2018年河北省衡水中学高考数学押题试卷（二）

2018年河北省衡水中学高考数学押题试卷（二）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1． 设集合A={x|﹣2＜x＜3，x∈Z}，B={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B为（ ）

A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}

2． 若复数z=x+yi（x，y∈R）满足（1+z）i=3﹣i，则x+y的值为（ ） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6 3． 若A．

B．

， C．

D．

，则sinα的值为（ ）

4． 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A={两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2}，则P（A）=（ ） A． B． C． D．

5． 定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90°的正角．已知双曲线E：

=1（a＞0，b＞0），当其离心率

时，对应

双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ） A．

B．

C．

D．

6． 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π+2，则它的表面积是（ ）

第1页（共30页）

A．C．

D．

B．

7． 函数y=sinx+ln|x|在区间[﹣3，3]的图象大致为（ ）

A． B． C．

D．

8． 已知函数（ ） A．1

B．

C．

D．

若，则a为

9． 执行下图的程序框图，若输入的x，y，n的值分别为0，1，1，则输出的n的值为（ ）

第2页（共30页）

A．81 B． C． D．

10． 已知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{bn}满足关系

，数列{bn}的前n项和为Sn，则S5的值为（ ）

A．﹣454 B．﹣450 C．﹣446 D．﹣442

11． 若函数f（x）=mlnx+x2﹣mx在区间（0，+∞）内单调递增．则实数m的取值范围为（ ）

A．[0，8] B．（0，8] C．（﹣∞，0]∪[8，+∞） D．（﹣∞，0）∪（8，+∞） 12． 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）

的图象如

图所示，令g（x）=f（x）+f'（x），则下列关于函数g（x）的说法中不正确的是（ ）

A．函数g（x）图象的对称轴方程为B．函数g（x）的最大值为

C．函数g（x）的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线l：y=3x﹣1平行 D．方程g（x）=2的两个不同的解分别为x1，x2，则|x1﹣x2|的最小值为

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13． 向量

，，若向量，共线，且

第3页（共30页）

，则mn的

值为 ．

14． 已知点A（﹣1，0），B（1，0），若圆x2+y2﹣8x﹣6y+25﹣m=0上存在点P使

，则m的最小值为 ．

15． 设x，y满足约束条件则3x+2y的最大值为 ．

16． 在平面五边形ABCDE中，已知∠A=120°，∠B=90°，∠C=120°，∠E=90°，AB=3，AE=3，当五边形ABCDE的面积为 ．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B﹣cos2C=（1）求角C； （2）若

，△ABC的面积为

，M为AB的中点，求CM的长．

．

时，则BC的取值范围

18．（12.00分）如图所示的几何体P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，AB=a，

，PB⊥AB，平面ABCD⊥平面PAB，AC∩BD=O，E为PD的中点，

G为平面PAB内任一点．

（1）在平面PAB内，过G点是否存在直线l使OE∥l？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；

（2）过A，C，E三点的平面将几何体P﹣ABCD截去三棱锥D﹣AEC，求剩余几何体AECBP的体积．

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19．（12.00分）某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A、B、C、D、E五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据图中抽样调查的数据，回答下列问题： （1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数；

（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？ （3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为E的16名学生（其中男生4人，女生12人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率..

20．（12.00分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为

?

，且过点P（，

），动直线l：y=kx+m交椭圆C于不同的两点A，B，且点）

（1）求椭圆C的方程．

=0（O为坐标原

（2）是讨论3m2﹣2k2是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，说明理由． 21．（12.00分）设函数f（x）=﹣a2lnx+x2﹣ax（a∈R）． （1）试讨论函数f（x）的单调性；

（2）如果a＞0且关于x的方程f（x）=m有两解x1，x2（x1＜x2），证明x1+x2＞2a．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

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22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：

（t为参数，a＞0），

在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4sinθ． （1）试将曲线C1与C2化为直角坐标系xOy中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a的取值范围；

（2）当a=3时，两曲线相交于A，B两点，求|AB|的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|．

