时刻t1,t2, ,tn T和任意一族实数u1,u2, ,un，和式

nn

n

ui

X(ti

) A u

i

cos ti Bi

i 1

i 1

uisin ti 1

是独立正态变量A、B的线性组合，故它也是正态变量，且由概率论知识知，

(X(t1),X(t2), ,X(tn))

服从n维正态分布，由定义， X(t)是正态过程. 而X(t)的均值函数和自协方差函数分别为

X(t) EAcos t Bsin t 0

CX(t1,t2) E(Acos t1 Bsin t1)(Acos t2 Bsin t2)

2(cos t1cos t2 sin t1sin t2)

2cos (t

1 t2)

.7． 因为

0022 0022 00 P2 0011 0011 22

1100 1100 110 0011

2222022

2200 2200

0022

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0022 00 00P3

0011 2211 22 11

00 00 1100 0011 1100

P 2200 0022 2200

于是可得P4 P2,P3

P.现在P(2n) P2,P(2n 1) P，因此对任意固定的j(j 1,2,3,4),lim

Pij(n)不存在，按定义得此马氏链不具有遍历性.

n8. 由假设， 的密度函数为f( ) T

,0 T, 0,其他.于是，X(t)的均值函数为

E[X(t)] E[s(t )] T11t T

0s(t )T T t

s( )d .

利用s( )的周期性，可知

E[X(t)] 1T

T 0

s( )d =常数.

而自相关函数

R )] T1

X(t,t ) E[s(t )s(t0s(t )s(t )T

d

1T t

t

s( )s( )d ． 同样，利用s( )s( )的周期性，可知自相关函数仅与 有关，即

R,t ) 1T T

X(t0

s( )s( )d RX( ),

所以随机相位周期过程是平稳的．

二、解答题（共3小题，第9、10题各7分，第11题6分，共20分）9． 设A表示“顾客买下所查看的一箱”，Bi表示“售货员取得箱中恰好有i件残次品”，其中i 0,1,2.

显然B0,B1,B2构成一个完备事件组，且

P(B0) 0.8，P(B1) 0.1，P(B2) 0.1，P(A|B0) 1，

P(A|BC4

4419C182

1) C4 ， P(A|B2) C4 .

2052019

(1) 由全概率公式知所求概率

2

P(A) P(Bi)P(A|Bi)

i 0

0.8 1 0.1 45 0.1 1213

448

475

. (2) 由贝叶斯公式知所求概率

P(B(A|B0)0|A)

P(B0)PP(A)

95

112

. 10．根据已知条件

1

1 3 1 6 1

3 1 6 2或

9 1 6 1

9 9

1

9 1 1 1

18

6 1

18 9

118可以验证P(X i,Y j) P(X i) P(Y j),i,j 1,2,3过所求。 , , 分别为16,21

9,

6

或1,1,

1

3918

11．设每周产量为N，则每周的利润

T

(C2 C1)N,Q N C2Q C1N C3(N Q),

Q N

6N,Q N10Q 4N,Q N

利润的期望值

E(T) 6NP(Q N) (10Q 4N)P(Q N) 7N N2

即当N 3.5时，所期望的利润达到最大值，由于需求量Q与生产量N应取整数，所以取N 3或N 4。此时利润的最大期望值为12元。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/50re.html