计量经济复习

2014计量经济复习

第一章 绪论

2.1.3建立与应用计量经济学模型的主要步骤 建立与应用计量经济学模型的主要步骤如下：

（1）设定理论模型，包括选择模型所包含的变量，确定变量之间的数学关系和拟定模型中待估参数的数值范围；

（2）收集样本数据，要考虑样本数据的完整性、准确性、可比性和一致性； （3）估计模型参数；

（4）检验模型，包含经济意义检验、统计检验、计量经济学检验和模型预测检验。P15\\16例子

2.1.4模型的检验包括几个方面？具体含义是什么？

模型检验主要包含经济意义检验、统计检验、计量经济学检验和模型预测检验四个方面。在经济意义检验中，需要检验模型是否符合经济意义。检验求得参数估计值的符号与大小是否根据人们的经验和经济理论所拟定的期望值相符合；在统计检验中，需要检验模型参数估计值的可靠性，即检验模型的统计学性质（拟合优度检验、变量和方程的显著性检验）；在计量经济学检验中，需要检验模型的计量经济学性质，包括随机干扰项的序列相关性检验、异方差性检验，解释变量的多重共线性检验，模型设定的偏误性检验等；模型的预测检验主要检验模型参数估计值的稳定性及样本容量发生变化时的灵敏度，以确定所建立的模型是否可以用于样本观测值以外的范围。

第二章 一元线性回归

例1 令Y表示一名妇女生育孩子的生育率，X表示该妇女接受教育的年数。生育率对教育年数的简单回归模型为：Y??0??1X??

（1）随机干扰项?包含什么样的因素？他们可能与教育水平相关吗？ （2）上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其它条件不变下的影响吗？请解释？（2.2 模型的基本假设P29）

答案：

（1）收 入、年 龄、家 庭 状 况 、政 府 的相关 政 策 也 是 响 生 育 率 的 重 要 的因素，在上述简单回归模型中，它们被包含在了随机干扰项中。有些因素可能与教育水平相关，如收入水平与教育水平往往呈正相关，年龄大小与教育水平呈负相关。

（2）当归结在随机干扰项中的重要影响因素与模型中的教育水平X相关时，上述回归模型不能够揭示在其它条件不变下教育对生育率的影响，因为这时出现解释变量与随机干扰项相关的情形，违背了基本假设。

例2．已知回归模型E????N??，式中E为某类公司一名新员工的起始薪金（单位：元），N为所受教育水平（单位：年）。随机干扰项?的分布未知，其他所有假设都满足。

（1）从直观及经济角度解释?和?。

?满足线性性、无偏性及有效性吗？简单陈述理由。?和?（2）OLS估计量?（2.3P38）

（3）对参数的假设检验还能进行吗？简单陈述理由。（2.4P46）

解答：

（1）???N为接受过N年教育的员工的总体平均起始薪金。当N为零时，平均薪金为?，因此?表示没有接受过教育的员工的平均起始薪金。?是每单位N变化所引起的E的变化，即表示每多接受一年教育所对应的薪金增加值。

?仍满足线性性、无偏性及有效性，因为这些性质的?和?（2）OLS估计量?的成立无需随机干扰项?的正态分布假设。

（3）如果?的分布未知，则所有的假设检验都是无效的。因为t检验与F检验是建立在?的正态分布假设之上的。

例7．对于人均存款与人均收入之间的关系式St????Yt??t，使用美国36年的年度数据得如下估计模型，括号内为标准差：

??384.105?0.067YStt(151.105)(0.011)

??19.092 3R2 ＝0.538 ?（1）?的经济解释是什么？

（2）?和?的符号是什么？为什么？实际的符号与你的直觉一致吗？如果有冲突的话，你可以给出可能的原因吗？

（3）对于拟合优度你有什么看法吗？

（4）检验是否每一个回归系数都与零显著不同（在1%水平下）。同时对零假设和备择假设、检验统计值及其分布和自由度，以及拒绝零假设的标准进行陈述。你的结论是什么？

解答：

（1）?为收入的边际储蓄倾向，表示人均收入每增加1美元时人均储蓄的预期平均变化量。

（2）由于收入为零时，家庭仍会有支出，可预期零收入时的平均储蓄为负，因此?符号应为负。储蓄是收入的一部分，且会随着收入的增加而增加，因此预期?的符号为正。实际的回归式中，?的符号为正，与预期的一致。但截距项为正，与预期不符。这可能是由于模型的错误设定造成的。例如，家庭的人口数可能影响家庭的储蓄行为，省略该变量将对截距项的估计产生影响；另一种可能就是线性设定在此处不正确。

