北京市大兴区农村四校2014-2015学年高二上学期期中联考数学（理

大兴区农村四校高二年级第二学期期中统一考试 数学（理科）学科试卷

（考试时间90分钟 满分150分）

本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）共两部分，第一卷为1页--2页，第

二卷为2页—4页。 第一卷（选择题，共50分）

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.设

z1?3?4i,z2??2?3i，则z1?z2在复平面内对应的点位于（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若p：x?4，q：x?2，则p是q的（ ）条件

A.充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．

2?1?1x(x?1)dx的值为 ( )

121 C. ? .D. ?

633 A.2 B.

4．若命题p: 0是偶数，命题q: 2是3的约数.则下列命题中为真的是( )

A.p且q B.p或q

C.非p D.非p且非q 5．设函数f(x)在x?x0处有导数，且lim A.1

3?x?0f(x0?2?x)?f(x0)?1，则f?(x0)?（ ）

?x B.0 C. 2 D.

2'1 26．f(x)?ax?3x?2,若f(?1)?4,则a的值等于（ ）

A．

19161310 B． C． D． 33337．a?0是复数z?a?bi(a，b?R)为纯虚数的（ ） A．充分条件但不是必要条件

B．必要条件但不是充分条件

C．充要条件 D．既不是充分也不必要条件

8. 设f?(x)是函数f(x)的导函数，y?f?(x)的图象如下图（1）所示，则y?f(x)的图象

最有可能的是 （ ） y yyyy 2O12 2O12O11xxxxx O 1 2 A B C D （1） 9．函数f(x)?cos(x?x)导数是 （ ） A.?sin(x?x) B. ?(2x?1)sin(x?x) C. ?2xsin(x?x) D. (2x?1)sin(x?x) 10．函数y=2x+1的图象与函数y=3x-b的图象有三个不相同的交点,则实数b的取值范围( ) (A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2) 第二卷（非选择题，共100分） 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） n?) ' ；(cosx)'? ； 11. (xn)'? ； (sixx)?' ； (ex)?' ； (ln3222222212.复数1?i的虚部为 ， 共轭复数 。 13．命题“?x?R,x?1?0”的否定是_________________． 14、定积分的值为 215．曲线y?lnx在点M(e,1)处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 16.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法： ①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；

1

②函数f(x)在区间(－1,1)上单调递增； ③函数f(x)在x＝－处取得极大值；

2④函数f(x)在x＝1处取得极小值． 其中正确的说法是________． 三、解答题（本题共5题，共70分） 17.(本小题满分12分)

m(m?2)?(m2?2m?3)i，当m为何值时，

m?1 (1) z?R； (2) z是虚数； (3) z是纯虚数；

已知m?R，复数z?

18..(本小题满分12分)

求函数f(x)?2x3?3x2?12x?5在区间[?2,3]上的最值

19.（本小题满分15分）

已知曲线y?ax?bx?cx?d满足下列条件：

①过原点；②在x?0处导数为－1；③在x?1处切线方程为y?4x?3. (Ⅰ) 求实数a、b、c、d的值； （Ⅱ）求函数y?ax?bx?cx?d的极值.

20.(本小题满分15分)

用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

3232

21．(本小题满分16分)

已知函数f(x)?lnx?ax?1，a是常数，a?R． （Ⅰ）求曲线y?f(x)在点P(1,f(1))处的切线l的方程； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；

（III）证明:函数f(x)(x?1)的图象在直线l的下方．

大兴区农村四校高二年级第二学期期中统一考试 数学（理科）参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.D , 2.B, 3.B, 4.B, 5.D, 6.D, 7.B, 8.C, 9.B, 10.B

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11.略 （每空1分） 12.-1，1+i， 13.?x?R　,x2?1?0， 14. 3+ln2，

115.,x?ey?0 16.①④

e注：两个空的填空题第一空填对得3分，第二空填对得2分． 三、解答题（本大题共5小题，共70分） 17.（本题满分12分）

?m2?2m?3?0,解：(1)m须满足?解之得：m=－3. ------------4分

?m?1?0.(2)m须满足m2+2m－3≠0且m－1≠0，解之得：m≠1且m≠－3. ---------------8分

?m(m?2)?0,?(3)m须满足?m?1解之得：m=0或m=－2. --------------12

?m2?2m?3?0.?分

18.（本题满分12分）

解： (1)f′(x)＝6x2－6x－12， ------------2分 令f′(x)＝0，则6x2－6x－12＝0， ------------3分 即x2－x－2＝0， 解得x1＝－1，x2＝2. ------------5分 列表如下： x f′(x) f(x) -2 1 （-2，-1）+ -1 12 （-1,2） - 2 -15 （2,3） + 3 -4 ∴函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在x∈上的最大值为12，最小值为－15. -----------12分 19.（本题满分15分）

解 (Ⅰ)y??3ax?2bx?c根据条件有

2d?0??a?1??b?1c??1?? 解得? -------------8分 ??3a?2b?c?4?c??1???a?b?c?d?1?d?0322（Ⅱ）由(Ⅰ)y?x?x?x，y??3x?2x?1 -------------9分

令y??0得x?1或?1 3 -------------11分

x、y、y?的关系如表所示

x (??,?1) y? + ↑ －1 0 极大值1 1(?1,) 3－ ↓ 1 30 极小值?1(,??) 3+

y

5 27↑ 32因此函数y?x?x?x在x??1处有极大值1，在x?15处有极小值?。 327-------------15分 20.（本题满分15分）

解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为

h?18?12x?4.5?3x(m)43???0＜x＜?. -------------3分

2??故长方体的体积为

V(x)?2x2(4.5?3x)?9x2?6x3(m3)3(0＜x＜). -------------6分

2从而V?(x)?18x?18x2?18x(1?x). -------------8分

令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. -------------10分 当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，

故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。 ------13

分

23从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.

答：长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大为3 m3。 ------15

分

21.（本题满分16分）

解：（Ⅰ）f?(x)=1?a …………………1分 xf(1)=?a+1，kl=f?(1)=1?a，所以切线 l 的方程为 …………………3分

y?f(1)=kl(x?1)，即y=(1?a)x． …………………5分

（Ⅱ）f(x)定义域为?0,??? …………………7分

f?(x)=1?ax1?a?x x（1）当a?0时，f??x??1?0，f(x)在?0,???为增函数 …………………9分 x（2）当a?0时， 令

1?axx?0得，x?0或x?1a ①当a?0时，f(x)在?0,???为增函数 ②当a?0时，f(x)在??0,1??a??上是增数，在??1?a,?????是减函数（Ⅲ）令F(x)=f(x)?(1-a)x=lnx?x+1，x>0， 则F?(x)=1x?1=1x(1?x)， 解F?(x)=0得x=1. x (0 , 1) (1 , ??) F?(x) ? 0 ? F(x) ↗ 最大值 ↘ F(1)<0，所以?x>0且x?1，F(x)<0，f(x)<(1?a)x，

即函数y=f(x)(x?1)的图像在直线 l 的下方．

…………………11分 …………………13分 ……………16分

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