高考典型例题：等效重力场

运用等效法巧解带电粒子在匀强电场中的运动

一、等效法

将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法。中学物理中常见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效法（如矢量的合成与分解）；整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动）；过程等效法（如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能）

概念的全面类比

为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关

概念之间关系。具体对应如下： 等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场 等效重力重力、电场力的合力 等效重力加速度等效重力与物体质量的比值 等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置 等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置 等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积

二、题型归类

（1）单摆类问题（振动的对称性）

例1、如图2-1所示`，一条长为L的细线上端固定在Ｏ点，下端系一个质量为m的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为Ｅ，方向水平向右，已知小球在Ｂ点时平衡，细线与竖直线的夹角为?。求：当悬线与竖直线的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细

线到竖直位置时，小球速度恰好为零？

O E O E O E α B 图2-1

α qE T B 图2-2 mg?αβ B 图2-3

mg

运动特点：小球在受重力、电场力两个恒力与不做功的细线拉力作用下的运动，

对应联想：在重力场只受重力与细线拉力作用下的运动的模型：单摆模型。 等效分析：对小球在B点时所受恒力力分析（如图2-2），将重力与电场力等效为一个恒力，将 其称为等效重力可得：mg??单摆运动。

规律应用：如图2-3所示，根据单摆对称运动规律可得，B点为振动的平衡位置，竖直位置对

应小球速度为零是最大位移处，另一最大位移在小球释放位置，根据振动对称性即可得出，

当悬线与竖直线的夹角满足??2?，小球从这一位置静止释放后至细线到竖直位置时，小球速度恰好为零。

针对训练：

1、如图所示，在水平方向的匀强电场中的O点，用长为l的轻、软绝

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mgcos?，小球就做只受“重力”mg′与绳拉力运动，可等效为

缘细线悬挂一质量为m的带电小球，当小球位于B点时处于静止状态，此时细线与竖直方向（即OA方向）成θ角．现将小球拉至细线与竖直方向成2θ角的C点，由静止将小球释放．若重力加速度为g ，则对于此后小球的受力和运动情况，下列判断中正确的是 A．小球所受电场力的大小为mgtanθ B．小球到B点的速度最大

C．小球可能能够到达A点，且到A点时的速度不为零 D．小球运动到A点时所受绳的拉力最大

O θ θ E C A B

答案：AB 2、用长为l的细线悬挂一质量为m，带电荷量为+Q的小球，将其置于水平方向向右且大小为E的匀强电场中，如下图所示。现将小球固定于悬点的正下方且OA?l的位置A处，然后释放小球。已知电场力大于重力，求悬线受到的最大拉力。

解析：小球释放后受恒力mg、QE和变力FT的作用，在位置A、B之间做往复振动，电势能和重

力势能、动能发生相互转化，则在点A、B之间必存在一个平衡位置（切向加速度为零），由

运动的对称性可知，这个位置必然在点A、B中间，设为点C，与竖直方向的夹角为θ，则

tan??QE/mg，等效重力加速度

g'?g?(QE/m)22?g/cos?。

设点C为等效重力势能的零势能面，则 mg l(1?cos?)?12mvC，FT?mg ?mvC/l，

22FT?mg'?2mg'(1?cos?) ?3mg'?2mg'cos??3(mg)?(QE)22

?2mg3、如图2所示，一条长为L的细线上端固定，下端拴一个质量为m的带电小球，将它置于一方向水平向右，场强为正的匀强电场中，已知当细线离开竖直位置偏角α时，小球处于平衡状态。

图2

（1）若使细线的偏角由α增大到?，然后将小球由静止释放。则?应为多大，才能使细线到达竖直位置时小球的速度刚好为零？

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（2）若α角很小，那么（1）问中带电小球由静止释放在到达竖直位置需多少时间？

解析：带电小球在空间同时受到重力和电场力的作用，这两个力都是恒力，故不妨将两个力合成，

并称合力为“等效重力”，“等效重力”的大小为：

(mg)?(Eq)gcos?22?mgcos?，令

mgcos??mg'