（3）拟合优度刻画解释变量对被解释变量变化的解释能力。模型中53.8%的拟合优度表明收入的变化可以解释储蓄中53.8 %的变动。

（4）检验单个参数采用t检验，零假设为参数为零，备择假设为参数不为零。双变量情形下，在零假设下t 分布的自由度为n-2=36-2=34。由t分布表知，双侧1%下的临界值位于2.750与2.704之间。斜率项计算的t值为0.067/0.011=6.09，截距项计算的t值为384.105/151.105=2.54。可见斜率项计算的t 值大于临界值，截距项小于临界值，因此拒绝斜率项为零的假设，但不拒绝截距项为零的假设。

第三章 经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型

例1．某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为：

Y=10.36-0.094X1+0.131X2+0.210X3

R2=0.214

其中，Y为劳动力受教育年数，X1为该劳动力家庭中兄弟姐妹的人数，X2与X3分别为母亲与父亲受到教育的年数。问

（1）X1是否具有预期的影响？为什么？若X2与X3保持不变，为了使预测的受教育水平减少一年，需要X1增加多少？ （2）请对X2的系数给予适当的解释。

（3）如果两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其中一个的父母受教育的年数为12年，另一个的父母受教育的年数为16年，则两人受教育的年数预期相差多少？

解答：（1）预期X1对劳动者受教育的年数有影响。因此在收入及支出预算约束一定的条件下，子女越多的家庭，每个孩子接受教育的时间会越短。

根据多元回归模型偏回归系数的含义，X1前的参数估计值-0.094表明，在其他条件不变的情况下，每增加1个兄弟姐妹，受教育年数会减少0.094年，因此，要减少1年受教育的时间，兄弟姐妹需增加1/0.094=10.6≈11个。

（2）X2的系数表示当兄弟姐妹数与父亲受教育的年数保持不变时，母亲每增加1年受教育的机会，其子女作为劳动者就会预期增加0.131年的教育机会。 （3）首先计算两人受教育的年数分别为

10.36+0.131?12+0.210?12=14.452 10.36+0.131?16+0.210?16=15.816

因此，两人的受教育年限的差别为15.816-14.452=1.364

例2、为研究中国各地区入境旅游状况，建立了各省市旅游外汇收入（Y，百万美元）、旅行社职工人数（X1，人）、国际旅游人数（X2，万人次）的模型，用某年31个省市的截面数据估计结果如下：

?30.117X91i?1.545X22i Yi??151.026? t=(-3.066806) (6.652983) (3.378064)

2 R2=0.934331 R?0.92964 F=191.1894 n=31

从经济意义上考察估计模型的合理性。

在5%显著性水平上，分别检验参数?1,?2的显著性。 在5%显著性水平上，检验模型的整体显著性。

答：有模型估计结果可看出：旅行社职工人数和国际旅游人数均与旅游外汇收入正相关。平均说来，旅行社职工人数增加1人，旅游外汇收入将增加0.1179百万美元；国际旅游人数增加1万人次，旅游外汇收入增加1.5452百万美元。

取??0.05，查表得t0.025(31?3)?2.048

因为3个参数t统计量的绝对值均大于t0.025(31?3)?2.048，说明经t检验3个参数均显著不为0，即旅行社职工人数和国际旅游人数分别对旅游外汇收入都有显著影响。

取

??0.05，查表得

F0.05(2,28)?3.34，由于

F?199.1894?F0.05(2,28)?3.34，说明旅行社职工人数和国际旅游人数联合起来对旅游外汇收入有显著影响，线性回归方程显著成立。

例3．以企业研发支出（R&D）占销售额的比重为被解释变量Y，以企业销售额X1与利润占销售额的比重X2为解释变量，一个容量为32的样本企业的估计结果如下：

Y?0.472?0.32log(X1)?0.05X2(1.37)(0.22)(0.046)

R2?0.099 其中括号中为系数估计值的标准差。

（1）解释log(X1)的系数。如果X1增加10%，估计Y会变化多少个百分点？这在经济上是一个很大的影响吗？

（2）针对R&D强度随销售额的增加而提高这一备择假设，检验它不随X1而变化的假设。分别在5%和10%的显著性水平上进行这个检验。

（3）利润占销售额的比重X2对R&D强度Y是否在统计上有显著的影响？ 解答：（1）log(x1)的系数表明在其他条件不变时，log(x1)变化1个单位，Y变化的单位数，即?Y=0.32?log(X1)?0.32(?X1/X1)=0.32?100%，换言之，当企业

