第5章-MATLAB数字信号处理

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第5章 使用MATLAB实现数字信号处理 本章主要内容如下：5.1 数字信号处理基本内容及相应的MATLAB 工具 5.2 信号通过系统的时域分析 5.3 信号通过系统的频域和Z域分析 5.4 滤波器设计 5.5 频谱分析

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5.1 数字信号处理基本内容 及相应的MATLAB工具数字信号处理的基本内容通常分为两部分： 离散时间信号与系统分析 主要涉及离散时间信号与系统的时域、频域表示，以 及信号通过系统的时域、频域分析及其变换域分析。 MATLAB函数库中提供了filter, conv, convmtx, fft ,ifft, freqz, impz, zplane等与之相应的函数。 等 数字滤波器设计和谱分析 数字滤波器设计包括了无限冲激响应(IIR)和有限冲激 响应(FIR)滤波器设计，谱分析又可进一步分为线性 谱分析和非线性谱分析。MATLAB为此提供了多种成 熟算法的相应函数以及极为丰富的设计工具。

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5.2 时域分析卷积，滤波，单位冲激响应

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5.2.1 卷积 MATLAB提供 conv函数实现标准的一维信号卷积 : 例如，若系统h(n)为 >>h=[1 1 1] 输入序列x(n)为 >>x=[1 1 1] 则x(n)经过系统h(n)后的MATLAB实现为： MATLAB >>conv(h,x) 或 conv([1 1 1], [1 1 1]) 执行后即得到y(n)为 ans = 1 2 3 2 1 注意：使用conv 函数时，h(n) 和x(n)都必须是有限长的,, 否则不能使用conv 函数。

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例5-1 时域离散序列的卷积计算 与图形显示 例5-1 (教材p63) :已知离散信号x(n)和h(n), 求y(n)=x(n)*h(n),并用图形表示。x1 (n) = R10 (n)

x1 (n) = R 10 (n)

x2 (n) = R10 (n 5)

h1 (n) = 0.9 R20 (n)n

h2 (n) = 0.9 n R20 (n)

y 2 ( n) = x2 ( n) h2 ( n)

y1 (n) = x1 (n) h1 (n)

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例5-1的MATLAB程序Nh=20;Nx=10;m=5; n=0:Nh-1;h1=(0.9).^n; h2=h1; nx=0:Nx-1;x1=ones(1,Nx); x2=zeros(1,Nx+m); for k=m+1:m+Nx x2(k)=x1(k-m); end y1=conv(x1,h1); y2=conv(x2,h2); subplot(3,2,1) stem(nx,x1,'.') axis([0 30 0 1.2]),title(‘x1(n)’) …… (以下省略) %设定Nx,Nh和位移值m %产生h1(n) %产生x1(n) %产生x2(n)=x1(n-m) %产生x2(n) %计算y1(n)=x1(n)*h1(n) %计算y2(n)=x2(n)*h2(n)

%绘图

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5.2.2 滤波 数字滤波器的系统函数H(z)用如下式表示:

b (1) + b ( 2 ) z 1 + + b ( n + 1) z n H (z) = a (1) + a ( 2 ) z 1 + + a ( m + 1) z m 在MATLAB中，用向量b,a来表示滤波器的系 数b(i)和 a(i)。

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滤波器分类 当n = 0,m≠0时，称为AR滤波器，即自回归 (Auto Recurrence)滤波器，具无限冲激响应 (IIR),也即其单位采样响应h(n)具无限长度； 若m = 0,a(1) ≠ 0,称为MA滤波器，即滑动平 均(Moving Average)滤波器，其单位采样响 应h(n)是有限长度，故称有限冲激响应(FIR) 滤波器； 如果n、m都大于零，称为ARMA滤波器，而其 冲激响应也为IIR。

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filter函数 MATLAB提供了 filter函数来对离散信号进行滤波，表 达信号通过

系统后的结果。 – 与conv不同的是，filter函数可适用于无限冲激响应 系统的情况，但信号仍须是有限长的。 例如，一个单极点的低通滤波器系数如下： >>b = 1; >>a = [1 -0.9]; >>y = filter(b,a,x); 就可给出输入x经过滤波以后的输出y。 % 分子系数向量b(i) % 分母系数向量a(i)

如果用filter函数实现对信号x滤波，只要调用：

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5.2.3 单位冲激响应 数字滤波器的单位冲激响应定义为输入 为单位样本序列时数字滤波器的响应 ， 即： h(n) = T [δ(n)] 其中： 1 n = 1 δ(n) = 0 n ≠ 1

