电感计算总结

磁路和电感计算

不管是一个空心螺管线圈，还是带气隙的磁芯线圈，通电流后磁力线分布在它周围的整个空间。对于静止或低频电磁场问题，可以根据电磁理论应用有限元分析软件进行求解，获得精确的结果，但是不能提供简单的、指导性的和直观的物理概念。在开关电源中，为了用较小的磁化电流产生足够大的磁通(或磁通密度)，或在较小的体积中存储较多的能量，经常采用一定形状规格的软磁材料磁芯作为磁通的通路。因磁芯的磁导率比周围空气或其他非磁性物质磁导率大得多，把磁场限制在结构磁系统之内，即磁结构内磁场很强，外面很弱，磁通的绝大部分经过磁芯而形成一个固定的通路。在这种情况下，工程上常常忽略次要因素，只考虑导磁体内磁场或同时考虑较强的外部磁场，使得分析计算简化。通常引入磁路的概念，就可以将复杂的场的分析简化为我们熟知的路的计算。

3.1 磁路的概念

从磁场基本原理知道，磁力线或磁通总是闭合的。磁通和电路中电流一样，总是在低磁阻的通路流通，高磁阻通路磁通较少。

所谓磁路指凡是磁通(或磁力线)经过的闭合路径称为磁路。 3.2 磁路的欧姆定律

以图3.1(a)为例，在一环形磁芯磁导率为μ的磁芯上，环的截面积A，平均磁路长度为l，绕有N匝线圈。在线圈中通入电流I，在磁芯建立磁通，同时假定环的内径与外径相差很小，环的截面上磁通是均匀的。根据式(1.7)，考虑到式(1.1)和(1.3)有

?Bl?l??Rm (3.1) F?NI?Hl???A或

?=F/Rm (3.2) 式中F=NI是磁动势；而

表3.1 磁电模拟对应关系 l Rm= (3.3)

磁 路 电 路 ?ARm—称为磁路的磁阻，与电阻的表达式相似，正比于

路的长度l，反比于截面积A和材料的磁导率?；其倒数称为磁导

?A1? Gm? (3.3a) Rml 式(3.1)即为磁路的欧姆定律。在形式上与电路欧姆

定律相似，两者对应关系如表3.1所示。

磁动势F 电动势 E 磁通? 磁通密度B 磁阻Rm=l/?A 磁导Gm=?A/l 磁压降Um=Hl 电流I 电流密度J 电阻R=l/?A 电导G=?A/l 电压U=IR 磁阻的单位在SI制中为安/韦，或1/亨；在CGS制中为安/麦。磁导的单位是磁阻单位的倒数。同理，在磁阻两端的磁位差称为磁压降Um，即

l Um=?Rm=BA×=Hl(安匝) (3.4)

?S20

引入磁路以后，磁路的计算服从于电路的克希荷夫两个基本定律。根据磁路克希菏夫第一定律，磁路中任意节点的磁通之和等于零，即

???0 (3.5) ?IN???R (3.6) ?IN??Hl (3.6a)

根据安培环路定律得到磁路克希菏夫第二定律，沿某一方向的任意闭合回路的磁势的代数和等于磁压降的代数和 或

式(3.5)对应磁场的高斯定理，即穿过任何闭 A φ

合曲面的磁通之和为零。而式(3.6)则为磁路

的欧姆定律。

I l F=NI R

应当指出的是磁路仅在形式上将场的问

题等效成路来考虑，它与电路根本不同：

(1) 电路中，在电动势的驱动下，确实 N 存在着电荷在电路中流动，并因此引起电阻 (a) (b)

的发热。而磁路中磁通是伴随电流存在的， 图 3.1 环形磁芯线圈和等效磁路 对于恒定电流，在磁导体中，并没有物质或

能量在流动，因此不会在磁导体中产生损耗。即使在交变磁场下，磁导体中的损耗也不是磁通‘流动’产生的。

(2) 电路中电流限定在铜导线和其它导电元件内，这些元件的电导率高，比电路的周围材料的电导率一般要高1012倍以上(例如空气或环氧板)。因为没有磁“绝缘”材料，周围介质(例如空气)磁导率只比组成磁路的材料的磁导率低几个数量级。实际上，磁导体周围空气形成磁路的一部分，有相当部分磁通从磁芯材料路径中发散出来，并通过外部空气路径闭合，称为散磁通。对于磁路中具有空气隙的磁路，没有磁芯的空心线圈更是如此。一般情况下，在磁路中各个截面上的磁通是不等的。