销售X1增长100%时，企业研发支出占销售额的比重Y会增加32个百分点。由此，如果X1增加10%，Y会增加3.2个百分点。这在经济上不是一个较大的影响。

（2）针对备择假设H1：?1?0，检验原假设H0：?1?0。易知计算的t统计量的值为t=0.32/0.22=1.455。在5%的显著性水平下，自由度为32-3=29的t 分布的临界值为1.699（单侧），计算的t值小于该临界值，所以不拒绝原假设。意味着R&D强度不随销售额的增加而变化。在10%的显著性水平下，t分布的临界值为1.311，计算的t 值大于该值，拒绝原假设，意味着R&D强度随销售额的增加而增加。

（3）对X2，参数估计值的t统计值为0.05/0.46=1.087，它比在10%的显著性水平下的临界值还小，因此可以认为它对Y在统计上没有显著的影响。

例4．下表为有关经批准的私人住房单位及其决定因素的4个模型的估计量和相关统计值（括号内为p-值）（如果某项为空，则意味着模型中没有此变量）。数据为美国40个城市的数据。模型如下：

Y??0??1X1??2X2??3X3??4X4??5X5??6X6??7X7?u

式中Y——实际颁发的建筑许可证数量，X1——每平方英里的人口密度，X2——自有房屋的均价（单位：百美元），X3——平均家庭的收入（单位：千美元），X4——1980~1992年的人口增长百分比，X5——失业率，X6——人均交纳的地方税，X7——人均缴纳的州税

变量 C X1 X2 X3 X4 X5 模型A 813 (0.74) 0.075 (0.43) -0.855 (0.13) 110.41 (0.14) 26.77 (0.11) -76.55 (0.48) 模型B -392 (0.81) 0.062 (0.32) -0.873 (0.11) 133.03 (0.04) 29.19 (0.06) 模型C -1279 (0.34) 0.042 (0.47) -0.994 (0.06) 125.71 (0.05) 29.41 (0.001) 模型D -973 (0.44) -0.778 (0.07) 116.60 (0.06) 24.86 (0.08)

X6 X7 RSS R2 -0.061 (0.95) -1.006 (0.40) 4.763e+7 0.349 1.488e+6 1.776e+6 -1.004 (0.37) 4.843e+7 0.338 1.424e+6 1.634e+6 4.962e+7 0.322 1.418e+6 1.593e+6 5.038e+7 0.312 1.399e+6 1.538e+6 ?2 ?AIC

（1）检验模型A中的每一个回归系数在10%水平下是否为零（括号中的值为双边备择p-值）。根据检验结果，你认为应该把变量保留在模型中还是去掉？ （2）在模型A中，在10%水平下检验联合假设H0：?i =0(i=1,5,6,7)。说明被择假设，计算检验统计值，说明其在零假设条件下的分布，拒绝或接受零假设的标准。说明你的结论。

（3）哪个模型是―最优的‖？解释你的选择标准。

（4）说明最优模型中有哪些系数的符号是―错误的‖。说明你的预期符号并解释原因。确认其是否为正确符号。

解答：（1）直接给出了P-值，所以没有必要计算t统计值以及查t分布表。根据题意，如果p-值<0.10,则我们拒绝参数为零的原假设。

由于表中所有参数的p-值都超过了10%，所以没有系数是显著不为零的。但由此去掉所有解释变量，则会得到非常奇怪的结果。其实正如我们所知道的，多元回归中去掉变量时一定要谨慎，要有所选择。本例中，X2、X3、X4的p-值仅比0.1稍大一点，在略掉X5、X6、X7的模型C中，这些变量的系数都是显著的。

（2）针对联合假设H0：?i =0(i=1,5,6,7)的备择假设为H1：?i (i=1,5,6,7) 中至少有一个不为零。检验假设H0，实际上就是参数的约束性检验，非约束模型为模型A，约束模型为模型D，检验统计值为

F?(RSSR?RSSU)/(kU?kR)(5.038e?7?4.763e?7)/(7?3)??0.462

RSSU/(n?kU?1)(4.763e?7)/(40?8)显然，在H0假设下，上述统计量满足F分布，在10%的显著性水平下，自由度为（4，32）的F分布的临界值位于2.09和2.14之间。显然，计算的F值小于临界值，我们不能拒绝H0，所以βi(i=1,5,6,7)是联合不显著的。

