高数上册

第一章 函数、极限与连续

第一节 函数

内容要点

一、实数与区间

实数的概念；实数的连续性；有限区间，无限区间。 二、邻域

领域的定义；领域的中心；领域的半径。 三、函数的概念

函数是描述变量间相互依赖关系的一种数学模型. 函数的定义、函数的图形、函数的表示法 四、函数特性

函数的有界性；函数的单调性；函数的奇偶性；函数的周期性. 五、数学建模——函数关系的建立

为解决实际应用问题, 首先要将该问题量化, 从而建立起该问题的数学模型, 即建立函数关系；依题意建立函数关系；依据经验数据建立近似函数关系。

例题选讲

例1 函数y?2. 定义域D?(??,??), 值域Rf?{2}. ?x,例2 (E01)绝对值函数 y?|x|????x,x?0x?0

例3 判断下面函数是否相同, 并说明理由. (1) y?1与y?sinx?cosx;

(2) y?2x?1与x?2y?1.

在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的表达方式来表示的函数, 称为分段函数.

22?1,x?0,?(1)（E02）符号函数 y?sgnx??0,x?0, x?sgnx.|x|.

??1,x?0.?(2)（E03）取整函数y?[x], 其中, [x]表示不超过x的最大整数. (3)（E04） 狄利克雷函数 y?D(x)???1,当x是有理数时

0,当x是无理数时??2x,0?x?1,f(x)?(4) 函数 ?1?x,x?1.?1例4 求函数 y??x?2的定义域. 21?xlg(3?x)例5 求函数f(x)??5?4x?x2的定义域.

sinx?1,0?x?1, 例6 设f(x)???2,1?x?2?求函数f(x?3)的定义域.

x例7 证明：（E05） (1) 函数y?2在(??,??)上是有界的.

x?11(2) 函数y?2在(0,1)上是无界的.

x例9（E06）证明函数y?x在(?1,??)内是单调增加的函数. 1?x例10(E07) 判断函数y?ln(x?1?x2)的奇偶性.

ex?11?x例11 判断函数 f(x)?xln(?1?x?1) 的奇偶性.

e?11?x?1,当x是有理数时?7?, 求D???,D(1?2)，例12（E08）设D(x)??D(D(x)). 并讨论其性质.

?5??0,当x是无理数时例13（E09）若f(x)对其定义域上的一切, 恒有f(x)?f(2a?x),则称f(x)对称于x?a.证明: 若f(x)对称于x?a及x?b(a?b), 则f(x)是以T?2(b?a)为周期的周期函数.

例15（E10）某工厂生产某型号车床, 年产量为a台, 分若干批进行生产, 每批生产准备费为b元, 设产品均匀投入市场, 且上一批用完后立即生产下一批, 即平均库存量为批量的一半. 设每年每台库存费为c元. 显然, 生产批量大则库存费高; 生产批量少则批数增多, 因而生产准备费高. 为了选择最优批量, 试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.

例16（E11） 某运输公司规定货物的吨公里运价为: 在a公里以内,每公里k元, 超过

4部分公里为k元. 求运价m和里程s之间的函数关系.

5例17（E12）为研究某国标准普通信件(重量不超过50克)的邮资与时间的关系，得到如下数据： 年份1978 1981 1984 1985 1987 1991 1995 1997 2001 2005 2008 （年） 邮资6 8 10 13 15 20 22 25 29 32 33 （分） 试构建一个邮资作为时间函数的数学模型，在检验了这个模型是“合理”的之后，用这个模型来预测一下2012年的邮资. 例18（E13）地高辛是用来治疗心脏病的.医生必须开出处方用药量使之能保持血液中地高辛的浓度高于有效水平而不超过安全用药水平. 下表中给出了某个特定病人使用初始剂量0.5（毫克）的地高辛后不同时间x（天）的血液中剩余地高辛的含量. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 0.5000 0.345 0.238 0.164 0.113 0.078 0.054 0.037 0.026 （1）试构建血液中地高辛含量和用药后天数间的近似函数关系； （2）预测12天后血液中的地高辛含量.