（1）在给出的直角坐标系中作出函数y=f（x）的图象，并从图中找出满足不等式f（x）≤3的解集；

（2）若函数y=f（x）的最小值记为m，设a，b∈R，且有a2+b2=m，试证明：

．

第6页（共30页）

2018年河北省衡水中学高考数学押题试卷（二）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1． 设集合A={x|﹣2＜x＜3，x∈Z}，B={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B为（ ）

A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}

【分析】化简集合A，再由交集的定义，即可得到所求集合． 【解答】解：集合A={x|﹣2＜x＜3，x∈Z}={﹣1，0，1，2} B={﹣2，﹣1，0，1，2，3}， 则集合A∩B={﹣1，0，1，2}． 故选：B．

【点评】本题考查集合的交集的求法，注意运用化简变形和定义法，考查运算能力，属于基础题．

2． 若复数z=x+yi（x，y∈R）满足（1+z）i=3﹣i，则x+y的值为（ ） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6

【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．

【解答】解：由（1+z）i=3﹣i，可得：（1+z）i?（﹣i）=（3﹣i）?（﹣i），化为：1+z=﹣1﹣3i，可得z=﹣2﹣3i． ∴x=﹣2，y=﹣3． ∴x+y=﹣5． 故选：C．

【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

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3． 若A．

B．

， C．

D．

，则sinα的值为（ ）

【分析】由已知利用两角和的余弦函数公式可求cosα=函数基本关系式可求2sin2α+【解答】解：∵∴

cosα+

+sinα，结合同角三角

sinα﹣=0，进而解得sinα的值． ，

+sinα，

+sinα）2=1，整理可得：2sin2α+

sinα

，可得：sinα＞0，

sinα=，可得：cosα=

又∵sin2α+cos2α=1，可得：sin2α+（﹣=0， ∴解得：sinα=故选：A．

，或﹣

（舍去）．

【点评】本题主要考查了两角和的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．

4． 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A={两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2}，则P（A）=（ ） A． B． C． D．

【分析】基本事件总数n=6×6=36，记事件A={两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2}，利用列举法求出事件A包含的基本事件的个数，由此能求出P（A）．

【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子两次， 基本事件总数n=6×6=36，

记事件A={两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2}， 由事件A包含的基本事件有：

（2，4），（4，2），（4，6），（6，4），共4个， ∴P（A）=故选：A．

第8页（共30页）

．

【点评】本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．

5． 定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90°的正角．已知双曲线E：

=1（a＞0，b＞0），当其离心率

时，对应

双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】讨论离心率e=角；当离心率e∈（

，求得双曲线的渐近线方程y=±x，可得渐近线的夹

，2]时，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得的范

围，再由两直线的夹角公式，结合对勾函数的单调性，即可得到所求夹角范围． 【解答】解：当离心率e=即有b=

=a，

及=

，

可得双曲线的渐近线方程为y=±x， 即为y=±x，

则双曲线的渐近线的夹角为当离心率e∈（即为

；

，2]，

，2]时，即有∈（

，2]， ]，

∈（

化简可得∈（1，

又双曲线的渐近线的夹角的正切为||，

令t=∈（1，]，可得f（t）=||=||=，

由f（t）在（1，]递减，可得f（t）≥

，

），

，

可得夹角的取值范围为[

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综上可得对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为[故选：D．

，]．

【点评】本题考查双曲线的渐近线的夹角的范围，注意运用分类讨论思想方法，以及双曲线的离心率公式，构造函数法，运用单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

6． 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π+2，则它的表面积是（ ）

A．C．

D．

B．

【分析】由三视图得到几何体是圆锥沿两条母线切去部分剩下的部分，由已知数据计算表面积．

【解答】解：由已知三视图得到几何体是圆锥沿两条母线切去部分剩下的部分，其中母线在底面的射影是垂直的半径，母线长度为所以几何体的体积为所

以

几

何

体

的

表

，

=3π+2，所以a=2，

面

积

为=

；

故选：A．

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【点评】本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积和表面积‘关键是正确还原几何体的形状；根据三视图数据计算．