（3）模型D中的3个解释变量全部通过显著性检验。尽管R2相对较小，残差平方和相对较大，但相对来说其AIC值最低，所以我们选择该模型为最优的模型。

（4）随着收入的增加，我们预期住房需要会随之增加。所以可以预期β3>0，事实上其估计值确是大于零的。同样地，随着人口的增加，住房需求也会随之增加，所以我们预期β4>0，事实其估计值也是如此。随着房屋价格的上升，我们预期对住房的需求人数减少，即我们预期β3估计值的符号为负，回归结果与直觉相符。出乎预料的是，地方税与州税为不显著的。由于税收的增加将使可支配收入降低，所以我们预期住房的需求将下降。虽然模型A是这种情况，但它们的影响却非常微弱。

第四章 经典单方程计量经济学模型：放宽基本假定的模型

例3．已知模型 Yi??0??1X1i??2X2i?ui

式中，Yi为某公司在第i个地区的销售额；X1i为该地区的总收入；X2i为该公司在该地区投入的广告费用（i=0,1,2,…,50）。

（1）由于不同地区人口规模Pi可能影响着该公司在该地区的销售，因此有理由怀疑随机干扰项ui是异方差的。假设?i依赖于总体Pi的容量，请逐步描述你如何对此进行检验。需说明：1）零假设和备择假设；2）要进行的回归；3）要计算的检验统计量及它的分布（包括自由度）；4）接受或拒绝零假设的标准。

（类似 PARK检验P112）

（2）假设?i??Pi。逐步描述如何求得BLUE估计值并给出理论依据。 (WLS加权最小二乘法)

解答：（1）如果?i依赖于总体Pi的容量，则随机扰动项的方差?i2依赖于Pi2。

因此，要进行的回归的一种形式为?i2??0??1Pi2??i。于是，要检验的零假设H0：?1?0，备择假设H1：?1?0。检验步骤如下：

~2； 第一步：使用OLS方法估计模型，并保存残差平方项ei~2对常数项C和P2的回归 第二步：做eii第三步：考察估计的参数?1的t统计量，它在零假设下服从自由度为2的t分布。

第四步：给定显著性水平0.05（或其他），查相应的自由度为2的t分布的

?1的t统计值大于该临界值，则拒绝同方差的零假设。临界值，如果估计的参数?

（2）假设?i??Pi时，模型除以Pi有：

YiXXu1??0??11i??22i?i PiPiPiPiPi由于Var(ui/Pi)??i2/Pi2??2，所以在该变换模型中可以使用OLS方法，得出BLUE估计值。方法是对Yi/Pi关于1/Pi、X1i/Pi、X2i/Pi做回归，不包括常数项。

例4．以某地区22年的年度数据估计了如下工业就业回归方程

???3.89?0.51lnX?0.25lnX?0.62lnX Y123（-0.56）(2.3) (-1.7) (5.8)

R?0.996 D.W.?1.147

2式中，Y为总就业量；X1为总收入；X2为平均月工资率；X3为地方政府的总支出。

（1）试证明：一阶自相关的D.W.检验是无定论的。 （2）逐步描述如何使用LM检验

解答：（1）由于样本容量n=22，解释变量个数为k=3，在5%在显著性水平下，相应的上下临界值为dU?1.664、dL?1.053。由于D.W.=1.147位于这两个值之间，所以DW检验是无定论的。

（2）进行LM检验：

~； 第一步，做Y关于常数项、lnX1、lnX2和lnX3的回归并保存残差et

~关于常数项、lnX1、lnX2和lnX3和e~的回归并计算R2； 第二步，做ett?1第三步，计算检验统计值(n-1)R2=21?0.996=20.916；

第四步，由于在不存在一阶序列相关的零假设下(n-1)R2呈自由度为1的?2分布。在5%的显著性水平下，该分布的相应临界值为3.841。由于20.916>3.841，因此拒绝零假设，意味着原模型随机干扰项存在一阶序列相关。

例6．某地区供水部门利用最近15年的用水年度数据得出如下估计模型：

water??326.9?0.305house?0.363pop?0.005pcy?17.87price?1.123rain

（-1.7） (0.9) (1.4) (-0.6) (-1.2) (-0.8)