课堂练习

1. 用分段函数表示函数 y?3?|x?1|.

?x2?x,x?02. 判别函数f(x)??2 的奇偶性.

?x?x,x?0?第二节 初等函数

内容要点

一、反函数：反函数的概念；函数存在反函数的条件；在同一个坐标平面内, 直接函数y?f(x)和反函数y??(x)的图形关于直线y?x是对称的.

二、基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数. 三、复合函数的概念

四、初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数. 初等函数的基本特征: 在函数有定义的区间内初等函数的图形是不间断的.

五、双曲函数和反双曲函数的概念.

例题选讲

例1 (E01) 求函数y?1?1?4x1?1?4x的反函数.

?1,x?0?2例2 已知sgnx??0,x?0 (符号函数)求y?(1?x)sgnx的反函数.

??1,x?0?例3 (E02) 设 y?f(u)?arctanu，u??(t)?1t例4 (E03) 将下列函数分解成基本初等函数的复合.

2，t??(x)?x2?1，求 f{?[?(x)]}.

(1) y?lnsin2x; (2) y?earctanx; (3) y?cos2ln(2?1?x2). ?ex,例5 (E04) 设 f(x)???x,?x?2,x?1,?(x)??2x?1?x?1,x?0, 求f[?(x)].

x?0例6 设f?x???1?12?x?,求f(x). ?2x?x例7 (E05) 某人在2008年欲用1000元投资5年，设年利率为5%，试分别按单利、复利和连续

复利计算到第5年末，该人应得的本利和S.

例8 (E06)具有放射性的原子核在放射出粒子及能量后可变得较为稳定，这个过程称为衰变. 实验表明某些原子以辐射的方式发射其部分质量，该原子用其剩余物重新组成新元素的原子. 例如，放射性碳—14衰变成氮；镭最终衰变成铅. 若y0是时刻x?0时放射性物质的数量，在以后任何时刻x的数量为y?y0e?rx,r?0。数r称为放射性物质的衰减率. 对碳—14而言，当x用年份来度量时，其

?4衰减率r?1.2?10 . 试预测886年后的碳—14所占的百分比.

例9(E07)放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间称为半衰期. 事实上，半衰期是一个常数，它只依赖于放射性物质本身，而不依赖于其初始所含放射性核的数量.

课堂练习

1．下列函数能否复合为函数y?f[g(x)], 若能, 写出其解析式、定义域、值域. (1)y?f(u)?u,(2)y?f(u)?lnu,u?g(x)?x?x2;u?g(x)?sinx?1.

2．分析函数 y?3arctancose2x的复合结构.

第三节 数列的极限

内容要点

一、数列的定义 二、数列的极限

??N论证法，其论证步骤为：

（1）对于任意给定的正数?, 令 |xn?a|??；（2）由上式开始分析倒推, 推出 n??(?)；（3）取 N?[?(?)]，再用??N语言顺述结论. 三、收敛数列的有界性 四、极限的唯一性 五、收敛数列的保号性 六、子数列的收敛性

例题选讲

例1 (E01)下列各数列是否收敛, 若收敛, 试指出其收敛于何值.

?1??n?1?(1)2n; (2)??; (3)(?1)n?1; (4)??.

nn????????n?(?1)n?1?1. 例3 设xn?C(C为常数)，证明limxn?C. 例2 (E02) 证明limn??n??nn例4 证明limq?0,其中|q|?1. 例5 设xn?0,且limxn?a?0,求证limxn?a.

n??n??n??5?2n2??.

n??1?3n3n2?2?1. 例7 (E03) 用数列极限定义证明 lim2n??n?n?1例6 用数列极限定义证明 lim例8 (E04) 证明：若limxn?A,则存在正整数N,当n?N时，不等式|xn|?n??|A|成立. 2例9 (E05) 证明数列xn?(?1)n?1是发散的

课堂练习

1．设p?0, 证明数列 xn?1 的极限是0. np第四节 函数的极限

内容要点

一、自变量趋于无穷大时函数的极限 二、自变量趋于有限值时函数的极限 三、左右极限的概念

四、函数极限的性质：唯一性 有界性 保号性 五、子序列的收敛性

例题选讲

sinx?1?例1证明 lim?0. 例2 用极限定义证明 lim???0.

x????2?x??xx1?x??1.

x??x?1例4 设y?2x?1，问?等于多少时，有：当x?4??时，y?7?0.1?

