2019届高三上期末数学分类汇编(30)排列组合、二项式定理（含答案）

（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题） 14.设【答案】1 【解析】 【分析】

分别令x=0和x=-1，即可得到所求. 【详解】由条件x=-1,则有-1=，∴故答案为1.

【点睛】本题考查二项式定理的系数问题，利用赋值法是解决问题的关键，属于中档题.

（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题） 14.二项式【答案】 【解析】 【分析】

本道题利用二项式系数【详解】利用二项式系数公式

,所以为

,代入,计算,即可.

,故的系数为

的展开式中，的系数为__________．（用数字填写答案）

，

，令x=0,则有

=0，再令

，则

的值为__________．

【点睛】本道题考查了二项式系数公式,难度较小.

（湖北省2019届高三1月联考测试数学（理）试题）

14.某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】

322

设停车位有n个，求出这3辆共享汽车都不相邻的种数和恰有2辆相邻的种数，可得An﹣2＝A3An﹣2，解得即

可.

【详解】设停车位有n个，

这3辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将（n﹣3）个停车位排放好，再将这3辆共享汽车，插入到所成（n﹣2）个间隔中，故有An﹣2种，

恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看做一个复合元素，再和另一个插入到，将（n﹣3）个停车位

22

排放好所成（n﹣2）个间隔中，故有A3An﹣2种，

3

因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等， ∴An﹣23＝A32An﹣22， 解得n＝10， 故答案为：10．

【点睛】本题考查了排列组合中的相邻问题和不相邻问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.

（四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学理试题） 13.(2+)(2＋x)5的展开式中x2的系数是____．(用数字作答） 【答案】200 【解析】 【分析】

求出(2＋x)5展开式的通项公式，要求x2的系数，只需求出(2＋x)5展开式中x2和x3的系数即可．

5

【详解】(2+)(2＋x)展开式中，含x2的项为2

+=(2+

)＝200x2，

所以系数为200, 故答案为200.

【点睛】本题主要考查二项式定理的基本应用，利用展开式的通项公式确定具体的项是解决本题的关键．

（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）

8.把1，2，3，，6这六个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰先增后减，则这样的数列共有多少个？

A. 31 B. 30 C. 28 D. 32 【答案】B 【解析】

【分析】

该数列恰先增后减，则数字6一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，根据6前面的数字的个数多少分类即可．

【详解】解：该数列恰先增后减，则数字6一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种， 当6前有1个数字时，有当6前有2个数字时，有当6前有3个数字时，有当6前有4个数字时，有根据分类计数原理，共有故选：B．

【点睛】本题考查分类计数原理，关键是掌握分类的方法，属于中档题．

（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）

14.为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设，，，，，六门选修课程，学校规定每个学生必须从这门课程中选门，且，两门课程至少要选门，则学生甲共有__________种不同的选法. 【答案】 【解析】 【分析】

本道题先计算总体个数，然后计算A,B都不选的个数，相减，即可。 【详解】总体种数有

，A,B都不选的个数有

，所以一共有16种。

种， 种， 种， 种，

种，

【点睛】本道题考查了排列组合问题，难度中等。

（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题）

15.某公司安排甲、乙、丙、丁4人去上海、北京、深圳出差，每人仅出差一个地方，每个地方都需要安排人出差，若甲不安排去北京，则不同的安排方法有__________种． 【答案】24 【解析】 【分析】

根据特殊问题优先考虑原则，可先安排除甲以外的人去北京，因此分两种情况：一人去北京或两人去北京，即

可求出结果.

【详解】若安排一人去北京，共有

种；若安排两人去北京，共有

种，总共24种.

【点睛】本题主要考查排列组合问题，排列组合的常用策略：（1）特殊位置特殊元素优先考虑；（2）相邻问题捆绑策略；（3）不相邻问题插空策略；（6）相同元素隔（4）定序问题倍缩原则；（5）均分问题除法原则；板策略等.属于中档试题.

（广东省清远市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题） 13.

【答案】-7 【解析】 【分析】

根据乘法的分配率，要乘以式的常数项. 【详解】

展开式中的常数项为

，

展开式中含

的项为

.由此

中的常数项，

要乘以

中含的项，将这两种情况相加，得到表达

的常数项是__________．

.

【点睛】本小题主要考查二项式定理，考查乘法的分配率的理解和应用，考查分类计算的思想方法，属于基础题.

（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题） 13.