7． 函数y=sinx+ln|x|在区间[﹣3，3]的图象大致为（ ）

A． B． C．

D．

【分析】判断f（x）的奇偶性，在（0，1）上的单调性，计算f（1），结合选项即可得出答案．

【解答】解：设f（x）=sinx+ln|x|，

当x＞0时，f（x）=sinx+lnx，f′（x）=cosx+，

∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，1）上单调递增，排除B； 又当x=1时，f（1）=sin1＞0，排除D；

∵f（﹣x）=sin（﹣x）+ln|﹣x|=﹣sinx+ln|x|≠±f（x）， ∴f（x）既不是奇函数，也不是偶函数，排除C； 故选：A．

【点评】本题考查了函数图象判断，一般从奇偶性，单调性，特殊点等方面进行

第11页（共30页）

判断，属于中档题．

8． 已知函数（ ） A．1

B．

C．

D．

若，则a为

【分析】推导出f（3）==1，从而f（f（3））=f（1）==，进

而f（f（f（3）））=f（）==﹣，由此能求出a的值．

【解答】解：∵函数

∴f（3）=

f（f（3））=f（1）=∵

=1，

=，

，

∴f（f（f（3）））=f（）==﹣，

解得a=．

故选：D．

【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

9． 执行下图的程序框图，若输入的x，y，n的值分别为0，1，1，则输出的n的值为（ ）

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A．81 B． C． D．

【分析】由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【解答】解：模拟程序的运行，可得 x=0，y=1，n=1

执行循环体，x=1，y=1，

满足条件y2≥x，执行循环体，n=2，x=2，y=， 满足条件y2≥x，执行循环体，n=3，x=9，y=， 不满足条件y2≥x，退出循环，n=9×=输出的n的值为故选：C．

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

10． 已知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{bn}满足关系

，数列{bn}的前n项和为Sn，则S5的值为（ ）

A．﹣454 B．﹣450 C．﹣446 D．﹣442

【分析】数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，可得an=2n﹣1．数列{bn}满足关系

，n≥2时，

+

+…+

=

，可得：

．

．

=﹣

，可得bn=（1﹣2n）?2n．n=1时，可得b1，即可得出．

【解答】解：数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，∴an=1+2（n﹣1）=2n

第13页（共30页）

﹣1．

数列{bn}满足关系

，

∴n≥2时，++…+=，

可得：n=1时，

=﹣

，可得bn=（1﹣2n）?2n．

=，解得b1=2．

S5=2﹣3×22﹣5×23﹣7×24﹣9×25=﹣450． 故选：B．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

11． 若函数f（x）=mlnx+x2﹣mx在区间（0，+∞）内单调递增．则实数m的取值范围为（ ）

A．[0，8] B．（0，8] C．（﹣∞，0]∪[8，+∞） D．（﹣∞，0）∪（8，+∞） 【分析】求出函数的导数，得到m（x﹣1）≤2x2在（0，+∞）递增，通过讨论x的范围，分离参数m，根据函数的单调性求出m的范围即可． 【解答】解：f′（x）=+2x﹣m=若f（x）在（0，+∞）递增，

则2x2﹣mx+m≥0在（0，+∞）恒成立， 即m（x﹣1）≤2x2在（0，+∞）递增， ①x∈（0，1）时，只需m≥令p（x）=则p′（x）=

，x∈（0，1），

=

＜0，

在（0，1）恒成立，

，

故p（x）在（0，1）递减，x→0时，p（x）→0，x→1时，p（x）→﹣∞， 故p（x）＜0，m≥0；

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②x=1时，m≥0，

③x∈（1，+∞）时，只需m≤令q（x）=则q′（x）=

，x∈（1，+∞），

=

，

在（1，+∞）恒成立，

令q′（x）＞0，解得：x＞2，令q′（x）＜0，解得：x＜2， 故q（x）在（1，2）递减，在（2，+∞）递增， 故q（x）的最小值是q（2）=8， 故m≤8，

