大学物理 牛顿运动定律及其应用 习题及答案

第2章 牛顿运动定律及其应用 习题解答

1．质量为10kg的质点在xOy平面内运动，其运动规律为:

x?5con4t?3(m),y?5sin4t?5(m).求t时刻质点所受的力．

解:本题属于第一类问题

x?5con4t?3dxvx???20sin4t

dtdvax?x??80cos4tdty?5sin4t?5vy?20cos4t ay??80sin4tFx?max??800cos4t(N)Fy?may??800sin4t(N) F?(Fx?Fy)?800(N)2．质量为m的质点沿x轴正向运动，设质点通过坐标x位置时其速率为kx（k为比例系数），求： （1）此时作用于质点的力；

（2）质点由x?x1处出发，运动到x?x2处所需要的时间。 解:(1) F?m12dvdx?mk?mk2x(N) dtdtx22dx11x2?lnx?ln ?kxkkx1x1x1dx?t? (2) v?kx?dtx3．质量为m的质点在合力F?F0?kt(N)（F0,k均为常量）的作用下作直线运动，求： （1）质点的加速度；

（2）质点的速度和位置（设质点开始静止于坐标原点处）. 解:由牛顿第二运动定律

F?ktdv?F0?kt?a?0(ms?2)dtm12Ft?ktvtF?kt02dt?v?(ms?1) ?dv??0

mm00121312F0t?ktFt?ktxt0262dt?x?(m)?dx??mm00m

1

4．质量为m的质点最初静止在x0处，在力F??k/x(N)（k是常量）的作用下沿X轴运动，求质点在x处的速度。

解: 由牛顿第二运动定律

2F??k/x2?mvxdvdvdxdv?m?mvdtdxdtdxk2k11(?)(ms?1)?vdv???2dx?v?mxmxx00x0

5．已知一质量为m的质点在x轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x的平方成反比，即f??k/x2(N)，k是比例常数．设质点在 x=A时的速度为零，求

质点在x=A /4处的速度的大小． 解: 由牛顿第二运动定律

F??k/x2?mvxdvdvdxdv?m?mvdtdxdtdxk2k112k416kvdv??dx?v?(?)?(?)?(ms?1)??2mxmxx0mAAmA0x0

6．质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv(k为常数)作用，t=0时质点的速度为v0，证明

(1) t时刻的速度为v＝v0ek?()tm；

k?()tmv0(2) 由0到t的时间内经过的距离为x＝()［1-em］；

km)； k1(4)当t?mk时速度减至v0的，式中m为质点的质量．

e(3)停止运动前经过的距离为v0(证明: (1) t时刻的速度为v＝v0ek?()tm

F??kv?m

vtdvdtk?tdvkvkm???dt?ln??t?v?v0e?vmv0mv00

?()tmv0 (2) 由0到t的时间内经过的距离为x＝()［1-em］

kk xk?tdxv??v0emdtt0?dx??ve00k?tmk?tmv0dt?x?(1?em)k

2

(3)停止运动前经过的距离为v0(m) km) k 在x的表达式中令t=0得到: 停止运动前经过的距离为v0( (4)当t?mk时速度减至v0的

1，式中m为质点的质量． e 在v的表达式中令t?mk得到:

v1? v0e

7．质量为m的子弹以速度v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为Ｋ，忽略子弹的重力，求：

(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；

(2) 子弹进入沙土的最大深度． 解: 由牛顿第二运动定律

(1) mdvdvk??kv???dt dtvmt考虑初始条件,对上式两边积分:

k?tdvk???dt?v?v0em ?vmv00xmaxk?tmvdx???v0emdt?xmax?0 dtk0?v(2)

?08．质量为m的雨滴下降时，因受空气阻力，在落地前已是匀速运动，其速率为v = 5.0 m/s．设空

气阻力大小与雨滴速率的平方成正比，问：当雨滴下降速率为v = 4.0 m/s时，其加速度a多大？(取

g?9.8m/s2)

解: 由牛顿第二运动定律

雨滴下降未达到极限速度前运动方程为

mg?kv2?ma （1）

雨滴下降达到极限速度后运动方程为

mg?kv2?0 （2）

将v = 4.0 m/s代入（2）式得

k?mg （3） 2vmaxvv?42 由（1）、（3）式 av?4?g(1?2vmax)?10?(1?16)?3.6m/s2 259．一人在平地上拉一个质量为M的木箱匀速前进，如图. 木箱与地面间的摩擦系数μ＝0.6.设此人前进时，肩上绳的支撑点距地面高度为h＝1.5 m，不计箱高，问绳长l为多长时最省力? 解: 由牛顿第二运动定律有

Tsin??N?mg?0l M h Tcos???N?0??

3

联立以上2式得 T(?)??mgcos???sin?

上式T取得最小值的条件为 tg??hl2?h2??

由此得到 l?1234?2.9m2

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