R2?0.93

F=38.9

式中，water——用水总量（单位：百万立方米）,house——住户总数（单位：千户）,pop——总人口（单位：千人）,pcy——人均收入（单位：元）,price——价格（单位：元/100立方米）,rain——降雨量（单位：毫米）。

（1）根据经济理论和直觉,请计回归系数的符号是什么(不包括常量)，为什么？观察符号与你的直觉相符吗？

（2）在10%的显著性水平下，请进行变量的t-检验与方程的F-检验。T检验与F检验结果有相矛盾的现象吗？

（3）你认为估计值是有偏的或无效的或不一致的吗？详细阐述理由。 解答：

（1）在其他变量不变的情况下，一城市的人口越多或房屋数量越多，则对用水的需求越高。所以可期望house和pop的符号为正；收入较高的个人可能用

水较多，因此pcy的预期符号为正，但它可能是不显著的。如果水价上涨，则用户会节约用水，所以可预期price的系数为负。显然，如果降雨量较大，则草地和其他花园或耕地的用水需求就会下降，所以可以期望rain的系数符号为负。从估计的模型看，除了pcy之外，所有符号都与预期相符。

（2）t-统计量检验单个变量的显著性，F-统计值检验变量是否是联合显著的。 这里t-检验的自由度为15-5-1=9，在10%的显著性水平下的临界值为1.833。可见，所有参数估计值的t值的绝对值都小于该值，所以即使在10%的水平下这些变量也不是显著的。

这里，F-统计值的分子自由度为5，分母自由度为9。10%显著性水平下F分布的临界值为2.61。可见计算的F值大于该临界值，表明回归系数是联合显著的。

T检验与F检验结果的矛盾可能是由于多重共线性造成的。house、pop、pcy都是高度相关的，这将使它们的t值降低且表现为不显著。price和rain不显著另有原因。根据经验，如果一个变量的值在样本期间没有很大的变化，则它对被解释变量的影响就不能够很好地被度量。可以预期水价与年降雨量在各年中一般没有太大的变化，所以它们的影响很难度量。

（3）多重共线性往往表现的是解释变量间的样本观察现象，在不存在完全共线性的情况下，近似共线并不意味着基本假定的任何改变，所以OLS估计量的无偏性、一致性和有效性仍然成立，即仍是BLUE估计量。但共线性往往导致参数估计值的方差大于不存在多重共线性的情况。

例7. 一个对某地区大学生就业增长影响的简单模型可描述如下

gEMPt??0??1gMIN1t??2gPOP??3gGDP1t??4gGDPt??t

式中，为EMP为新就业的大学生人数，MIN1为该地区最低限度工资，POP为新毕业的大学生人数，GDP1为该地区国内生产总值，GDP为该国国内生产总值；g表示年增长率。

（1）如果该地区政府以多少不易观测的却对新毕业大学生就业有影响的因素作为基础来选择最低限度工资，则OLS估计将会存在什么问题？

（2）令MIN为该国的最低限度工资，它与随机干扰项相关吗？

（3）按照法律，各地区最低限度工资不得低于国家最低工资，那么gMIN

能成为gMIN1的工具变量吗？

解答：

（1）由于地方政府往往是根据过去的经验、当前的经济状况以及期望的经济发展前景来制定地区最低限度工资水平的，而这些因素没有反映在上述模型中，而是被归结到了模型的随机干扰项中，因此 gMIN1 与?不仅异期相关，而且往往是同期相关的，这将引起OLS估计量的偏误，甚至当样本容量增大时也不具有一致性。

（2）全国最低限度工资的制定主要根据全国整体的情况而定，因此gMIN基本与上述模型的随机干扰项无关。

（3）由于地方政府在制定本地区最低工资水平时往往考虑全国的最低工资水平的要求，因此gMIN1与gMIN具有较强的相关性。结合（2）知gMIN可以作为gMIN1的工具变量使用。

第五章 经典单方程计量经济学模型：专门问题

例2．一个由容量为209的样本估计的解释CEO薪水的方程为

?)=4.59 +0.257ln(X1)+0.011X2+0.158D1 +0.181D2 – 0.283D3 Ln(Y (15.3) (8.03) (2.75) (1.775) (2.130) (-2.895)

其中，Y 表示年薪水平（单位：万元）、X1表示年销售收入（万元）、X2表示公司股票收益（万元）；D1、D2和 D3均为虚拟变量，分别表示金融业、消费品工业和公用事业。假设对比产业为交通运输业。