综上，m∈[0，8]． 故选：A．

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．

12． 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）

的图象如

图所示，令g（x）=f（x）+f'（x），则下列关于函数g（x）的说法中不正确的是（ ）

A．函数g（x）图象的对称轴方程为B．函数g（x）的最大值为

C．函数g（x）的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线l：y=3x﹣1平行 D．方程g（x）=2的两个不同的解分别为x1，x2，则|x1﹣x2|的最小值为

【分析】根据函数f（x）的图象求出A、T、ω和φ的值，写出f（x）的解析式，

第15页（共30页）

求出f′（x），写出g（x）=f（x）+f′（x）的解析式，再判断题目中的选项是否正确．

【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象知， A=2，=∴T=2π，ω=

﹣

==1；

，

根据五点法画图知， 当x=∴φ=

时，ωx+φ=，

）； ）， +φ=

，

∴f（x）=2sin（x+∴f′（x）=2cos（x+

∴g（x）=f（x）+f′（x） =2sin（x+=2=2令x+

sin（x+sin（x+

=

）+2cos（x++

） ）； +kπ，k∈Z， +kπ，k∈Z，

+kπ，k∈Z，A正确；

，B正确；

）

解得x=﹣

∴函数g（x）的对称轴方程为x=﹣当x+

=

+2kπ，k∈Z时，函数g（x）取得最大值2cos（x+

），

g′（x）=2

假设函数g（x）的图象上存在点P（x0，y0），使得在P点处的切线与直线l：y=3x﹣1平行， 则k=g′（x0）=2解得cos（x0+

cos（x0+）=

）=3，

＞1，显然不成立，

所以假设错误，即C错误；

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方程g（x）=2，则2∴sin（x+∴x+

=

）=

，

sin（x+）=2，

+2kπ或x+=+2kπ，k∈Z；

∴方程的两个不同的解分别为x1，x2时， |x1﹣x2|的最小值为故选：C．

【点评】本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定解析式，也考查了导数的应用以及命题真假的判断问题，是难题．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13． 向量值为 ﹣8 ．

【分析】由题意得到关于m，n的方程组，求解得到m，n的值，则答案可求． 【解答】解：由

，且

，即

解得：∴mn=﹣8． 故答案为：﹣8．

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础题．

14． 已知点A（﹣1，0），B（1，0），若圆x2+y2﹣8x﹣6y+25﹣m=0上存在点P使

，则m的最小值为 16 ．

cosθ，3+

sinθ），由圆x2+y2﹣8x﹣6y+25﹣m=0上存在点P

sin（θ+φ）=0，从而m﹣10

+24=0，由

或

． ，，得：

．

，

，

，若向量，共线，且

，则mn的

，D正确．

【分析】设P（4+使

，得到

=24+m+10

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此能求出m的最小值．

【解答】解：∵圆x2+y2﹣8x﹣6y+25﹣m=0的圆心C（4，3），半径r=A（﹣1，0），B（1，0）， ∴设P（4+则

cosθ，3+

sinθ），

），

=（﹣3﹣

，

cosθ，﹣3﹣

）， ，

=（﹣5﹣cosθ，﹣3﹣

∵圆x2+y2﹣8x﹣6y+25﹣m=0上存在点P使∴

=15+8

cosθ+mcos2θ+9+6

sinθ+msin2θ

=24+m+10∴m﹣10

sin（θ+φ）=0，

+24=0，解得m=36或m=16．

∴m的最小值为16． 故答案为：16．

【点评】本题考查实数值的最小值的求法，考查直线方程、圆的参数方程、向量的数量积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

