第27章 相似单元综合复习测试题(二)及答案

第二十七章 相似综合复习水平测试题

一、精心选一选 1、在比例尺为1:5000的地图上，量得甲，乙两地的距离25cm，则甲，乙的实际距离是（ ） A、1250km B、125km C、 12．5km D、1．25km 2、下列四条线段成比例得是 （ ）

A 4、6、5、10 B 12、8、16、20 C 1、、、2 D、、、23、2

3、如图，等腰△ABC中，底边BC a， A 36 ， ABC的平分线交AC于D， BCD的平分线交BD于E，设k A．k2a

A

5 1

，则DE （ ） 2

a

B．k3a C．2

k

D．

ak3

第5题图

B C （第3题）

4、已知：如图，E( 4，2)，F( 1， 1)，以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO缩小，则点E的对应点E 的坐标为 （ ） A、(2， 1)或( 2，1) B、(8， 4)或( 8，4) C、(2， 1) D、(8， 4)

5、如图，一油桶高0．8 m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0．8m，则桶内油的高度为 （ ） A．0．28m B．0．64m C．0．58m D．0．32m

6.如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（ ） A

B

D C B 第6题图

第7题图

ACBC

与的关系是 （ ） ABACACBCACBC

A．相等 Ｂ． Ｃ． Ｄ．无法确定

ABACABAC

7、如图，在正五角星中，

8、如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的关系式是（ ）

A、b＝a＋c B、b＝ac C、b2＝a2＋c2 D、b＝2a＝2c 9、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设△CDH、△GHE的面积分别为S1、S2，则（ ）

A、3S1 = 2S2 B、2S1 = 3S2 C、2S1 =S2 D、S1 = 2S2

10、如图，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E为梯形内一点，且∠BEC＝90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M，已知BC＝5，CF＝3，则DM︰MC的值为 （ ） A、5︰3 B、3︰5 C、4︰3 D、3︰4

b

c

B

第8题图

第10题图 第9题图

二、细心填一填

1、如图，已知△EFH和△MNK是位似图形，那么其位似中心是点A、B、C、D）． P M N K

C D 第1题

第2题

2、如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到CD的距离为2.7m，则AB与CD间的距离是m．

3、给形状相同且对应边的比为1︰2的两块标牌的表面涂漆，如果小标牌用漆半听，那么大标牌需用漆 听.

4、如图，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=1/2CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC， GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1、S2、S3,若S1+S3=10，则S2； 5、在平面直角坐标系中，若以原点O为位似中心，画△ABC3)，△ABC顶点A的坐标为(2，

的位似图形△A B C ，使△ABC与△A B C 的相似比等于

第4题

A

B′

1

，则点A 的坐标

2

F

（第6题图）

C

6、将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 D F

第

7题 第8题

7、如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB，当支点O在距离A端2米时，A端的人可以将B端的人跷高1.5米，那么当支点O在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高 米．

8、如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB＝2，BC＝3，则EF︰GH＝ ．

三、耐心解一解 1、已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示， P(3，4)为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段

PC把Rt△OAB分割成两部分。问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？ (注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C

的坐标)。

(第1题图)

2、如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，

AB 6，AE 9，DE 2，求EF的长．

3、在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4cm，实验操作：把一等腰直角三角尺45°角的顶点（记为点D），放在BC边上滑动（不与B，C重合），让该角的一边始终过点A，另一边交AC于点E，选取运动过程中的两个瞬间，用量角器分别测出∠BDA与∠CED的大小，并填入下表：

探索： （2）设BD=x，AE=y，试求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当点D在BC边上滑动时，△ADE能否成为等腰三角形？若能，求出点D的位置；若不能，请说明理由．（图1供实验操作用，图2备用）

图1 图2

4、如图1，在Rt△ABC中， BAC 90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E． （1）求证：△ABF∽△COE；

ACOF

的值； 2时，如图2，求

ABOEACOF

（3）当O为AC边中点，的值． n时，请直接写出

ABOE

（2）当O为AC边中点，

B

A

O 图1

A

O 图2

C

5、（原创）在“测量物体的高度” 活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：

小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．

小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米．

小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1．6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m．