附带说明：这里所谓“散磁通”是指所有不经过整个磁芯磁路的磁通。因为在上一章我们定义了漏磁通只在耦合磁路中存在。散磁通也可能是互感的一部分，如果采用电磁电器中不经过主气隙的磁通（不产生力）就是漏磁，对应的电感称为漏感，就会在变压器中造成混淆，故引出散磁通。

(3) 在电路中，导体的电导率与导体流过的电流无关。而在磁路中，磁路中磁导率是与磁路中磁通密度有关的非线性参数。即使磁通路径铁磁结构保证各处截面积相等，但由于有散磁通存在，在磁芯中各截面的磁通密度仍不相等。磁芯材料非线性使得?不同，导致相同磁路长度，不同的磁压降。需要由磁通求磁阻，又由磁阻求磁通反复试探，作出系统的磁化曲线，这样工作量很大。虽然空气的磁导率是常数，但气隙磁场与结构有关，很难准确计算。

(4) 由于有散磁通的存在，即使均匀绕在环形磁芯上的两个线圈也不能做到全耦合，漏磁通一般很难用分析的方法求得，通常采用经验公式计算。

21

（5）直流（即恒定）磁场已经相当复杂，如果是交流激励的磁场，在其周围有导体，在导体中产生涡流效应，涡流对激励线圈来说相当于一个变压器的次级，涡流产生的磁通对主磁通产生影响，磁场分布更加复杂。

可见，磁路计算是近似的。为了得到较精确的结果，首先应对静态磁场分布情况应当有较清晰的概念，才能作出合乎实际的等效磁路。

例3：一个环形磁芯线圈的磁芯内径d=25mm，外径D=41mm,环高h=10mm（见图例3）。

磁芯相对磁导率μr＝50。线圈匝数N＝50匝。通入线圈电流为0.5A。求磁芯中最大、最小以及平均磁场强度，磁通，磁链和磁通密度。 解：磁芯的截面积

D?d41?25 A??h??10?80mm2?08.cm2

22 磁路平均长度

D?d41?25 l?????119.4mm?1194.cm

22线圈产生的磁势

F?NI?50?05.?25A

磁芯中最大磁场强度发生在内径处 d F25??3.2A/cm Hmax? D lmin??2.5 最小磁场强度发生在外径处 Hmin?Flmax?25?194.A/cm ??41 h 图 例3

平均磁场强度

F25??21.A/cm?210A/m l1194. 磁芯中平均磁通密度 H? B??H??0?rH?4??10?7?50?210?0.0132T?132Gs 磁芯中磁通

??BA?0.0132?08.?10?4?1058.?10?6Wb?1058.Mx

或

??AF?FG?IN0r Rl 磁芯线圈的磁链

??.?10?6?529.?10?5Wb ??N??50?1058从磁芯中最大和最小磁场强度可以看到，内外径相差很大，可见磁芯中磁通密度是不

均匀的。一般希望内径与外径比在0.8左右。 3.3 磁芯磁场和磁路

22

3.3.1 无气隙磁芯磁场

如果电路中两点之间有电位差，就可能在两点之间产生电流。同理，在磁路中两点之间有磁位差，在两点之间就可能产生磁通。图3.2(a)所示为一等截面环形磁芯，线圈均匀分布在磁芯上。这种磁路系统完全对称，可以应用相似于电路中电位分析方法，作出磁位分布图。根据磁位分布图，可以了解散磁场的分布，确定等效磁路。

(A) 均匀绕线环形磁芯

首先在磁路的平均长度上选取一点(或一个截面)作为磁位的参考点(即x=0)，并假定沿磁芯中磁通的正方向x取正值，然后求磁路中某x点相对于参考点的磁位差Ux。根据磁路克希荷夫第二定律，沿图示虚线闭合回路得到

Fx= Ucx+Ux (3.7) 式中Fx－0?x段磁路所匝链的线圈磁势， Ucx －0?x段磁芯的磁阻压降。

由于线圈均匀绕，所以x段线圈匝数为Nx=Nx/l，x段磁势

Fx?xNI (3.8) l F N NI φ 0 l x F=NI Rm x Ucx NI ф Ux l x x I 0 l x x=0 (a) (b) (c) 图3.2 等截面均匀绕线环形磁芯磁位分布图和等效磁路

磁芯中的磁场强度H=IN/l，应有

xIN Ucx??Hdx?x （3.9)

0l式中IN—线圈总磁势；l—磁路平均长度。因此，沿磁路平均长度展开，Fx和Ucx的分布情况如图3.2(b)所示。

由图3.2(b)可见，Ucx的分布和Fx完全相同。由式(3.7)得到x点与基准的磁位差 Ux =Fx-Ucx (3.10) 也就是说，将图形Fx减去Ucx 图形，就得到Ux 分布情况。显然, Ux处处为零（式(3.8)~(3.9)。即等截面均匀绕线的环形磁铁任意点间没有磁位差，即等磁位。在环外不会有任何散磁通，磁力线局限于导磁体内。