15． 设x，y满足约束条件则3x+2y的最大值为 ．

【分析】画出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用z的几何意义即可得到结论．

【解答】解：作出约束条件对应的平面区域如图：

由z=3x+2y得y=平移直线y=

x+z，

x+z，

x+z经过点A时，

由图象可知当直线y=

直线的截距最大，此时z最大． 由

，解得A（，），此时zmax=3×+2×=

第18页（共30页）

，

故答案为：．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．

16． 在平面五边形ABCDE中，已知∠A=120°，∠B=90°，∠C=120°，∠E=90°，AB=3，AE=3，当五边形ABCDE的面积[，3） ．

时，则BC的取值范围为

【分析】连接AB，可判断，△ABE是个等腰三角形，四边形BCDE是等腰梯形， 设BC=x，则SBCDE=（3由SBCDE∈[

，

+3

﹣x）×

），即可得15≤（6﹣x）x＜27，解得≤x．

【解答】解：如图，连接AB，

∵∠A=120°，∠B=90°，∠C=120°，∠E=90°，AB=3，AE=3， ∴△ABE是个等腰三角形，∠D=120° S△ABE=

，BE=2AB×sin30°=3

，

在等腰梯形BCDE中，∠C=∠D=120°，∠CBE=∠DEB=60°，设BC=x， 则CD=3

﹣2BC×cos60°=3+3

﹣x）×

，

SBCDE=（3

当五边形ABCDE的面积即15≤（6

时，SBCDE∈[≤x

，）

﹣x）x＜27，解得

第19页（共30页）

故答案为：[，3）

【点评】本题考查了三角形、梯形的面积计算，考查了函数的思想，属于中档题．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B﹣cos2C=（1）求角C； （2）若

，△ABC的面积为

，M为AB的中点，求CM的长．

，由正弦定理，得=

=

，由此能求出

．

【分析】（1）推导出sin2C﹣sin2B=sin2A﹣

．由余弦定理，得cosC=

∠C． （2）由

理，能求出CM．

得到

=

，求出a=4，再由余弦定

【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B﹣cos2C=

∴sin2C﹣sin2B=sin2A﹣由正弦定理，得c2﹣b2=a2﹣即

．

=

．

．

=

．

．

． ，

又由余弦定理，得cosC=∵0＜∠C＜π，∴∠C=（2）∵

，∴△ABC为等腰三角形，且顶角

第20页（共30页）

故=，解得a=4．

在△MBC中，由余弦定理，得：

CM2=MB2+BC2﹣2MB?BCcosB=4+16+2×2×解得CM=2

．

=28．

【点评】本题考查三角形的内角求法，考查三角形的边的求法，考查同角三角函数关系式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

18．（12.00分）如图所示的几何体P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，AB=a，

，PB⊥AB，平面ABCD⊥平面PAB，AC∩BD=O，E为PD的中点，

G为平面PAB内任一点．

（1）在平面PAB内，过G点是否存在直线l使OE∥l？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；

（2）过A，C，E三点的平面将几何体P﹣ABCD截去三棱锥D﹣AEC，求剩余几何体AECBP的体积．

【分析】（1）由题可知O为BD的中点，又E为PD的中点，可得OE∥PB．若点G在直线PB上，则直线PB即为所求作直线l，有OE∥l；若点G不在直线PB上，在平面PAB内，过点G作直线l，使l∥PB，由平行公理可得OE∥l，即过G点存

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在直线l使OE∥l；

（2）连接EA，EC，则平面ACE将几何体分成两部分，利用等积法求出VD﹣AEC=VE

﹣ACD

==，再由VP﹣ABCD﹣VD﹣EAC求得何体AECBP的体积．

【解答】解：（1）过G点存在直线l使OE∥l，理由如下： 由题可知O为BD的中点，又E为PD的中点， ∴在△PBD中，有OE∥PB．

若点G在直线PB上，则直线PB即为所求作直线l， ∴OE∥l；

若点G不在直线PB上，在平面PAB内， 过点G作直线l，使l∥PB， 又OE∥PB，∴OE∥l，

即过G点存在直线l使OE∥l；

（2）连接EA，EC，则平面ACE将几何体分成两部分： 三棱锥D﹣AEC与几何体AECBP（如图所示）． ∵平面ABCD⊥平面PAB，且交线为AB， 又PB⊥AB，∴PB⊥平面ABCD． 故PB为几何体P﹣ABCD的高．