这里的g'?可称为“等效重力加速度”，方向与竖直方向成α角，如图3所示。这样一个

“等效重力场”可代替原来的重力场和静电场。

图3

（1）在“等效重力场”中，观察者认为从A点由静止开始摆至B点的速度为零。根据重力场中

单摆摆动的特点，可知??2?。

（2）若α角很小，则在等效重力场中，单摆的摆动周期为T?2?B的时间为单摆做简谐运动的半周期。

T2Lcos?gLg'?2?Lcos?g，从A→

即t???。

4、在水平方向的匀强电场中，用长为3L的轻质绝缘细线悬挂一质量为m的带电小球，小球静止在A处，悬线与竖直方向成300角，现将小球拉至B点，使悬线水平，并由静止释放，求小球运动到最低点D时的速度大小。

A处时对球受力分析如右图: 且F=mgtg300=

33B O 300 C VCX VCY D T F

A mg,

mg

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“等效”场力G’=(mg)2?F2=

23mg 与T反向

3“等效”场加速度g’=

23g

3从B到C小球在等效场力作用下做初速度为零的匀加速直线运动,

S=3L V C=2g's=2

gL 所以V0

CX=VC sin60=3gL

VCY在绳子拉力作用下，瞬时减小为零

从C到D运用动能定理: W2G+WF=

12m V D--

12m V2CX

V D=(23?1)gL

5、如图12，带正电的小球用细绳悬挂在两块无限大的平行板电容器间。小球悬点O，摆长为L，摆球质量为m，两板间距为d，两板间加电压为U。今向正极板方向将摆球拉到水平位置B然后无初速释放，小球在B、A间来回振动，OA为竖直线。

求：（1）小球所带电量为多少？

B O （2）小球最大速率为多少？ （3）若要使小球能做完整的圆周运动，在B点至少 需使小球具有多大的竖直向下的初速度？

+

A

解析：⑴由题意可知小球运动的等效最低点为AB弧的中点

且电场力qE水平向左、重力mg竖直向下，合力的方向由O指向AB弧中点，即O点左向下45° 则 qE=mg ，E=U/d 得 q=mgd/U

⑵从上一问分析可知小球将在AB弧中点达到最大速度Vm，电场力与重力的合力为2mg ，由B静止运动到AB弧中点的过程，根据动能定理得

12mV2m=2mgL(1?22)则Vm==(22?2)gL ⑶小球圆周运动的等效最高点为O点右向上45°距离为L处 在此处应具有的最小速度为2gL，设在B点时具有竖直向下的速度为VB，由动能定理得

1m2gL?122mV2L?2B=?2mg(2L)

解得VB?(32?2)gL

6、（12西城二模）如图所示，长度为l的轻绳上端固定在O点，下端系一质量为m，电荷量为+q的小球。

整个装置处于水平向右，场强大小为

3mg的匀强电场中。

4q（1）求小球在电场中受到的电场力大小F；

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-

（2）当小球处于图中A位置时，保持静止状态。若剪断细绳，求剪断瞬间小球的加速度大小a； （3）现把小球置于图中位置B处，使OB沿着水平方向，轻绳处于拉直状态。小球从位置B无初速

度释放。不计小球受到的空气阻力。求小球通过最低点时的速度大小v。

解析：

（1）小球所受的电场力 F?Eq? ················· 2分

4F?Eq?3454mg··················2分3EA B O

mg（2）根据平行四边形定则,小球受到的重力和电场力的的合力

F合?（mg)2?(Eq)2?· ················2分

·················2分 ············ ··2分

122 根据牛顿第二定律 F合?ma所以，小球的加速度 a?

（3）根据动能定理有 ：

54g mgl?Eql?2gl2mv?0·············4分

解 得： v? ·················2分

（2）类平抛运动

例1：水平放置带电的两平行金属板，相距d,质量为m的微粒由板中间以某一初速平行于板

的方向进入，若微粒不带电，因重力作用在离开电场时，向下偏转d/4，若微粒带正电，电量为q，仍以相同的初速度进入电场，微粒恰好不再射出电场，则两板的电势差应为多少？并说明上下板间带电性？

解：当微粒不带电时，只受重力做平抛运动d/4=1/2gt2，带电后，应根据极板电性不同分两种情况讨论

（1）若上极板带正电，下极板带负电（如图a） 微粒水平方向仍作匀速直线运动时间为t，竖直方向受 重力和电场力均向下，竖直位移s=1/2(g+qU/md) t ，要使 微粒不再射出电场，则s>d/2,解得U>mgd/q. （2）若上极板带负电，下极板带正电（如图b） 分析方法上同，只是此时电场力向上，竖直位移 s=1/2(qU/md-g) t2，要使微粒不再射出电场，则s>d/2, 解得U>3mgd/q.由于微粒不带电时能射出电场，故当重 力大于电场力时，微粒一定能射出，满足条件。

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2

+ G F F G + (b)

_ (a) _

（3）竖直平面内的圆周运动

例1、如图3-1所示，绝缘光滑轨道AB部分为倾角为30°的斜面，AC部分为竖直平面上半径为

R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀强电场中。现

有一质量为m的带正电，电量为q?速度应为多大？

0R 30 图3-1

B E O R 30 图3-2 03mg3E小球，要使小球能安全通过圆轨道，在O点的初

E N mg qE mg?