的展开式中的系数为_______；

【答案】224 【解析】 【分析】

先求得二项式展开式的通项公式，化简后求得【详解】二项式展开式的通项公式为

的系数.

，令

，解得

，故

的

系数为

.

【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式指定项的系数，属于基础题.

（安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题） 7.在

展开式中，含的项的系数是( )

A. 36 B. 24 C. －36 D. －24 【答案】D 【解析】 【分析】 由

，可知含的项有两部分，即

，故系数为

，进而可以求出答案。

，

【详解】由题意知，含的项有两部分，即故答案为D.

【点睛】本题考查了二项式定理的运用，属于中档题。

（辽宁省丹东市2018年高三模拟（二）理科数学试题） 14.若【答案】36 【解析】 分析：由详解：由可得

上式二项展开的通项为：令

，得

.

.

，则的值为_______．

，利用二项展开的通项公式求解即可.

，

，

故答案为：36.

点睛：本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题，二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式

；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）

二项式定理的应用．

（湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考（四）数学（理）试题） 5.若

A. 0 B. 1 C. 32 D. -1 【答案】A 【解析】

，则

（ ）

由二项展开式的通项公式，可知都小于．则

．在原二项展开式中令

．故本题答案选．

（河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四）理科数学试题） 14.已知

，记

，则

，可得

的展开式中各项系数和为

__________． 【答案】 【解析】 【分析】

根据定积分的计算，得到

，令

，求得

，即可得到答案．

【详解】根据定积分的计算，可得

，

令即

，则

的展开式中各项系数和为.

，

【点睛】本题主要考查了定积分的应用，以及二项式定理的应用，其中解答中根据定积分的计算和二项式定理求得

（河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四）理科数学试题）

15.某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有_________种.（用数字作答） 【答案】180 【解析】 【分析】

由派遣8名干部分成两个小组，每组至少3人，可得分组的方案有3、5和4、4两类，分别求得两类分法的种数，再由分类计数原理，即可求解．

【详解】由题意，派遣8名干部分成两个小组，每组至少3人，可得分组的方案有3、5和4、4两类，第一类有

种；第二类有

种，

种不同的方案.

的表示是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

由分类计数原理，可得共有

【点睛】本题主要考查了分类计数原理，及排列、组合的应用，其中解答中根据题意合理分组，分别求得两组分法的种数，再由分类计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学（理）试题）

11.今有个人组成的旅游团,包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有( )种 A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】 【分析】

分两类，分别讨论两个小孩坐在一块和两个小孩不坐在一块所包含的情况，最后求和即可. 【详解】第一类：只用两辆缆车， 若两个小孩坐在一块，则有

种乘车方式；

若两个小孩不坐在一块，则有第二类：用三辆缆车， 若两个小孩坐在一块，则有

种乘车方式；

种乘车方式；

若两个小孩不坐在一块，则有种乘车方式；

综上不同的乘车方式有故选C

种.

【点睛】本题主要考查两个计数原理，熟记分类加法与分类乘法计算原理，即可分情况讨论，写出结果，属于常考题型.

（广东省广州市天河区2019届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题）

8.安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有 A. 360种 【答案】C 【解析】 【分析】

先把名学生分成组，再分配到个社区即可求得结果。 【详解】名学生分成组，每组至少人，有①

：分组共有

和

两种情况

种

B. 300种

C. 150种

D. 125种

种分法；再分配到个社区：

②：分组共有种分法；再分配到个社区：种安排方式

种

综上所述：共有本题正确选项：

【点睛】本题考查排列组合中的平均分组问题，易错点在于对学生进行分组时，忽略了有两组平均分组，造成重复。处理平均分组问题的方法是：组均分时，分组选人后除以

（广东省东莞市2019届高三上学期期末调研测试数学理试题） 7.二项式A.

的展开式的常数项为（ ）

B. 15

C.

D.

。

【答案】B 【解析】 【分析】

写出二项展开式的通项公式，令x的指数为0，即可得到常数项. 【详解】二项式

的展开式的通项公式为Tr+1＝

?（﹣1）r?x6﹣3r，

令6﹣3r＝0，求得r＝2， ∴展开式的常数项是＝15， 故选：B．

【点睛】本题考查二项展开式的运用，考查求特定项的系数，熟练运用公式求解即可.