根据式(3.1)和(3.3)，因为磁场集中在线圈磁芯内，各截面磁通相等，故可将磁势和磁阻画成集中元件。图3.2(a)的等效磁路如图3.2（c）所示。 (B) 集中绕线的等截面环形磁芯

将图3.3(a)中磁芯线圈集中绕在一边。如果线圈长度为lw，取其线圈中点为参考点。应

23

用相似的方法，得到磁势Fx分布图(图3.3(b))。在x方向lw /2至l- lw /2段，没有增加匝链磁势，故为一水平线。如果有散磁存在，磁芯各截面的磁通密度和Hx不再是常数，Ucx 也就不能用式(3.9)来计算。如果散磁通的比例很小，假设Hx为常数，可以作出Ucx 分布图如图3.3 (b)。由上述两个图相减，就得到磁位差Ux 分布图。由图可见，除对称轴(x=0和l/2) 外，磁路中Ux都不等于零，因此有散磁通??分布于圆环周围空间，如图3.3(c)所示。由于对称，通过x=0和x=l/2的平面定义为0等磁位面。在磁芯中存在若干磁位相等的磁位面，简称

0等位面 F lw /2 φ l

IN Ri φσ φ φs Ucx lw /2 l x Rσ Rl

φ lw IN F I Ux l x x x=0 lw /2 l x (a) (b) (c) 图3.3 等截面集中绕线环形磁芯磁位分布图和等效磁路

等位面。和电场一样，在周围空间也存在等磁位面，磁力线垂直于等位面，终止在电流上（图1.3~1.4和图3.3(a)）。

由图3.3(a)可见，在磁芯中x=0处磁通最大，由于磁芯截面积是均匀的，x=0处的磁通密度也就最大；而x=l/2处,磁通最小，磁通密度最低。在+ lw /2和- lw /2之间磁位差最大，因此磁力线最密。尽管散磁通是分布的，在画等效磁路时，可近似等效为散磁通是在最大磁位差的地方(±lw /2)流出的。因此有

φ＝φc＋φs

式中φc－全部经过磁芯的磁通；φs－“散”磁通。散磁通φs是部分通过磁芯经过周围空气路径闭合的磁通。如果是电感线圈，它是电感磁通的一部分；如果是变压器，φs可能是主磁通的一部分，其余是漏磁通，也可能全部是漏磁通，即部分或全部不与次级耦合。

等效磁路如图3.3(c)所示。图中Ri= lw /μA－lw段磁阻，相当于总磁势的内阻；而Rl=(l- lw)/μA－lk以外的磁芯磁阻。Rs－散磁磁阻，则由经验决定。 (C)有气隙时环形磁芯磁场

图3.4(a)为线圈均匀绕，等截面环形有气隙为?的磁芯线圈。线圈磁势降落在磁芯和气隙两部分

F?IN?Hcl?H??

式中Hc和H?分别为磁芯和气隙的磁场强度。虽然气隙不大，因空气磁导率比磁芯磁导率低得多，所以气隙磁场强度H?比磁芯磁场强度Hc大得多。因此，H??占有总磁势的较大的比例。

仍然取线圈中心为参考。F，Hcl和H??的分布图如图3.4(b)中实线所示，磁芯的磁势图为线性增加。如仍假设Hc为常数，与没有气隙一样，Ux不等于零，因此，也有散磁通?s，所不同的是对称面左右两侧的磁位差比前者大，所以散磁通也大。

24

当磁芯有气隙时，集中绕线将对称线圈放置在气隙正对面（图3.4(c))时，磁位分布图如图3.4（b）中虚线所示，在大部分磁通路径上，磁位差很大，从图(c)看到，集中绕线比均匀分布绕线具有更大的散磁。如果将集中对称线圈放置在气隙上，在绕线长度上磁势大部分降落在气隙上，在线圈以外的磁芯上磁位差很小，散磁也很小，如图(b)中虚线所示。

A F A IN

I Ucx l x l I X=0 l IN N Ux l x N 0 l x (a) (b) (c)

图3.4 磁路中有气隙时磁位分布图

3.3.2 E型磁芯磁场和等效磁路

E型磁芯是最常用的磁芯形状。其它形状如C型（硅钢片），ETD型，EC型，RM型等等（铁氧体）的等效磁路与E型相似。这些磁芯，为了便于装配线圈，通常是两个相同的“E”形状磁芯开口相对合成一个封闭磁芯。根据等截面原理，E型磁芯（图3.5）的两个边柱的截面积之和等于中柱截面积。线圈一般绕在中柱上。 (A) 无气隙时等效磁路和磁位图