图1

图2

图3

（1）在横线上直接填写甲树的高度为 米． （2）求出乙树的高度（画出示意图）．

（3）请选择丙树的高度为 A、6.5米 B、5.75米 C、6.05米 （4）你能计算出丁树的高度吗？试试看．

图

4

）

D、7.25米 （

6、（原创）.如图1，点C将线段AB分成两部分，如果．

ACBC

，那么称点C为线段AB

ABAC

的黄金分割点．

（1）某研究小组在进行课题学习时，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果为该图形的黄金分割线．(如图2) A

A Ｃ Ｂ D B

图1 图2 图3

问题.试在图3的梯形中画出至少五条黄金分割线，并说明理由 （2）类似“黄金分割线”得“黄金分割面”定义：截面a将一个体积为V的图形分成体积为V1、V2的两个图形，且

A

图4

B

C

S1S2

，那么称直线l

SS1

D

C

G

V1V2

，则称直线a为该图形的黄金分割面． VV1

问题：如图4，长方体ABCD-EFGH中，T是线段AB上的黄金分割点，证明经过T点且平行于平面BCGF的截面QRST是长方体的黄金分割面（12分）

参考答案

一、精心选一选

1、D 2、 D 3、A 4、 A 5、B 6. B 7、A 8、 B 9、A 10、C、 二、细心填一填

1、B 2、1.8 3、 2 4、 4 5、（4，6） 6、

12

或2; 7、 1. 8、3︰2 7

三、耐心解一解

1、解：按照公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当∠BOA为公共锐角时，只存在∠PCO为直角的情况；当∠B为公共锐角时，存在∠PCB和∠BPC为直角两种情况．如图， C1（3，0），C2（6，4），C3（6，

2解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6∴∠A=∠D=90°，DC=AB=6

又∵AE=9∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：

BE=

7）． 4

1

x

AE2 AB2 92 62

∵△ABE∽△DEF，∴

6ABBE

，即 ∴EF=

2EF3DEEF

3、解：（1）猜想∠BDA=∠CED．

证明：因为∠ADC=∠B+∠1=45°+∠2．又因为AB=AC，∠BAC=90°， 所以∠B=∠C=45°．所以∠2+45°=45°+∠1．所以180°-∠2-45°=180°-∠1-45°． 即∠CED=∠BDA．

（2）由（1）知：∠BDA=∠CED，又∠B=∠C，所以△ABD∽△DCE．

所以

xBDAB1．即．所以y x2 4(0 x ．

4 y

CEDC4

（3）假设能，分三种情况讨论：

①当AD=AE时，∠AED=∠ADE=45°，所以∠DAE=90°． 此时点D与 B重合，这与已知矛盾，所以这种情况不存在． ②当AD=DE时，由△ABD∽△DCE得，

xBDAD

1，

1．所以

4 yECDE

即

12

x 4 x

4．所以x1 4，x2 0 (舍去)

．即BD 4． 4

1

BC ．

2

③当AE=DE时，∠DAE=∠ADE=45°．又∠BAC=90°，所以∠1=45°，所以∠1=∠DAE．

所以BD

所以，当BD

4或ADE能成为等腰三角形． 4、解：（1） AD⊥BC， DAC C 90°．

BAC 90°， BAF C． OE⊥OB， BOA COE 90°， BOA ABF 90°， ABF COE． △ABF∽△COE；

A

O

C

（2）解法一：作OG⊥AC，交AD的延长线于G． AC 2AB，O是AC边的中点， AB OC OA． 由（1）有△ABF∽△COE， △ABF≌△COE， BF OE． BAD DAC 90°， DAB ABD 90°， DAC ABD， 又 BAC AOG 90°，AB OA． △ABC≌△OAG， OG AC 2AB． OG⊥OA， AB∥OG， △ABF∽△GOF，