例3 证明 lim即当??0.05时，有：当x?4??时，y?7?0.1.

例5((1) 证明 limC?C(C为常数）. (2) 证明limx?x0.

x?x0x?x0x2?1例6 证明 lim?2. 例7 证明: 当x0?0时, limx?x0.

x?x0x?1x?1x?x,x?0例8 验证lim不存在. 例9 设f(x)??, 求 limf(x).

x?0x?0xx?1,x?0?例10 设f(x)???1?x,x?0,求limf(x). 2x?0?x?1,x?01?a1/x(a?1), 求 limf(x). 例11 (E08) 设 f(x)?x?01?a1/x1例12 求证limsin.不存在

x?0x课堂练习

1. 判别下列极限是否存在, 如果存在求出其值..

1/x1/x (1)lim2; (2)lime; (3)lime?1/x.

x?0x??2x?02. 若f(x)?0, 且limf(x)?A.问: 能否保证有A?0的结论? 试举例说明.

第五节 无穷小与无穷大

内容要点

一、无穷小的概念

二、无穷小的运算性质

（1）有限个无穷小的代数和仍是无穷小（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 三、无穷大的概念

四、无穷小与无穷大的关系

例题选讲

1当x?0时为无穷小. xsinx1例2 求lim. 例3证明 lim＝?.

x??x?1x?1x例1 根据定义证明：y?xsin2x4例4 证明lim(a?1)???(a?1). 例5求 lim3.

x???x??x?511例6当x?0时，y?sin是一个无界变量，但不是无穷大.

xx课堂练习

2x2?2x. 1. 求 limx?1(x?1)22．（1）设x?x0时，g(x)是有界量，f(x)是无穷大量，证明：f(x)?g(x)是无穷大量. （2）设x?x0时，|g(x)|?M(M是一个正的常数），f(x)是无穷大量，证明：f(x)g(x)是

x无穷大量.

第六节 极限运算法则

内容要点

一、 极限的四则运算：定理1 推论1 推论2 二、 复合函数的极限运算法则：定理2

例题选讲

2x2?9例1求 lim(x?3x?5). 例2求 lim2.

x?2x?35x?7x?24x?1x2?1例3 求 lim2. 例4 求 lim2.

x?1x?2x?3x?1x?2x?3238x3?6x2?5x?12x3?3x2?5. 例5计算lim. 例6 计算limx??x??7x3?4x2?13x?2(1?x)(1?3x)(1?4x)2n??1. 例7求lim?2?2???2?. 例8 计算lim3x?1n??n(1?x)nn??例9 计算lim(sinx?1?sinx).

x???tanxn2sinn!. ; (2)lim例10 计算下列极限：(1)lim1x?0n??n?12?ex?x?1,x?0?例11已知f(x)??x2?3x?1,求limf(x),limf(x),limf(x),

x?0x???x???,x?03??x?1?x2?1?. 例13 已知lim(5x?ax2?bx?c)?2,求a,b之值. 例12求limln??x?1x????2(x?1)?3课堂练习

1. 求极限:

2?x 2. 在某个过程中，若f(x)有极限，g(x)无极限，那么f(x)?g(x)是否有极限？为什么？

x?0x???(1)limexsin1x;(2) lim1?x?33.

第七节 极限存在准则 两个重要极限

内容要点

一、夹逼准则：如果数列xn,yn及zn满足下列条件:

（1）yn?xn?zn(n?1,2,3,?); （2）limyn?a,limzn?a,

n??n??那末数列xn的极限存在, 且limxn?a.

n??注：利用夹逼准则求极限，关键是构造出yn与zn, 并且yn与zn的极限相同且容易求.

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