半个E型磁芯尺寸如图3.5所示。中柱的截面积 A1?C?D 边柱截面积 A2?A(A?E)?C?1 22端部面积

A3?F?C

将两个磁芯柱端相对合在一起，形成闭合磁路，称为变压器磁芯（图3.6(a)）。中柱上绕有激励线圈N。假设忽略散磁通，则在磁芯整个截面上磁通密度是均匀的，磁通的平均路径如图中虚线所示。因此

EA?E l2?2B?F?l1 l3??

24因此各磁路段磁阻为

lll R1?1 R2?2 R3?3

?A2?A1?A3 A2 A1 D E A C F B

图3.5 E型磁芯尺寸图

磁路总激励磁势F=NI，其等效磁路如图3.6(b)所示。如果进行磁位分析，磁位分布图相似于图3.4。因集中线圈占平均磁路长度的大部分，比环形磁路短，磁芯磁导率很高，散磁通很少，通常忽略周围空气中磁场。

25

因为两个边柱是对称的，可合并成一路，R2’=R2/2=l2/2μA2，R3’=R3/2=l3/2μA3。简化的等效磁路如图3.6(c)所示。中柱通过的磁通

F ?1? （3.11） ''R1?R2?2R3因为A1=2A2=2A3,因此R= R1+ R2’+2 R3’=2(l1+l3)/μA1=1/G。式(3.11)可简化为

?ANIF?1? ?1?=NIG (3.11a)

2(l1?l3)R式中G－总磁导。最后等效磁路如图3.6(d)所示。

l3 R3 R3 R3 φ1 φ2 R1 φ2 R2 R1 φ l2=l1 R2 φ1 φ R2 F=IN R(G)

F=NI F=IN

R3 R3

(a) (b) (c) (d) 图3.6 E型磁芯等效磁路

(B) 带气隙E型磁芯

带气隙的E型磁芯线圈一般作为直流滤波电感或反激变压器。如果线圈匝数为N,激磁磁势为F=NI。它的磁位分布图类似集中线圈的带气隙环形磁芯磁位图。当带有气隙时，一般可能有两种情况：EE型磁芯中柱和边柱相同的空气隙，边柱气隙和中柱气隙相等，以及只有中柱气隙。

l2 F F l1 IN IN A 0 x 0 x UC IN UC IN x δ/2 0 x 0 x x=0 Ucx Ucx δ 0 x 2 l1+δ x δ/2 δ/2 2l1+2l2+δ (a) (b) (c) 图3.7 E型磁芯中柱、边柱有气隙和只中柱有气隙磁位图

因磁芯磁导率远大于空气磁导率，尽管气隙长度很小，但磁阻很大（式3.3）。两种情况磁位图3.7(b)和图3.7(c)所示。比较图(b)和图(c)可见，图(b)在很长的磁路上磁位差较大，尤其在边柱部分较大，这样引起较大的散磁通。如果磁场是脉动的，将对周围电路引起严重的干扰磁场。而图(c)仅在中柱有较大的磁位差，在相同的磁势下，磁位差明显小于图(b)。这说明仅中柱有气隙比三个芯柱都有气隙好。

26

3.3.3 气隙磁导的计算

（A）气隙尺寸相对端面尺寸很小时磁导计算

在图3.4和图3.7中，如果气隙相对气隙端面尺寸很小(<5%),可以忽略散磁，认为磁芯气隙端面面积就是气隙截面积。因此气隙磁导

?A G??0 (3.12)

?对于E型磁芯，如果只是中柱带有气隙，同时气隙尺寸δ<<(C,D)时，气隙磁导

?C?D G??0

?如果中柱和边柱都带有相同的气隙δ，则中柱（G1δ）和一个边柱(G2δ)磁导分别（尺寸参看图3.5）为

?C(A?E)?C?D G1δ?0 和 G2δ?0

?2?总的气隙磁导

2G1?G2? G? (3.13)

G1??2G2? (B) 气隙较大时，气隙磁导计算

在大多数情况下，气隙相对端面尺寸较大，磁通不仅经过磁芯的端面，而且还通过气隙的边缘，尖角，气隙附近的磁芯侧表面流通（图3.8），这些磁通通常统称为边缘磁通。端面磁导仍然可按式（3.12）计算。边缘磁通计算十分复杂，有分析法，经验公式法，许多文献进行了讨论。对于规则形状可按以下经验公式求得：