OFOGOFOFOG

， 2．

BFABOEBFAB

A

O

C

解法二： BAC 90°，AC 2AB，AD⊥BC于D，

Rt△BAD∽Rt△BCA．

ADAC

2． BDAB

，

AD

1BD AD ． 2

BDBO

． BDF BOE 90°，△ BDF∽△BOE，

DFOE由（1）知BF OE，设OE BF

x，， x ．

DFx

设AB

1，则AC 2，BC BO 在△DFB中x

2

112

．

x， x 3510

OF OF OB BF

2．

OEOF（3） n．

OE

D

B

C

5、解：（1）5.1

（2）如图:设AB为乙树的高度,BC=2.4,∵四边形AECD是平行四边形 ∴AE=CD=1.2 由题意得

BEBE1

，解得BE=3,故乙树的高度AB=AE+BE=4.2米

BC2.40.8

（3）C

（4）如图:设AB为丁树的高度,BC=2.4,CD=3.2

∵四边形AECF是平行四边形∴AE=CF 由题意得

BEBE1

，解得BE=3,

BC2.40.8

AECF1.6

解得CF=2.56

CD3.22

故丁树的高度AB=AE+BE= AE+CF= 5.56米 B 6、解：(1)如图5先在梯形的中位线EF上找一个黄金分割点G,过G任作一条直线l交AD于M,交BC于N,则MN就是梯形的黄金分割线

A EGGFEG hGF h

因为已有,于是

D

M

D

EFEGEF hEG h

而S梯形ABNM EG h,S梯形MNCD GF h

，

E G

图5

N

F

C

S梯形ABCD EF h (h是梯形的高)

则有

S梯形ABNMS梯形ABCD

S梯形MNCDS梯形ABNM

.

注意到直线l是过G的任意一条与AD、BC都相交的直线，所以符合题意的黄金分割线有无穷多条 （2）因为

ATTB

,于是S矩形QRST S矩形ADHE S矩形BCGF,

ABAT

TB S矩形QRSTTAT S矩形QRST

，即截面QRST将体积为V的长方体，分成左、

且有

AT S矩形QRSTAB S矩形BCGF

右两块体积分别是V1、V2，有

V1V2

,故截面QRST是长方体的黄金分割面 VV1

备用题：

1、如图，在□ABCD中，M、N为BD的三等分点，连结CM并延长交AB与点E，连结EN并延长交CD于点F，则DF︰AB＝1︰

4

E 第1题

B

C

D

B C （第2题）

2、如图所示，顶角A为36的第一个黄金三角形 ABC的腰AB 1，底边与腰之比为K,三角形 BCD为第二个黄金三角形，依次类推，第2008 个黄金三角形的周长为

解析：∵AB AC 1,∴ ABC的周长为2 K； BCD的周长为

K K K2 K(2 K)； BDD1的周长为K2 K2 K3 K2(2 K)； 依次类推，

第2008 个黄金三角形的周长为K

2007

(2 K)

3、如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（ D ） 1111A． a B． (a 1) C． (a 1) D． (a 3)

2222

第4题 第5题

第3题

4、如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形

ABCD的周长为_．（ ）

5、如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（ D ）

A．24m B．25m C．28m D．30m

6、如图，△ABC与△A B C 是位似图形，点O是位似中心，若

OA 2AA ，S△ABC 8，则S△A B C ________．．

【答案】18

7、小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：

如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．

已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）．

【关键词】利用相似知识测物高

【答案】解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，则EH＝AG＝CD＝1.2， DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30． ∵EF∥AB， ∴

FHDH

．

BGDG

由题意，知FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5． ∴

0.50.8

，解之，得BG＝18.75．

BG30

∴AB＝BG+AG＝18.75+1.2＝19.95≈20.0． ∴楼高AB约为20.0米．

8、如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．

△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F． （1）求证：△ACB∽△DCE；（2）求证：EF⊥AB．

证明：（1）

∵ AC 3,BC 6 3,∴ AC BC.

DC2 CE42DCCE 又 ∠ACB=∠DCE=90°，∴ △ACB∽△DCE．

（2）∵ △ACB∽△DCE，∴ ∠ABC＝∠DEC．又 ∠ABC＋∠A =90°，

∴ ∠DEC＋∠A=90°．∴ ∠EFA=90°． ∴ EF⊥AB．

9、如图 ，在△ABC中，AB AC， A 36°，线段 AB 的垂直平分线交 AB于 D，交 AC于 E，连接BE． （1）求证：∠CBE=36°；（2）求证：AE AC EC．

2

证明：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴EA EB，

∴ EBA A 36°．∵AB AC， A 36°，∴ ABC C 72°． ∴ CBE ABC EBA 36°．（2）由（1）得， 在△BCE中， C 72°， CBE 36°， ∴ BEC C 72°，∴BC BE AE．

在△ABC 与△BEC中， CBE A， C C， ∴△ABC∽△BEC．∴ACBC2

，即BC AC EC．

BC故AE2

AC EC

EC

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/50b1.html