2014届高考一轮复习：8-3_专题：带电粒子在磁场中运动的问题

(对应学生用书 P172)

带电粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，由于多 种因素的影响，使问题形成多解.

1.带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能是带正电粒子，也可 能是带负电粒子，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在 磁场中运动轨迹不同，形成多解. 2.磁场方向不确定形成多解 有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁 感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而

形成的多解.

3.临界状态不唯一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下穿过有界磁场时，由于粒子 运动轨迹是圆弧状，因此，它可能直接穿过去，也可能转过 180°,从入射界面这边反向飞出，如图所示，于是形成了多 解.

4.运动具有周期性形成多解带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，往 往运动具有周期性，因而形成多解.

(15 分 )(2012· 唐山摸底)一质量为 m、 电荷量为 q 的带负电的 粒子，从 A 点射入宽度为 d、磁感应强度为 B 的匀强磁场中， MN、 PQ 为该磁场的边界线，磁感线垂直于纸面向里，如下图 所示.带电粒子射入时的初速度与 PQ 成 45° 角，且粒子恰好没 有从 MN 射出.(不计粒子所受重力) (1)求该带电粒子的初速度 v0; (2)求该带电粒子从 PQ 边界射出的出射点到 A 点的距离 x.

[思路启迪]

解答此题应注意以下几点：(1)注意入射方向

的不确定引起多解性；(2)根据题意画出带电粒子的运动轨 迹，建立半径和磁场宽度的几何关系；(3)建立洛伦兹力和圆 周运动的关系. [解题样板] 上图甲所示. (1)若初速度向右上方，设轨道半径为R1,如

则 R1= ________, 可得 R1= (2+ 2)d 又 R1= ________, 2+ 2 dqB 解得 v0= m

(2 分 ) (1 分 ) (2 分 ) (1 分 )

若初速度向左上方，设轨道半径为 R2,如上图乙所示 则 R2= ________, (2 分 ) 可得 R2= (2- 2)d, v0= ________. (1 分 )

(2)若初速度向右上方，设射出点 C 到 A 点的距离为 x1 则 x1= 2R1=________ (3 分)

若初速度向左上方，设射出点 C 到 A 点的距离为 x2 则 x2= 2R2=________.[ 答 案 ] (1)(R1 - d)/cos45° 2- 2 dqB 2( 2+1)d 2( 2-1)d. m mv0 qB

(3 分)(d - R2)/cos45°

L 矩形匀强磁场区域的长为 L,宽为 ，磁感应强度为 B,质 2 量为 m, 电荷量为 e 的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场， 欲使该电子由下方边界穿出磁场，求： (1)电子速率 v 的取值范围； (2)电子在磁场中运动时间 t 的变化范围.

[解析] (1)若电子从下边右端点 c 处穿出，如图甲所示： L2 由几何关系可知：R =L +(R- ) 22 2

5 可解得： R= L 4 mv 5eBL 根据半径公式 R= , v= qB 4m

若当电子从下

边左端点 d 处穿出，如图乙所示： L 由几何关系可知：R= 4 mv eBL 根据半径公式 R= , v= qB 4m 因此，电子速率 v 的取值范围为： eBL 5eBL <v< . 4m 4m

(2)若电子从下边右端点 c 处穿出，其轨迹所对应的圆心角 为 θ,由几何关系可知： L 4 sinθ= = ,得：θ=53° R 5 θ πm 电子的运动时间：t= T=0.29 360° eB 若电子从下边左端点 d 处穿出，其轨迹为半圆，电子的运 动时间： 1 πm t= T = 2 eB

因此，电子在磁场中运动时间 t 的变化范围： πm πm 0.29 <t< . eB eB

eBL 5eBL [答案] (1) <v< 4m 4m

πm πm (2)0.29 <t< eB eB

1.有界磁场分布区域的临界问题 该类问题主要解决外界提供什么样以及多大的磁场，使

运动电荷在有限的空间内完成规定偏转程度的要求，一般求解磁场分布区域的最小面积 ，它在实际中的应用就是磁约 束. 容易混淆点是：有界磁场的圆形区域与粒子运动径迹的 圆弧.解决的方法就是加强有界磁场圆形区域与带电粒子运

动径迹所在圆的圆心以及半径的对比.

在涉及多个物理过程问题中，依据发生的实际物理场景，寻求不同过程中相衔接和联系的物理量，采用递推分析 或者依据发生的阶段，采用顺承的方式针对不同阶段进行分 析，依据不同的运动规律进行解决.

2.求解运动电荷初始运动条件的边界临界问题

该类问题多指运动电荷以不同的运动条件进入限定的有界磁场区域，在有限的空间内发生磁偏转，有可能是一个相 对完整的匀速圆周运动，也有可能是圆周运动的一部分，对 于后者往往要求在指定的区域射出，但由于初速度大小以及 方向的差别，致使运动电荷在不同的位臵射出，因此也就存

在着不同情况的边界最值问题.

因外界磁场空间范围大小的限定，使运动的初始条件有了相应的限制，表现为在指定的范围内运动.确定运动轨迹 的圆心，求解对应轨迹圆的几何半径，通过圆心角进而表述 临界最值，这应当是解决该类问题的关键.

3.找临界点的方法 以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突 破口，借助半径 R和速度 v(或磁场 B)之间的约束关系进行动态运

动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下： (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨 迹与磁场边界相切. (2)当速率v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带 电粒子在有界磁场中运动的时间越长. (3)当速率v变化时，圆周角大的，对应的运动时间也越长.

(10 分)(2012· 六安期末)如右图所示，ABCD 是边长为 a 的 正方形.质量为 m、电荷量为 e 的电子以大小为 v0 的初速度

沿 纸面垂直于 BC 边射入正方形区域.在正方形内适当区域中有 匀强磁场.电子从 BC 边上的任意点入射，都只能从 A 点射出 磁场. 不计重力，求： (1)此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小； (2)此匀强磁场区域的最小面积.

[思路启迪]

根据带电粒子的电性和入射、出射方向，结

合左手定则能否判定匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大 小？由C点入射的粒子的运动轨迹，能否确定出粒子运动的上 边界？取边BC中点，画出轨迹，以D为原点、DC为x轴、DA 为y轴建立坐标系，能否写出P点的坐标，你会有什么发现？

[解题样板] 圆弧

(1)设匀强磁场的磁感应强度的大小为 B. 令

是自 C 点垂直于 BC 入射的电子在磁场中的运行轨 ①(1 分)

道.电子所受到的磁场的作用力 f=________.

应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外. (1 分)

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