? 相对正方形端面气隙磁导（图3.9）

a δ φ 图3.8 边缘磁通 ?a?0.36014. 端面 G??0a????0.48? (3.14)

.??/a???2.4??/aln?105?a2? δ a 当?0.2时，G??0

a? a 由端面至x处的侧表面 xa G??0 (3.14a) x x 017.??0.4x 通常取x=2～3δ。总磁导为式(3.14),(3.14a)之和。 图3.9 正方形端面气隙

如果正方形端面对一个比端面大得多的平板，式(3.14)和（3.14a）计算值放大一倍。 ? 相对圆形端面气隙磁导（图3.10）

0.36d??d???0.48? (3.15) 端面 G??0d??4?2.4d??? 27

??d2 当?0.2时，G??0

d4?由端面至x处的侧表面

xd G??0 (3.15a)

0.22d?0.4x一般x=(2～3)?。

? 两个相等的矩形端面间气隙磁导

用有限元以及电磁场相似原则分析磁场虽然准确，但使用的情况毕竟有限。比较实用的方法是可以估计磁通可能的路径，把整个磁场分成几个简单的几何形状的磁通管。然后用分析法求解，或用以下近似公式：

AV Gbk??0bav??02b （3.16）

lbavlbav式中 Abav—磁通管的平均截面积(米2);lbav—磁通管内

力线的平均长度(m);Vb—磁通管的体积(m3);k—磁通管号码。整个气隙磁导是这些磁导总和。

x x d δ 图 3.10 圆形端面气隙

a b 2 m 1 δ 4 m 2

图3.11 矩形磁极之间的边缘磁导

(a) 方形磁极 G1 图3.11是一个正方形磁极。将气隙磁通路径分成的几

δ a 何形状如图3.11中1－半圆柱，2－半圆筒，3－1/4圆球， lbav 4－1/4圆球壳。分割的各磁通管如图3.12所示。

以2号半圆筒为例，平均磁路长度lbav=π(δ+m)/2。 2－半圆筒 G2 截面积Abav=m×a。根据式(3.16)求得半圆筒磁导 a

1－半圆柱 A2?0am?a G2??0bav??0 (3.17) ?lbav????m?/2??????1??m?式中m=(1~2)δ。

'??0当?<3m时,G2a?2m?ln?1?? (3.17a) ????同理得到其它分割的磁导

半圆柱: G1??0?0.26a (3.18) 1/4 球 G3??0?0.077? (3.19)

m (3.20) 4由式（3.12）得到端面间气隙磁导 1/4球壳 G4??0? δ m

3－1/4球 G3

δ 4－1/4球壳 G4

m δ

图3.12 矩形端面分割的磁通管

?0a2 G0? (3.21)

?28

总的气隙磁导为

G?G0?4?G1?G2?G3?G4?

如果端面是a×b的矩形。取m=δ，则总磁导为 G?G0?4?G3?G4??2?G1a?G2a?G1b?G2b?

?a?bm?a?b?m? ?4?0???013.?a?b??0.077??? (3.22)

????m?4???4??(b) 圆柱形磁极

圆柱形磁极之间的气隙磁导也可用正方形的分割法计算，将边缘磁导分成圆环和圆环壳。如柱的直径为d，气隙长度为δ，用分割法求得圆柱总气隙磁导为

??d22m???2d???? G??0??163.????d???ln?1??? (3.23)

?????44??(C) 气隙磁导粗略估算

从图3.4和图3.7可见，在气隙附近磁位差很大，存在强烈的边缘磁通，向外扩展超过气隙的边界，有效的气隙截面积大于磁芯端面截面积，即等效的气隙截面积加大了。为避免过大的误差，计算时必须根据有效截面积，而不是极端面积。经验近似方法是加一个气隙长度到磁芯端面尺寸上。对于边长a和b矩形极，有效气隙面积A?e近似为：

A?e =(a+δ)×(b+δ) (3.23a) 对于直径为D园端面截面:

? A?e?(D??)2 (3.23b)

4当δ＝0.1D时，面积校正系数A?e/A为1.21。A－磁极端面面积。

当校正系数低于20％以上的校正系数是有帮助的。较精确计算用前面经验公式。更加精确的校正需要用有限元求解，

例4：磁极尺寸如图例5（a），磁芯中柱一边短3mm，即磁极气隙δ＝3mm。求中柱气隙磁

导。 解：从图例5（a）得到磁极的尺寸C=27mm，D=19.8mm，是一个矩形截面。中柱边缘磁通

扩展宽度m和边柱与中柱之间的距离（m<(E-d)/2）有关,这里选取m=1.5δ.由式(3.22)得到气隙总磁导

?a?bm?a?b?m? Gδ?4?0???013.?a?b??0.077???