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单位冲激响应的MATLAB实现 MATLAB近似实现单位采样信号的方法为： imp = [1; zeros(p,1)]; % zeros(p,1)产生 p个零元素组成的列向量，p是 正整数。使用imp后，滤波器的冲激响应可近 imp 似得到为： h = filter(b,a,imp); impz 函数可以直接求出数字滤波器的单位冲激 响应，即：impz(b,a) 该命令将同时绘出滤波器的单位冲激响应， 教材p66图5-2。

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5.3 频域和Z域分析频率响应 ，零极点分析

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5.3.1 频率响应 MATLAB数字信号处理工具箱有很多函数提供 对模拟和数字滤波器的频率响应分析。其中， freqz 函数和freqs 函数分别返回数字和模拟滤 波器的频率响应。 工具箱中通常使用的单位频率是Nyquist频率， 即采样频率的1/2。 注意：就数字滤波器函数来说，其频域指标中 的所有频率都以Nyquist频率进行归一化。 因此Nyquist频率也称归一化频率。

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关于Nyquist频率的说明 例如 例如：系统采样频率为1000Hz,则若数字滤波 器的截止频率等于300Hz,经Nyquist频率归一 化后，其归一化频率就是300/500=0.6。若将归 一化频率转换成数字信号处理教科书中所使用 的数字频率(rad),需乘以π;反之，若乘以采 样频率fs的一半，则将归一化频率转换回了模 拟域频率(Hz)。 归一化频率f 应满足0<f<1。 对于频率响应而言，归一化频率和模拟频率都 可使用。

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freqz命令 freqz 函数提供了基于FFT算法所得到的数字滤波器H(z) 的频率响应 最常用的形式： [h,w] = freqz(b,a,p) 其意义是，对于数字滤波器：b(1) + b(2)z 1 + + b(n + 1)z n H(z) = a (1) + a ( 2) z 1 + + a (m + 1)z m

freqz 函数接受滤波器系数向量b和a,以及一个用于指 定所需计算的频率响应样点数的整数p,返回一个与由 p个频率样本点构成的实频率向量相对应的复频率响应 向量h。

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freqz的命令形式 h = freqz(b,a,w) – 采用上面的形式时，需先对频率样本点向量w作出 定义。通常的做法是使用linspace函数。 [h,w] = freqz(b,a) – w和p没有定义 ，默认w由(0~π)上均分的512点构 成，频率单位为rad/sample。 [h,w] = freqz(b,a,p,’whole’) – 使用带参数’whole’选项

的命令形式 [h,w] = freqz(b,a,p,fs) – 用参数选项指定采样频率fs

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linspace的命令形式 linspace函数的命令形式有两种：–linspace linspace(x1,x2) linspace %产生[x1,x2]范围内经线性分割得到的100点的向 量 –linspace linspace(x1,x2,N) linspace %产生[x1,x2]范围内经线性分割得到的N点的向量 例如： 例如： w = linspace(0,pi) % w由(0,pi)上100个等分点组成 w = linspace(0,1000) % w由(0,1000)上100个等分点组成

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freqz函数无返回输出参数格式的调用 freqz函数还能以无返回输出参数的格式调用： freqz(b,a,256)或 freqz(b,a,256,2000) 无返回输出参数调用freqz函数的好处是，MATLAB能 够自动绘出频率在(0~π)范围内的幅频特性和相频特 性图。 注意，无返回输出参数调用freqz函数绘出的相频特性 不能正确给定在 ω= π 处的值，这是因为在MATLAB ω 中， = π 属于下半个单位圆。

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频率响应的实例 例：先构成一个截止频率为400Hz的9阶巴特沃思 (Butterworth)低通数字滤波器，求出其系数b,a,再 求出其256点频率响应。指定的采样频率fs =2000Hz。 实现1:先调用butter函数，再调用freqz函数； 实现2:无返回输出参数，调用freqz函数； 实现3:为得到完整的(0~π)范围内的幅相特性图， 可用带返回输出参数的格式调用freqz,在得到各频率 点上的频率响应的数值后，使用MATLAB所提供的abs 函数和angle函数分别提取幅频特性与相频特性。– 注意：为了得到连续的相频曲线，需要使用unwrap函数，该 函数通过在发生跳变后的各处自动加上，从而除去了相位的 跳变，这称为相位的“解卷绕”。

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实现1[b,a] = butter(9,400/1000); % 括号中第一个输入是阶数，第二个是归一化 截止频率 [h,f] = freqz(b,a,256,2000); 或 h = freqz(b,a,256,2000);

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实现2 实现1中第二条命令的形式 可改写为 freqz(b,a,256) 或freqz(b,a,256,2000) 可自动绘出频率在(0~π) 范围内的幅频特性和相频 特性图。 注意无返回输出参数调用 freqz函数绘出的相频特性 不能正确给定在ω=π处的 值，因为ω=π 属于下半个 单位圆。

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