R O 30 0图3-3 mg?

运动特点：小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受到重力、

电场力，轨道作用力，且要求能安全通过圆轨道。

对应联想：在重力场中，小球先在水平面上运动，重力不作功，后在圆轨道上运动的模型：过

山车。 等效分析：如图3-2所示，对小球受电场力和重力，将电场力与重力合成视为等效重力mg?，

23mg3qEmg33大小mg??(qE)?(mg)?22，tg???，得??30?，于是重效重力

方向为垂直斜面向下，得到小球在斜面上运动，等效重力不做功，小球运动可类比为重力场中过山车模型。

规律应用：分析重力中过山车运动，要过圆轨道存在一个最高点，在最高点满足重力当好提供

向心力，只要过最高点点就能安全通过圆轨道。如果将斜面顺时针转过300，就成了如图3-3所示的过山车模型，最高点应为等效重力方向上直径对应的点B，则B点应满足“重R假设以最小初速度v0运动，小球在斜面上作匀速直线运动，进入圆轨道后只有重力作功，则根

1122据动能定理：?mg?2R?mvB?mv0

22力”当好提供向心力即：mg??mvB2

解得：v0?103gR3

针对训练：

1、水平向右的匀强电场中，用长为R的轻质细线在O点悬挂一质量为m的带电小球，静止在A处，AO的连线与竖直方向夹角为370，现给小球施加一个沿圆弧切线方向的初速度V0，小球便在竖直面内运动，为使小球能在竖直面内完成圆周运动，这个初速度V0至少应为多大？ 解析：

静止时对球受力分析如右图 且F=mgtg37=

0

B O 34mg,

22 “等效”场力G’=(mg)?F“等效”场加速度g’=

54=

54mg与T反向

370 A g

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与重力场相类比可知: 小球能在竖直面内完成圆周运动的临界速度位置在AO连线B处, 且最小的V B=g'R

从B到A运用动能定理: G’2R=

545212m V0 2--

2

1mg2R=

12m V0 --

25 12m V B2 gR

m

4 V0 =

gR

2. 如下图所示，在竖直平面内有水平方向的匀强电场，场强E=104N·C?1，有一质量m?0.04kg，带电荷量Q?3×10?5C的小球，用一长度l?0.4m的细线拴住且悬于电场中的O点，当小球处于平衡位置静止时，问：在平衡位置以多大的初速度释放小球，才能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动？（g?10m·s?2）

解析：小球在复合场中处于平衡时，受到恒力QE、mg和变力FT的作用，设平衡位置在A处，此时悬线与竖直方向的夹角为θ，等效重力加速度 g'?g?(QE/m)22?12.5m·s?2。

小球运动的最高点为AO连线的反向延长线与圆弧的交点B。因为只有重力和电场力做功，故能

量守恒。取A处为等效“重力零势能面”，则EKA?EKB?EPB，即

12mvA?212mvB?mg'(2l)。

2 若要维持带电粒子做圆周运动，粒子到达最高点的临界条件为 mg'?mvB/l，vB? 则 v0?12mv0?22lg'。

12mg'l?2mg'l，

?15g'l?5m·s。

3、半径R=0.8m的光滑绝缘导轨固定于竖直面内，加上某一方向的匀强电场后，带电小球沿轨道内侧做圆周运动，小球动能最大的位置在A点，圆心O与A点的连线与竖直方向的夹角为?，如图11所示.在A点时小球对轨道的压力

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. B

图11

FN=120N，若小球的最大动能比最小动能多32J，且小球能够到达轨道上的任意一点（不计空气阻力）.试求：

（1）小球最小动能等于多少？

(2)若小球在动能最小位置时突然撤去轨道，并保持其他量不变，则小球经 0.04s时间后，其动能与在A点时的动能相等，小球的质量是多少？

解析 （1）依题意：我们将带电小球受到的重力和电场力的等效为一个力F（F即为重力和电场力的合力），设小球动能最小位置在B处（该点必在A点的对称位置），此时，由牛顿第二定v律和圆周运动向心力公式可得：FN?F?mA，从A到B，由动能定理得：