（1）解释三个虚拟变量参数的经济含义；

（2）保持X1和X2不变，计算公用事业和交通运输业之间估计薪水的近似百分比差异。这个差异在1%的显著水平上是统计显著的吗？

（3）消费品工业和金融业之间估计薪水的近似百分比差异是多少？写出一个使你能直接检验这个差异是否统计显著的方程。

解答：（1）D1的参数的经济含义为：当销售收入与公司股票收益保持不变时，金融业的CEO要比交通运输业的CEO多获薪水15.8个百分点。其他两个可类似解释。

（2）公用事业和交通运输业之间估计薪水的近似百分比差异就是以百分数解释的D3的参数，即为28.3%。由于参数的t统计值为-2.895，它大于1%显著性水平下自由度为203(n-k-1=209-5-1)的t分布的临界值2.326，因此这种差异是统计上显著的。

（3）由于消费品工业和金融业相对于交通运输业的薪水百分比差异分别为15.8%与18.1%，因此它们间的差异为18.1% - 15.8% = 2.3%。一个能直接检验这一差异是否显著的方程为

lnY??0??1lnX1??2X2??1D2??2D3??3?trans?uln(Ysalary)??0??1ln(X1salse)??2X2roe??1D2consprod??2D3utilty??3trans?u其

中，trans为交通运输业虚拟变量。这里对比基准为金融业，因此?1表示了消费品工业与金融业薪水的百分数差异，其t 统计值可用来进行显著性检验。

例6. 一个估计某行业CEO薪水的回归模型如下

lnY??0??1lnX1??2lnX2??3X3??4X4??5X5?u

其中，Y 为年薪，X1为公司的销售收入，X2为公司的市值，X3为利润占销售额的百分比，X4为其就任当前公司CEO的年数，X5为其在该公司的年数。

2

一个有177个样本数据集的估计得到R2=0.353。若添加X4和X52后，R2=0.375。

问：此模型中是否有函数设定的偏误？试以10%或5%的显著性水平进行检验。

2

解答：若添加X4和X52后，估计的模型为

22lnY??0??1lnX1??2lnX2??3X3??4X4??5X5??6X4??7X5?u

如果?6、?7是统计上显著不为零的，则有理由认为模型设定是有偏误的。而这一点可以通过第三章介绍的受约束F检验来完成：

22(RU?RR)/qF?2(1?RU)/(n?(k?q?1))（5.3节）

F?(0.375?0.353)/2?2.97

(1?0.375)/(177?8)

在10%的显著性水平下，自由度为（2，?）的F分布的临界值为2.30；在5%的显著性水平下，临界值为3.0。由此可知在10%的显著性水平下拒绝?6＝?7＝０的假设，表明原模型有设定偏误问题；而在5%的显著性水平下则不拒绝?6＝?7＝０的假设，表明原模型没有设定偏误问题。

第六章 经典联立方程计量经济学模型：理论与方法

例1．一个由两个方程组成的完备的联立模型的结构形式如下：

Pt??0??1Nt??2St??3At?ut Nt??0??1Pt??2Mt?vt （1）指出该联立模型中的内生变量与外生变量。

（2）分析每一个方程是否为不可识别的，过度识别的或恰好识别的？ （3） 有与μt相关的解释变量吗？有与υt相关的解释变量吗？ （4）如果使用OLS方法估计α，β会发生什么情况？

（5）可以使用ILS(间接最小二乘法)方法估计α吗？如果可以，推导出估计值。对β回答同样的问题。

（6）逐步解释如何在第2个方程中使用2SLS（二阶段最小二乘法）方法。 解答：（1）内生变量：P、N；外生变量：A、S、M （2）容易写出联立模型的结构参数矩阵

P N 常量 S A M

?1??1??0???????1??0?1??20??300?? ???2?对第1个方程，??0?0?????2?，因此，秩??0?0??1，即等于内生变量个数

k?k1?1?g1?1

（g=2）减1，模型可以识别。进一步，联立模型的外生变量个数减去该方程外生变量的个数，恰等于该方程内生变量个数减1，即4-3=1=2-1，因此第一个方程恰好识别。

对第二个方程，??0?0?????2??3?，因此，秩??0?0??1，即等于内生变

量个数减1，模型可以识别。进一步，联立模型的外生变量个数减去该方程外生变量的个数，大于该方程内生变量个数减1，即4-2=2>2-1，因此第二个方程是过度识别的。 k?k?2?g?122综合两个方程的识别状况，该联立模型是过度识别的。