又四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，AB=a，∴S四边形ABCD=2×∴

又OE∥PB，OE=∴VD﹣AEC=VE﹣ACD=

=

，∴OE⊥平面ACD，

=

，

．

，

． ，

∴几何体AECBP的体积V=VP﹣ABCD﹣VD﹣EAC=

第22页（共30页）

【点评】本题考查平面与平面垂直的性质，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．

19．（12.00分）某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A、B、C、D、E五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据图中抽样调查的数据，回答下列问题： （1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数；

（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？ （3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为E的16名学生（其中男生4人，女生12人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率..

【分析】（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B，由此可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率，从而能求出该校高三年级学生获得成绩等级为B的人数．

（2）这100名学生成绩的平均分为91.3分，由91.3＞90，得到该校高三年级目

第23页（共30页）

前学生的“考前心理稳定整体”已过关．

（3）按分层抽样抽取的4人中有1名男生，3名女生，记男生为a，3名女生分别为b1，b2，b3．利用列举法能求出从中抽取2人其中恰好抽到1名男生的概率． 【解答】解：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B， 故可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为则该校高三年级学生获得成绩等级为B的人数约有（

2

）

这

100

名

学

生

成

绩

的

平，

． 均

分

为

=91.3（分），

因为91.3＞90，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关． （3）按分层抽样抽取的4人中有1名男生，3名女生，记男生为a，3名女生分别为b1，b2，b3．

从中抽取2人的所有情况为ab1，ab2，ab3，b1b2，b1b3，b2b3，共6种情况， 其中恰好抽到1名男生的有ab1，ab2，ab3，共3种情况，故所求概率

．

【点评】本题考查条形图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．

20．（12.00分）已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的离心率为

?

，且过点P（

，

），动直线l：y=kx+m交椭圆C于不同的两点A，B，且点）

（1）求椭圆C的方程．

=0（O为坐标原

（2）是讨论3m2﹣2k2是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，说明理由． 【分析】（1）由椭圆的离心率为得

=1，由此求出a=

，得到a2=2b2，由点P（

，

）在椭圆上，

，b=1，从而能求出椭圆方程．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由=0，得x1x2+y1y2=0．联立方程组，

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得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、椭圆性质，结合已知条件能求出3m2﹣2k2为定值2． 【解答】（本小题满分12分） 解：（1）椭圆C：∴由题意可知=又点P（

，

+

=1（a＞b＞0）的离心率为

，

，∴a2=2c2=2（a2﹣b2），即a2=2b2，① ）在椭圆上，∴

，b=1，

=1．…（5分）

=0，得x1x2+y1y2=0． =1，②

由①②联立，解得a=故所求的椭圆方程为

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由

联立方程组

，消去y化简整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，

由△=16k2m2﹣8（m2﹣1）（1+2k2）＞0， 得1+2k2＞m2，∴又由题知x1x2+y1y2=0，

即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，

整理为（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0．…（9分） 将③代入上式，得（1+k2）?

﹣km?

+m2=0，

，

，③

化简整理得=0，

从而得到3m2﹣2k2=2．…（12分）

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查代数式是否为定值的判断与求法，考查椭圆性质、直线方程、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

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21．（12.00分）设函数f（x）=﹣a2lnx+x2﹣ax（a∈R）． （1）试讨论函数f（x）的单调性；

（2）如果a＞0且关于x的方程f（x）=m有两解x1，x2（x1＜x2），证明x1+x2＞2a．

【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可； （2）得﹣

+

（x1+x2﹣a）=0，把

（x1+x2﹣a）=

代入

（*）式，令=t，得只需证﹣+lnt＜0．令φ（t）=﹣+lnt（0＜t

＜1），根据函数的单调性证明即可．

【解答】解：（1）由f（x）=﹣a2lnx+x2﹣ax， 可知f′（x）=﹣

+2x﹣a=

=

，

因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），所以，

①若a＞0，则当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减， 当x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；