????m?4???4???19.8?273?15.?19.8?27?3?15.??3 ?4?0???013.?19.8?27??0.077?3???10

??3?1?15.?4???4?3? =0.3062×10-6(H)

如果采用粗略估算公式（3.12）和（3.23a）计算

G??0?a????b??????0?19.8?3??27?3?3?10?3?0.2865?10?6(H)

29

L?DN2k?10?7(H) (3.35) 式中

D k?6194.(ln?0.92) (3.35a)

w

h

d D 例9：紧贴在印刷电路板上的扁平线圈平均直径为5cm,环宽

图3.18 矩形截面环形线圈

为1cm,共25匝。求低频电感。

解：根据公式(3.35a ) 求得

w D k?6194.(ln?0.92)=6.194×(ln 5+0.92)=15.667

w D 由式(3.35)得到 图3.19 扁线圈

－

L?DN2k?10?7＝0.05×252×15.667×107＝48.96μH

(5) 扁平框形线圈的电感

2 扁平长框的平均边长为l1和l2，平均对角线g?l12?l2,匝数为N。导线线径d，匝

间距离为D(图3.20)。低频时电感为

2lll?l?? L?4N2?(l1?l2)ln12?l1ln(l1?g)?l2ln(l2?g)?2g?12?0.447ND?

DN2?? ?4N(l1?l2)(A?B) (3.36)

式中A与d/D关系为

d A?ln?0557 (3.36a) .DB与匝数N的关系

l2 B?033.098.?e?N/4.95 (3.36b)

D. 多层线圈

??

l1

D d

图3.20 扁平框形线圈

(1) 长圆柱形线圈低频电感

图3.21所示圆柱多层线圈的长度l大于等于线圈厚度h时，称为长圆柱线圈。低频时电感为

h l

式中N－总匝数；D－平均直径(m)；k－根据D/l由式(3.32a) 决定；

D h－线圈厚度(m)；l－线圈长度(m)；C－与l/h有关的函数由下式决

图3.21 长圆柱形线圈 定：

2?h?－7

L?N2D?k?×10(H) (3.37) ?0.693?C???l??l???4.2h C?0.32?1?e? (3.37a)

??（2） 矩形截面的多层线圈电感（图3.22）

35

?2lll1l2g1b?c? L?4N2?l1?l2??ln12?ln?l1?g??2ln?l2?g????0.447?

b?cl?ll?ll?l2l?l212121212??－

×107(H) (3.38)

2式中N－匝数；l1，l2－矩形平均边长（m）；b，c－线圈的厚度和宽度(m)；g?l12?l2－

对角线长度(m)。 E. 互感

导线之间互感

(1) 两根平行导线之间的互感

两根导线距离为D（cm），导线长为l(m)，设导线之间距

c b 离D远远大于导线的直径，它们之间的互感为 D??2l－

M?2l?ln?1??×107(H) (3.39)

?Dl?

l1

l2

图3.22 矩形截面线圈

l1 l2

图3.23 并列导线互感

(2) 两根一端相靠近并列的导线段之间的互感（图3.23） 两根导线分别长l1（m）和l2(m),其互感为 M?l1lnl1?l2l?l?l2ln12?10?7(H) (3.40) l1l2如果两导线接近端分开距离为D(m)，其互感为 M??l1?l2?D?ln?l1?l2?D??DlnD?10?7

?? ??l1?D?ln?l1?D???l2?D?ln?l2?D??10–7（H） (3.41) (3) 两根平行导线段之间的互感(图3.24)

两根平行导线段长分别是l1(m)和l2(m)，分开距离是D(m)。他们之间的互感为 ??l?l??122l?ln M?2??1?????2???l1?l2?2?D2??D?l?l??12?l?lln??12????l?l???21??l1?l2?2?D2???-7

×10 ?22???l2?l1??D??? ???l1?l2??D2????10?7（H） (3.42) ?l1?l2?2?D2???例10：求两根相距1cm，长分别为50cm和45cm的导线的互感。

解：在式(3.42)中先计算 L1? L2?

?l1?l2?2?D??2.??0.45?0502?0.01?0.95m

?0.051m

2?l2?l1?2?D22.?0.45??0.012?050L3?l1?l2?0.95m

L4?l2?l1?0.05m D 2l1 2l2

图 3.24 平行线段

代入式(3.42) 得到两导线之间的互感为

36

??L3?L1??L3?L4???L?L1??7M?2?2l1?ln?3?Lln????????10 3?D?2???L2?L4?????0.95?0.950.95?0.950.95?0.05???7?0.95ln??10 ?2?2?0.45?ln ?0.010.05?0.0512?? =1.6×106（H）

(4) 两对长l的对称导线之间的互感（图3.25）

b M?4l?ln (3.43)

a－

线圈互感

(5) 两个平行同轴的圆线圈之间的互感（图3.26）

M??r1r2?10?7(H) (3.44) 式中r1和r2－圆线圈半径(m)。ξ－与b/d有关的系数，线段d和b是两个圆周间最大和最小距离： b?a2??r1?r2? d?a2??r1?r2?