（3）S,A,M为外生变量，所以他们与μ，υ都不相关。而P,N为内生的，所以他们与μt，υt都相关。具体说来，N与P同期相关，而P与μt同期相关，所以N与μt同期相关。另一方面，N与vt同期相关，所以P与vt同期相关。 （4）由（3）知，由于随机解释变量的存在，α与β的OLS估计量有偏且是不一致的。

（5）对第一个方程，由于是恰好识别的，所以可用间接最小二乘法（ILS）进行估计。对第二个方程，由于是过度识别的，因此ILS法在这里并不适用。 （6）对第二个方程可采用二阶段最小二乘法进行估计，具体步骤如下：

?；同理，让N对常量，第1阶段，让P对常量，S,M,A回归并保存预测值Pt?。 S,A,M回归并保存预测值Nt?、M作回归求第2个方程的2SLS估计值。 第2阶段，让Nt对常量、Ptt

复习：2SLS 步骤

第一阶段：对内生解释变量的简化式方程使用OLS。得到：

??X??0?X((X?X)?1X?Y0)Y0用估计量代替结构方程中的内生解释变量，得到新的模型：

第二阶段：对该模型应用OLS估计，得到的参数估计量即为原结构方程参数的二阶段最小二乘估计量。

例2. 在如下的收入决定模型中，利率R、政府支出G为外生变量，

试利用结构式识别条件判断每个方程和整个模型的可识别性。 解：整个联立方程模型有 g=4个方程

g=4个内生变量：Ct、It、Tt、Yt

k=4个先决变量：Yt-1、Rt、Gt、截距项（X0）

?Ct??0??1Yt??2Tt?u1t??It??0??1Yt?1??2Rt?u2t??Tt??0??1Yt?u3t?Y?C?I?Gttt?t消费方程投资方程税收方程收入方程CtItTtYtX0Yt?1RtGt

0???12?10?0B???001???1?10???10??11??0??0??000??1000??2000??0?0???1??

（1）对于消费方程，有 g1=3个内生变量：Ct、Tt、Yt； k1=1个先决变量：截距项（X0）

?1??1??2?R(B?)?R?00000??100?秩条件：

消费方程是不可识别。 （2）对于投资方程，有 g2=1个内生变量：It ；

k2=3个先决变量：Yt-1、Rt、截距项（X0）

0??0??2?1??小于g-1=4-1=3，

?1??2?R(B?)?R?0100??10?秩条件

识别。

????1110??0??3?1??等于g-1=4-1=3，投资方程可

阶条件： k-k2=4-3=1大于g2-1=1-1=0 ，投资方程可能是过度识别。 所以，投资方程是过度识别的。

（3）对于税收方程，有 g3=2个内生变量：Tt、Yt； k3=1个先决变量：截距项（X0）

00?10?R(B?)?R?01????0012??1?100?秩条件：

收方程是可识别的。

0??0??3?1??等于g-1=4-1=3，税

阶条件：k-k3=4-1=3大于g3-1=2-1=1，税收方程可能是过度识别的。 所以，税收方程是过度识别的。

（4）对于收入方程，它是定义方程，不存在参数估计问题，不需要进行识别。 （5）综合来看，整个联立方程模型不可识别。

3、假设王先生估计消费函数（用模型Ci?a?bYi?ui表示），并获得下列结果：

Ci?15?0.81Yi，n=19

? （3.1） (18.7) R2=0.98 这里括号里的数字表示相应参数的t检验值。 要求：(1) 利用t检验值检验假设H0：b=0（取显著水平为5%）；（t0.025(17)?1.740）