②若a=0，则当f'（x）=2x＞0在x∈（0，+∞）内恒成立，函数f（x）单调递增； ③若a＜0，则当x∈（0，﹣）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减， 当x∈（﹣，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增． （2）要证x1+x2＞2a，只需证设g（x）=f'（x）=﹣因为g′（x）=

+2x﹣a，

＞a．

+2＞0，

所以g（x）=f'（x）为单调递增函数． 所以只需证f′（即证﹣只需证﹣

）＞f′（a）=0，

+x1+x2﹣a＞0， +

（x1+x2﹣a）＞0．（*）

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又﹣a2lnx1+﹣ax1=m，﹣a2lnx2+

﹣ax2=m，

+

（x1+x2﹣a）=0．

所以两式相减，并整理，得﹣

把

（x1+x2﹣a）=

代入（*）式，

得只需证﹣+＞0，

可化为﹣+ln＜0．

令=t，得只需证﹣+lnt＜0．

令φ（t）=﹣则φ′（t）=﹣

+lnt（0＜t＜1）， +=

＞0，

所以φ（t）在其定义域上为增函数， 所以φ（t）＜φ（1）=0． 综上得原不等式成立．

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想以及换元思想，是一道综合题．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：

（t为参数，a＞0），

在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4sinθ． （1）试将曲线C1与C2化为直角坐标系xOy中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a的取值范围；

（2）当a=3时，两曲线相交于A，B两点，求|AB|的值．

【分析】（1）曲线C1消去参数t，得到曲线C1的普通方程为（x﹣3）2+（y﹣2）

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2

=a2．由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，能求出曲线C2的普通方程为x2+（y﹣2）2=4．曲

线C1是以C1（3，2）为圆心，r1=a为半径的圆，曲线C2是以（0，2）为圆心，r2=2为半径的圆，由此能当两曲线有公共点时a的取值范围．

22

（2）当a=3时，曲线C1为（x﹣3）+（y﹣2）=9，联立方程

，

得两曲线的交点A，B所在直线方程为

的距离为

，由此能求出|AB|．

，曲线x2+（y﹣2）2=4的圆心到直线

【解答】解：（1）曲线C1：

消去参数t，

得到曲线C1的普通方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=a2． 由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ．

故曲线C2：ρ=4sinθ化为平面直角坐标系中的普通方程为x2+（y﹣2）2=4． 曲线C1是以C1（3，2）为圆心，r1=a为半径的圆， 曲线C2是以（0，2）为圆心，r2=2为半径的圆，

|C1C2|=3，∴当两曲线有公共点时，|a﹣2|≤3≤a+2，解得1≤a≤5， ∴当两曲线有公共点时a的取值范围为[1，5]． （2）当a=3时，曲线C1：联立方程

，即（x﹣3）2+（y﹣2）2=9，

消去y，得两曲线的交点A，B所在直线方程为

的距离为

，

．

曲线x2+（y﹣2）2=4的圆心到直线所以

．

【点评】本题考查圆的普通方程的求法，考查弦长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|．

（1）在给出的直角坐标系中作出函数y=f（x）的图象，并从图中找出满足不等

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式f（x）≤3的解集；

（2）若函数y=f（x）的最小值记为m，设a，b∈R，且有a2+b2=m，试证明：

．

【分析】（1）求出f（x）的分段函数的形式，画出函数的图象，结合图象求出不等式的解集即可； （2）求出m的值，得到

，根据不等式的性质证明即可．

【解答】解：（1）因为f（x）=|2x﹣1|+|x+1|=，

所以作出函数f（x）的图象如图所示．

从图中可知满足不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，1]． （2）证明：从图中可知函数y=f（x）的最小值为，即所以故=

，从而

，

+

）

， ．

=[（a2+1）+（b2+1）]（

当且仅当即所以

，

时，等号成立，

时，原式有最小值，

得证．

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【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及数形结合思想，考查不等式的性质，是一道中档题．

第30页（共30页）

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