（广东省江门市2019届高三高考模拟（第一次模拟）考试数学（理科）试题）

14.甲、乙、丙、丁、戊名学生进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，人的名次排列可能有_________种不同的情况．（用数字作答） 【答案】【解析】 【分析】

甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．

【详解】由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况； 再排甲，也有3种情况；余下3人有A33种排法．故共有3?3?A33=54种不同的情况．故答案为：54． 【点睛】本题主要考查排列、组合与简单的计数问题，解决此类问题的关键是弄清完成一件事，是分类完成还

是分步完成，是有顺序还是没有顺序，像这种特殊元素与特殊位置的要优先考虑．

（广东省江门市2019届高三高考模拟（第一次模拟）考试数学（理科）试题） 9.在二项式A. 【答案】B 【解析】 【分析】

本题是一个等可能事件的概率，在二项式（x+1）10的展开式中任取一项有11种结果，1和x系数都为1，只考虑二项式系数即可，写出二项式系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1得到奇数4个，得到概率．

【详解】有题意知本题是一个等可能事件的概率， 在二项式（x+1）10的展开式中任取一项有11种结果， 1和x系数都为1，我们只考虑二项式系数即可．

二项式系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1得到奇数4个， ∴任取一项，该项的系数为奇数的概率p＝故选：B．

【点睛】本题考查等可能事件的概率和二项式系数的特点，本题解题的关键是看出二项式的展开式中所有的二项式系数的值，本题比较特殊，因为二项式的系数等于项的系数．

（广东省韶关市2019届高三1月调研考试数学理试题）

9.某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A. 720种 【答案】C 【解析】 【分析】

先安排好除丙之外的5个节目，再安排丙即可.

B. 360种

C. 300种

D. 600种

的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是（ ）

B.

C.

D.

【详解】∵故选：B

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，项的系数的性质，熟记公式是关键，属于基础题．

（陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）

5.陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教胜迹，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言。景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为（ ）

（

）?（1

），故它的展开式中的常数项是1+15=16

A. 【答案】B 【解析】 【分析】

B. C. D.

根据组合数，求得出所有相克情况，即可求得任取两种取出的两种物质恰好是相克关系的概率。 【详解】从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件数量为取出两种物质恰好相克的基本事件数量为

则取出两种物质恰好是相克关系的概率为

所以选B

【点睛】本题考查了概率求法，古典概型概率的相关求解，属于基础题。

（四川省成都市实验外国语学校2019届高三二诊模拟考试理科数学） 8.已知A. 【答案】C 【解析】 【分析】

本题首先可以根据二项式

得出各项系数的和，然后根据二项式

，即可得出结果。 ， ， ，

得出各项二项式系数的和，

展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为

B.

C.

，则等于（ ）

D.

最后根据各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为【详解】二项式二项式

的各项系数的和为

的各项二项式系数的和为

因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为所以

，

，故选C。

【点睛】本题考查二项式的相关性质，主要考查二项式的各项系数的和以及各项二项式系数的和，考查计算能力，体现了基础性，提高了学生对于二项式的理解，是简单题。

（安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考数学（文）试题）

7.某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是( ) A. 【答案】B 【解析】 【分析】 基本事件总数

，再利用列举法求出其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况种数，根据古B.

C.

D.

典概型概率计算公式可得结果．

【详解】所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，

基本事件总数

，

，

，其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况有：

，

，

共有5种， ，故选B.

∴甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率

【点睛】本题考查适合古典概型的概率求法，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用，属于基础题．

（安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）

8.某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务必须排在前三项执行，且执行任务之后需立即执行任务；任务、任务不能相邻.则不同的执行方案共有（ ） A. 36种 【答案】B 【解析】 【分析】

分三种情况，任务A排在第一位时，E排在第二位，任务A排在第二位时，E排在第三位，任务A排在第三位时，E排在第四位，结合任务B和C不能相邻，分别求出三种情况的排列方法，即可得到答案。 【详解】六项不同的任务分别为A、B、C、D、E、F，

如果任务A排在第一位时，E排在第二位，剩下四个位置，先排好B、C，再在B、C之间的3个空位中插入D、F，此时共有排列方法：

；

，可能

B. 44种

C. 48种

D. 54种

如果任务A排在第二位时，E排在第三位，则B，C可能分别在A、E的两侧，排列方法有都在A、E的右侧，排列方法有

；

；

如果任务A排在第三位时，E排在第四位，则B，C分别在A、E的两侧所以不同的执行方案共有

种．

【点睛】本题考查了排列组合问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题。

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