(2) 确定参数估计量的标准方差；

(3) 构造b的95%的置信区间，这个区间包括0吗？ 解：

（1）由于参数估计量b的t检验统计值的绝对值为18.7且明显大于1.740，

故拒绝零假设H0:b?0，从而b在统计上是显著的；

（2）由公式ti???iS??i知 S???i??iti

参数?的估计量的标准方差为15/3.1=4.84， 参数?的估计量的标准方差为0.81/18.7=0.043； （3）由（2）的结果，b的95%的置信区间为：

(0.81?t0.025(n?2)0.043，

0.81?t0.025(n?2)0.043)?(0.81?0.07482，

0.81?0.07482)=（0.7358,0.8848），

显然这个区间不包括0。

建立中国居民消费函数模型

Ct??0??1It??2Ct?1??t ?t~N(0,?2) t=1978,1979,…,2010 其中C表示居民消费总额，I表示居民收入总额。

(1) 能否用历年的人均消费额和人均收入数据为样本观测值估计模型？为什么？P13样本数据的质量

(2) 人们一般选择用当年价格统计的居民消费总额和居民收入总额作为样本观测值，为什么？这样是否违反样本数据可比性原则？为什么？

(3) 如果用矩阵方程Y?X???表示该模型，写出每个矩阵的具体内容，并标明阶数；P63

(4) 如果所有古典假设都满足，从最小二乘原理出发，推导出关于参数估计量的正规方程组；P65

(5) 如果模型中Ct?1为随机解释变量且与?t相关，选择政府消费Gt为Ct?1的工具变量（Gt满足工具变量的所有条件），写出关于参数估计量的正规方程组；

(6) 如果经检验表明模型存在一阶序列相关，而需要采用广义差分法估计模型，指出在常用的软件中是如何实现的？P128

(7) 试分析，以t=1978,1979,?,2010数据为样本观测值，能否说“样本是从母体中随机抽取的”？那么采用OLS估计模型参数，估计结果是否存在偏误？为什么？ 答：

⑴ 不可以。 因为历年的人均消费额和人均收入并不是从居民消费总额和居民收入总额的

总体中随机抽取的样本，违背了样本与母体的一致性。 ⑵ 因为历年的居民消费总额和居民收入总额具有大致相同的“价格”指数，是

否将它们转换为不变价数据并不重要，不影响数据在样本点之间的可比性。 ⑶ Y?X??? 其中

?C1978??1I1978???1IC19791979? X??Y???????????C2010??33?1?1I2010C1977?C1978?? ???C2009?33?3??1978???0??????1979? ????1? ????????????2?3?1??2010?33?1⑷ 从最小二乘原理出发，推导关于参数估计量的正规方程组：

2?)2?(C????? Q??et2??(Ct?C??I??C)?tt01t2t?1ttt要使Q达到最小，即

?Q?0???1It???2Ct?1) ?0??Ct??(??0??tt?Q?0????1??IC??I(?ttttt0?1It???2Ct?1) ???Q?0???1It???2Ct?1) ?0??CtCt?1??Ct?1(??2??tt（5） 选择政府消费Gt为Ct?1的工具变量，得到关于参数估计量的正规方程组为：

?C??ttttttt?0???1It???2Ct?1) (?t0??IC??I(?ttttt?1It???2Ct?1) ???1It???2Ct?1) ????GC??G(?0（6） 在解释变量中增加AR(1)。 (7) 严格地，不能说“样本是从母体中随机抽取的”，因为Ct的值域为(0,?)，

而实际的样本观测值集中于某一区域。那么采用OLS估计模型参数，估计结果是

存在偏误的，因为样本实际上是选择性的。

Ct??0??1Yt??1t4．对于简单宏观经济模型 It??0??1Yt??2Yt?1??2t ，其中Ct表示居

Yt?Ct?It?Gt民消费总额，It表示投资总额，Yt表示国内生产总值，Gt表示政府消费额；怎样将该模型表示为简化式模型？请写出简化式参数与结构式参数之间的关系体系。

答：用所有先决变量作为每个内生变量的解释变量，所形成的模型成为简化式模型。结构式模型中的内生变量为Ct,It,Yt，先决变量为Yt?1,Gt。用?i0,?i1,?i2来表示简化式参数，i?1,2,3，则该模型的简化式模型为：

Ct??10??11Yt?1??12Gt??1tIt??20??21Yt?1??22Gt??2t t?1,2,3?n Yt??30??31Yt?1??32Gt??3t利用代入法可求出：

?0??0?1??1?0??1?2?1?Yt?1?Gt?1t1??1??11??1??11??1??1???1?0??0?1?2??1?2??1It?0?Yt?1?Gt?2t1??1??11??1??21??1??1?0??0???1t?21Yt??Yt?1?Gt?2t1??1??11??1??11??1??11??1??1Ct? 那么，简化式参数与结构式参数之间的关系体系为：

??1?2t??1?1t1??1??1??1?2t??1?1t

1??1??1?10? ?20?30

?0??0?1??1?0?1?2?1?11??12?1??1??11??1??11??1??1???1?0??0?1???1?2?1 ?21?2 ?22? ?01??1??11??1??11??1??1?0??0?21?32??31??1??1??11??1??11??1??1

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