北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（一）数学理

东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（一）

高三数学参考答案及评分标准 （理科）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）A （2）C （3）B （4）D （5）B （6）D （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）2 （10）40 （11）6

1?1,0?x?,?3?2（12）己巳 （13） （14）g(x)?? 4

12?0,x?0或x?.??2三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）

解：（Ⅰ）由余弦定理及题设

c=a+b+ab=5a+ab，

得b=2a．

由正弦定理

2222abbsinB?，=， sinAsinBasinA 得

sinB=2． ???????????6分 sinA?． 3??A) 3（Ⅱ）由（Ⅰ）知?A??B? sinA?sinB?sinA?sin( ?sinA?(31cosA?sinA) 22 ? ? 因为0??A? 所以当?A?311sin2A?cos2A? 4441?1sin(2A?)?． 264?， 3?1，sinA?sinB取得最大值．???????13分 64（16）（共13分）

解：（Ⅰ）a=5．

由表1知使用Y共享单车方式人群的平均年龄的估计值为：

Y方式：20?200创55%+4020%+50?5%=31.

答：Y共享单车方式人群的平均年龄约为31岁. ?????5分

2,1（Ⅱ）设事件Ai为“男性选择i种共享单车”，i=3 设事件Bi为“女性选择i种共享单车”，i=32,1， ，

设事件E为“男性使用单车种类数大于女性使用单车种类数”. 由题意知，E=A2B1?A3B1?A3B2. 因此P(E)=P(A2B1)+P(A3B1)+P(A3B2)

=0.58.

答：男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率为0.58.

??11分

（Ⅲ）此结论不正确. ???????????13分 （17）（共14分）

解：（Ⅰ）在直角三角形ABC中，因为?ABC 所以CD?AB．

因为平面PAB?平面ABC，

45?，D为AB中点，

CDì平面ABC，

所以CD?平面PAB． 因为AE?平面PAB， 所以CD?AE．

在等边△PAD中，AE为中线， 所以AE?PD． 因为PDIDC?D，

所以AE?平面PCD． ???????????5分 （Ⅱ）在△PAB中，取AD中点O，连接PO，所以PO^AB．

在平面ABC中，过O作CD的平行线，交AC于G． 因为平面PAB?平面ABC， 所以PO?平面ABC． 所以PO^OG．

因为OG,OB,OP两两垂直，

如图建立空间直角坐标系O?xyz． 设AB?4a，则相关各点坐标为：

A(0,?a,0)，B(0,3a,0)，C(2a,a,0)，P(0,0,3a)，D(0,a,0)，

a3a3E(0,,a)，F(a,,a)．

2222uuuruurAC?(2a,2a,0)，PA?(0,?a,?3a)．

设平面PAC的法向量为n?(x,y,z)，

zPEFAOGCxDByuuur???x?y?0,?n?AC?0,则?uu，即? r??y?3z?0.??n?PA?0,令z?1，则y??3，x?3 ． 所以n?(3,?3,1)．

????平面PAB的法向量为DC=(2a,0,0)， ????21设n,DC的夹角为?，所以cos??．

7由图可知二面角B?PA?C为锐角，

21．??????????10分 7uuuruur（Ⅲ）设M是棱PB上一点，则存在??[0,1]使得PM??PB．

uuur因此点M(0,3a?,3a(1??))，CM?(?2a,a(3??1),3a(1??))．

所以二面角B?PA?C的余弦值为

由（Ⅰ）知CD?平面PAB，AE?PD． 所以CD?PD． 因为EF∥CD， 所以EF?PD． 又AE?EF=E， 所以PD^平面AEF． 所以PD为平面AEF的法向量．

uuurPD?(0,a,?3a)．

uuuruuur因为CM?平面AEF，所以CM∥平面AEF当且仅当CM?PD?0，

即(?2a,a(3??1),3a(1??))?(0,a,?3a)?0．

解得??因为??此时

2

． 3

2?[0,1]，所以在棱PB上存在点M，使得CM∥平面AEF， 3PM2???． ??????????14分 PB3（18）（共13分）

解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,??)．

当m=-1时，f(x)=2lnx+所以f'(x)=1+x， x21-2+1． xx 因为f(1)=2且f'(1)=2，

所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x-y=0．????4分 （Ⅱ）若函数f(x)在(0,??)上为单调递减，

则f'(x)?0在(0,??)上恒成立． 即

21??m?0在(0,??)上恒成立． xx221??m在(0,??)上恒成立． xx2即

设g(x)=21-2(x>0)， xx则m?[g(x)]max． 因为g(x)?211?2??(?1)2?1(x?0)， xxx所以当x?1时，g(x)有最大值1．

所以m的取值范围为[1,??)． ????????9分

（Ⅲ）因为0

lnb?lna1b?a?等价于lnb?lna?．

b?aabab即ln1bbab，令??=t(t?1)，原不等式转化为2lnt?t?．

taaba1t令h(t)?2lnt??t， 由（Ⅱ）知f(x)?2lnx?1?x在(0,??)上单调递减， x所以h(t)?2lnt??t在(1,??)上单调递减． 所以，当t?1时，h(t)?h(1)?0． 即当t?1时，2lnt??t?0成立． 所以，当时0

1t1tlnb?lna1成立．????????13分 ?b?aab?b?2,?2?c,解：（Ⅰ）由题意得??解得a?2,b?2． 2?a?a2?b2?c2,?x2y2所以椭圆C的方程为??1． ??????????5分

42（Ⅱ）设点P(x0,y0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)．

①M(x1,y1)，N(x2,y2)在x轴同侧，不妨设x1?0,x2?0,y1?0,y2?0． 射线OM的方程为y?y0yx，射线ON的方程为y?0x， x0?2x0?222y0y0xyx1，y2?x2，且0?0?1． 所以y1?x0?2x0?242 过M,N作x轴的垂线，垂足分别为M'，N'， SΔOMN=S四边形MM'N'N-SΔOMM'-SΔONN' =[(y1?y2)(x1?x2)?x1y1?x2y2]

12y0x2y0x111=(xy-xy)=(x?x?) 12211222x0-2x0+2 ?4y4y0111x1x2?20?x1x2???xx?． 122x0?42?2y02y0?x12y12??1,?y0?422x1)2?4， 由?得x1?2(x0?2?y1?y0x1,?x0?2?4(x0?2)24(x0?2)2??2?x0， 即x?(x0?2)2?2y02(x0?2)2?4?x0221

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