22 Ⅱ

b a

Ⅰ 图 3.25 两对导线

b 1.5 r1 d r2 b?b? ??m?n?p?? (3.44a)

??dd a

式中拟合系数m、n和p由表3.3决定（误差在7％以内）。 图3.26 同轴圆线圈

(6) 两个大小相等，平行并同轴边长l1×l2长方线圈，

相距为D之间的互感

实际上,长方框线圈电感是相对边互感之和。邻近边互感大，远离边互感小。又因相对两边电流方向相反，互感相减。两长方框互感

2222??l?l?Dl?D111 M?4?l1?ln?222??D??l1?l1?l2?D表3.3 ζ拟合系数表

范围 0.01`0.1 0.1~0.5 0.5~0.99 m 57.69 32.59 18.04 n 796 153 52.6 p 4439 135.4 34.6 2222??l?l?Dl?D222??l?ln??2?l?l2?l2?D2D??212???? ?????10?7?8l12?l22?D2?l12?D2?l22?D2?D?10?7(H) （3.45）

??如果是正方形，只要将式(3.45)中l1=l2＝l。式（3.45）可大大简化。 (7) 同平面各边彼此平行长方线圈的互感（图3.27）

M??M15?M26?M37?M48?M17?M28?M35?M46??10?7(H) (3.46) 若两长方形同心排列，则M15=M37, M26=M48, M17=M35, M28=M46,因此 M?2?M15?M26?M17?M28??10?7(H) (3.47)

式中各单项互感按式（3.24）计算。

(8) 两个同轴同心的圆柱形单层线圈之间的互感(外线

圈长)(图(3.28))

两个长分别为2ll，2l2(l1

2

6 1 5 7 3 8 4 图3.27 同平面平行框互感

37

圆柱形线圈，其互感为

r12N1N2 M?2?g2?r22r12?l12??－7

?3?42??×10(H) (3.48) ?1?48g?r1?????式中g?r22?l12，两个线圈之间的耦合系数近似为 r12?l1 k?2

r2l2 2l1

r2 r1 g

3.4.2 磁芯电感

当电感线圈有磁芯时，因磁芯的磁导率比周围空气

的磁导率高得多，磁通被限制在磁路中。即使高磁导率 图3.28 两个单层圆柱线圈

磁芯在磁路中开有气隙，散磁发生在气隙附近，其它部

分散磁较少。一般线圈产生的磁通与全部线圈匝链，即 r1 a r1

ψ＝Nφ。同时iN??R?.R?-整个磁路等效磁阻。根据

式(3.24)电感定义

图3.29 同轴环形多层线圈

如果外边线圈短（l2）而里面线圈长(l1),上式同样适用。 (9) 两个方截面同轴多层圆线圈之间互感（3.29）

两个线圈的匝数分别为N1，N2，平均半径分别为r1，r2，同轴中心相距a。其互感为

2l2 M?N1N2M0 (3.49)

其中M0由式(3.44)决定。

L??N?1??N2?N2G? （3.50） i?R?/NR?磁芯线圈电感存在两种情况。一是磁芯磁导率较低，磁芯一般没有气隙的闭合磁路；

另一类是磁芯磁导率很高，磁路中带有气隙。在以下的讨论中认为磁芯磁导率为常数。非线性问题在以后章节讨论。

A. 低磁导率闭合磁芯电感

低磁导率磁芯做电感一般采用环形。如图3.29(a)所示。磁芯相对磁导率为μr，环的截面积为A。平均磁路长度为l，线圈的电感为

L???A?NBA??N20r?N2G (3.51) ilH/Nl例11: 有一个未知磁导率的环形磁芯，如图3.30（a）所示。内径d=2cm，外径D=4cm，

高h=1cm。为了测量磁芯的相对磁导率，在磁芯上绕40匝线圈.测得电感量为100?H。求磁芯的初始磁导率。 解: 磁路的平均长度为 l??磁芯截面积

(D?d)4?2???3?(cm)或0.03?(m) 2238

D?d4?2－42

h??1?1(cm2)或10(m) 22根据式(3.51)可得相对磁导率 A?Ll100?10?6?0.03???47 ?r?2NS?0402?10?4?4??10?7 N A l d D

