05第五章频率响应法1

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第五章线性系统的频率分析法对于自动控制系统，可以进行时域分析法，根轨迹分析法，也可以利用系统的频率特性分析系统的性能 —— 频率分析法，又称频域响应法(图解法)。它是分析和设计系统的一种有效经典方法。 1932 年， Nyquist 提出了一种根据闭环控制系统的开环频率特性概念，确定闭环控制系统稳定性(绝对稳定、相对稳定)的方法。频率分析法早期用于通讯领域控制领域。本章研究内容频率特性概念及表示法，典型环节的频率特性绘制(Nyquist图、 Bode图 ),系统开环频率特性的绘 1 制，Nyquist稳定判据，稳定裕度和频域指标。

频率分析法的特点(1)频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定(建模),这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。 (2)由于频率响应法主要通过闭环系统中的开环频率特性的图形对系统(一阶、二阶、高阶)进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。 (3)用频域法设计控制系统，可以兼顾动态、稳态和噪声抑制三方面要求。 (4)频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且 2 还适用于传递函数含滞后环节系统的分析。

5-1 频率特性(图说明) 40

不

设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。

输入一个幅值不变，频率不断增大的正弦信号。曲线如下:

结论Ar=1 =0.5

给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入

同频率的正弦，幅值随频率变，相角也随频率变。

=2.5

=43

频率特性(公式推导)设稳定的线性定常控制系统

b0 s b1s 传递函数： G ( s) a0 s n a1s n 1 m

m 1

输入量： r (t ) Ar sin( t )

Ar Ar R( s ) 2 2 s ( s j )(s j )

bm an

n m

U ( s) Ar 2 系统输出： C (s) G(s) R(s) ( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) s 2

G(s) 的极点

s1 , s2 , snn

两两互异且具有负实部4

Bi A A 稳定系统： C ( s) s j s j i 1 s si

c(t ) Ae

j t

Ae Be ij t i 1

sit

C ( s) i 1

Bi A A s si s j s j

稳态响应

瞬态响应趋向于零(t )

Css (t ) Ae j t A e j tA G(s)

系数 A、A 用留数法获取

Ar Ar Ar ( s j ) G ( j ) ( s j ) G ( j ) s j s j s2 2 (s j )(s j ) 2j

Ar Ar Ar A G(s) 2 2 (s j ) s j G( j ) (s j ) s j G( j ) s (s j )(s j ) 2j

G ( j ) 是一个复数向量，可表示为

a( ) jb( ) j G( j ) G( j ) G( j ) e c( ) jd( )

A (

) e

j ( )5

G( j ) G( j ) e j G( j ) A( )e j ( )Css (t ) Ae j t j t

e j e j sin 2j

Ar j ( ) j t Ar j ( ) j t A e =A( ) e e A( ) e e 2j 2j

稳态输出Css (t ) A( ) Ar sin( t ( ))稳定的线性系统：Css(t)输出与输入r(t)具有相同频率的正弦信号

A( ) G( j ) ( ) G( j )

幅频特性：输出与输入的幅值比相频特性：输出与输入的相角差

频率特性：零初始条件时线性系统在正弦信号作用下，输出响应的稳态分量与输入量之比。G( j ) A( )ej ( 6)

例题1解：

r(t) 2sin(t 30 )0

1 S 1

Css (t ) ?

Ar 2 11 S 1 1 S 1

C (S ) G( S ) S R( S ) G( S ) 1

1 1 S 21

1 S S 1 j 1 j 1j 2 0.45e 26.6 0 j

1 0

tg j 1 1 2

css (t ) 2 0.45sin t 30 26.6 0.9 sin t 3.40

频率特性、传递函数和微分方程频率特性、传递函数和微分方程的关系G( j ) G(s) s j 描述等价的条件是什么？P d dt

微分方程

G (s)传递函数控制系统频率特性

G ( j )

s j

线性、定常、零初始值的系统

频率特性(极坐标表示)

-----Nyquist图

幅相频率特性曲线，又称为极坐标图

G( j ) A( )e

j ( )

当输入信号的频率 0 ~ 变化时，向量 G ( j ) 的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图:奈奎斯特(Nyquist) 曲线,又称奈氏图 Im 0 G ( j ) A ( )

( )o

Re9

频率特性(直角坐标表示)

G ( j ) R ( ) jI ( )实频特性2

G( j ) A( )eImI ( ) A( )

j ( )

虚频特性2

A( ) G( j ) R ( ) I ( )I ( ) ( ) G( j ) arctan R( )

G ( j )

R( ) A( ) cos ( )I ( ) A( ) sin ( )o

( )R ( ) Re10

频率特性(对数坐标表示)对数频率特性曲线20 lg G( j ) 对数幅频特性

---Bode图L ( ) /dB

相频特性 G( j )

( )

/(°)

纵坐标按等线性分度(分贝、角度) 横坐标是角频率按 lg 分度 10倍频程，用dec

注意：横坐标每 10 倍频程段刻度是相同的，但标识是整10倍关系参见P168图5-6

20 dB dec

读作：负20分贝十倍频程

L( ) / dB

60 40 20 00.01 0.04 0.1 0.2

-20 dB dec0.4

L ( 20lg 1 )lg 2 4 10 20 40

100

-20-40 -60 900 00 -900

rad s

( ) 0

积分环节Bode图

( 1 )

2lg

rad s

5-2 典型环节与开环系统频率特性Nyquist提出了一种根据闭环

控制系统的开环频率特性，确定闭环控制系统稳定性(相对)的方法。R(S)

任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组成。l

E(S )B(S)1 ( m l ) 2 i 1

G(S ) H (S )

C(S)

Ke G(S ) H (S ) S

( S 1) ( i i 1 1 ( n h ) 2 j 1 j 2 j

2 i

S 2 i i S 1)2 2

(T S 1) (Tj 1

S 2 jT j S 13 1)

最小相位系统与非最小相位系统概念(1)最小相位(闭环)系统在右半s平面内既无开环传递函数极点也无开环传递函数零点的系统。最小相位系统：具有最小相位传递函数的系统 (2)非最小相位(闭环)系统在右半s平面内有开环极点和(或)零点的传递函数。非最小相位系统：具有非最小相位传递函数的系统最小相位系统，其传递函数由单一的幅值特性或相角特性唯一确定(分析简单)。非最小相位系统，其传递函数则是由幅值特性和相角特性共同确定。

1.典型环节一、最小相位环节(开环极、零点都位于S左半平面) 1 (1)比例环节 G(S ) K , ( K 0) (2)积分环节 S (4)惯性环节1 , TS 1 (T 0)

(3) 微分环节 S (6)振荡环节

(5)一次微分环节

TS 1, (T 0)

2 n 1 1 2 , T 0, 0 1 2 2 2 T S 2 TS 1 S 2 n S n n

(7)二次微分环节 2 2 S 2 S 1 2 2 n n T S 2 TS 1 , T 0, 0 151 2

一、非最小相位典型环节(有开环极、零点位于S右半平面) S

(1) 滞后环节 (3)惯性环节

e , 0

(2)比例环节 K , ( K 0)

1 , TS 1

(T 0)