－

在上述计算中，尺寸用m，?0=4?×107(H/m),如果用 h (a) －

cm，则 ?0=0.4?×108 (H/cm)。

B. 带有气隙高磁导率磁芯电感

如果图3.31(a)的环的材料磁导率很高，环上开有一个气隙δ。则开气隙的等效磁路如图3.31(b)所示。线圈的电感为

1 L?N2

Rc?R?式中Rc? φ NI R

(b)等效磁路 图 3.30 环形磁芯电感

lc??lc??,R??.如果Rc<

式中Gδ－考虑边缘散磁的气隙磁导。

例12：E型磁芯尺寸如例5，只有中柱开气隙δ＝3mm，线圈绕在中柱上，共25匝，求线

圈电感量。

解：由例4得到中柱的气隙磁导

Gδ= =0.3062×10-6(H)

N Ac 气隙磁阻为

11-16??3.27?10 R??(H) lc G?0.3062?10?6

由例5得到磁芯中总磁阻为 Rc?2R1?R2?R3

=(2×2.045+3.91+3.3)×104(H-1)=11.3×104 (H-1)

线圈的电感

1L?N2Rc?R?

δ (a)

φ Rc F=Ni Rδ (b)

图3.31 带气隙磁路

?2521?10?6?0185.?10?3(H)3.27?0113.

在本题中，磁芯磁阻与气隙磁阻比较，气隙磁阻远远

大于磁芯的磁阻。如果不考虑磁芯磁阻，电感计算如下

1?N2G??252?0.3062?10?6 L?N2R? =0.191×103（H）

－

39

如果不考虑边缘磁通，也不考虑磁芯磁阻时的电感

?0A2.7?198.?252?4???10?7?10?2 ?0.3 =0.1336×10-3(H)

从以上计算结果可以看出，当磁芯磁导率很高时，忽略磁芯磁阻对电感影响不大。但如果忽略气隙的边缘磁导，则会带来非常大的误差。

L?N2本章要点：

? 磁场的计算可简化为路的计算，尤其是带有高磁导率磁芯的磁通路。可使场的问题变

为我们熟知的路问题来分析。但磁路与电路只是形式上相似，磁阻与电阻不同，磁阻中没有象电路里确实有电子流流动的物质，它不消耗能量。

? 磁场没有“绝缘”体，只能将其短路。磁路周围的空气可能是磁路的一部分，散磁和

漏磁(变压器)总是存在的。精确计算是困难的。通常采用经验公式计算。

? 要分析散磁或漏磁，应当考虑激磁磁势在磁路中位置和分布情况。必要时，应作出磁

位图。有磁位差，就可能有磁通路径。磁位差越大，磁通分流就越大。

? 磁芯气隙是磁路的一部分。气隙附近存在边缘磁通，气隙越大，边缘磁通影响越大。

工程上，可采用近似计算。

? 无磁芯的线圈电感或互感的计算采用经验公式。误差一般在10％之内。

? 带有磁芯的电感计算主要是磁路磁阻或磁导的计算。有气隙时，必须考虑边缘磁导的

影响。

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如果不考虑边缘磁通，也不考虑磁芯磁阻时的电感

?0A2.7?198.?252?4???10?7?10?2 ?0.3 =0.1336×10-3(H)

从以上计算结果可以看出，当磁芯磁导率很高时，忽略磁芯磁阻对电感影响不大。但如果忽略气隙的边缘磁导，则会带来非常大的误差。

L?N2本章要点：

? 磁场的计算可简化为路的计算，尤其是带有高磁导率磁芯的磁通路。可使场的问题变

为我们熟知的路问题来分析。但磁路与电路只是形式上相似，磁阻与电阻不同，磁阻中没有象电路里确实有电子流流动的物质，它不消耗能量。

? 磁场没有“绝缘”体，只能将其短路。磁路周围的空气可能是磁路的一部分，散磁和

漏磁(变压器)总是存在的。精确计算是困难的。通常采用经验公式计算。

? 要分析散磁或漏磁，应当考虑激磁磁势在磁路中位置和分布情况。必要时，应作出磁

位图。有磁位差，就可能有磁通路径。磁位差越大，磁通分流就越大。

? 磁芯气隙是磁路的一部分。气隙附近存在边缘磁通，气隙越大，边缘磁通影响越大。

工程上，可采用近似计算。

? 无磁芯的线圈电感或互感的计算采用经验公式。误差一般在10％之内。

? 带有磁芯的电感计算主要是磁路磁阻或磁导的计算。有气隙时，必须考虑边缘磁导的

影响。

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