R?F?2R?E?Ek，可解得：EkA?40J，EkB?8J，F?20N kBA2（2）撤去轨道后，小球将做类平抛运动（BA方向上匀加速、垂直于OA方向上匀速直线运动的合

运动），根据机械能守恒，0.04s后，将运动到过A点且垂直于OA的直线上.运动过程的加速度为：a?Fm，根据平抛运动规律可得：2R?12at，可解得：m?2Ft24R?0.01kg。

4、（07宣武）（本题9分）如图14所示，ABCD为表示竖立放在场强为E=104V/m的水平匀强电场中

⌒

的绝缘光滑轨道，其中轨道的BCD部分是半径为R的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切A为水平轨道的一点，而且AB?R?0.2m.把一质量m=100g、带电q=10－4C的小球，放在水平轨道的A点上面由静

2

止开始被释放后，在轨道的内侧运动。（g=10m/s）求： （1）它到达C点时的速度是多大？ （2）它到达C点时对轨道压力是多大？ （3）小球所能获得的最大动能是多少？

答案：（9分）概述：对于本题，无论应用功能关系、动能定理或广义机械能守恒

定律观点，只要叙述准确以及对应的方程符合规范，都要给相应的分。以下

仅用动能定律的观点求解，供参考。）

解：（1）、（2）设：小球在C点的速度大小是Vc，对轨道的压力大小为NC，则对于小球由A→C的过程中，应用动能定律列出：

qE.2R?mgR?12mVC?0???????①

2在C点的圆轨道径向应用牛顿第二定律，有：NC?qE?mVCR2??②

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解得：VC?4qERm?2gR?2m/s???③

NC?5qE?2mg?3N??????????④

（3）∵mg=qE=1N ∴合场的方向垂直于B、C点的连线BC

的中点D如图：????????⑤ ∴合场势能最低的点在⌒BC

∴小球的最大能动EKM：

EKM?Epmin?EpD?qER(1?sin45?)?mg.R(1?cos45?)?25J????⑥

A

例2：“最低点”类问题

如图1-1所示，ab是半径为R的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，匀强电场与圆周在同一平面内。现在该平面内，将一带正电的粒子从a点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，粒子会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达c点时粒子的动能最大。已知∠cab=30°，若不计重力和空气阻力，试求：（1）电场方向与ac间的夹角θ。 （2）若小球在a点时初速度方向与电场方向垂直，则小球恰好能落在c点，那么初动能为多大？

c

图1-1 a 30° e a mg 图1-3

b d

E c 30° b 图1-2

运动特点：小球只受恒定电场力作用下的运动

对应联想：重力场中存在的类似的问题，如图1-2所示，在竖直平面内，从圆周的d点以相同

的动能抛出小球，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，

可知到达圆周最低点e时小球的动能最大，且“最低点”e的特点：重力方向上过圆心的直径上的点。

等效分析：重力场的问题中，存在一个“最低点”对应的速度最大。同理恒定电场中也是对应

的“最低点”时速度最大，且“最低点”就是c点。 规律应用：电场力方向即为如图1-3所示过圆心作一条过c点的直径方向，由于粒子带正电，

电场方向应为斜向上，可得θ=30°。

解析：（1）对这道例题不少同学感到无从下手，其实在重力场中有一个我们非常熟悉的事实：如图

1所示，在竖直平面内，从圆周的a点以相同的动能抛出小球，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达圆周最低点d时小球的动能最大，最低点是过圆心

的竖直直径的一点，根据这一事实，我们将电场等效为重力场，那么小球也应该是在“最低点”时速度最大，所以过圆心作一条过c点的直径，这就是电场的方向，如图2所示，所以θ=30°。

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图1 图2 （2）小球做类似平抛运动，由平抛运动知识可知 x?v0t，y?12at2?EQt2m2，

而 x?Rcos?，y?x/tan?，

解得 Ek?针对训练：

1、（09海淀反馈）如图15所示，BD是竖直平面上圆的一条竖直直径，AC是该圆的任意一条直径，已知AC和BD不重合，且该圆处于匀强电场中，场强大小为E，方向在圆周平面内。将一带负电的粒子Q从O点以相同的动能射出，射出方向不同时，粒子会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达A点时粒子的动量总是最小。如果不考虑重力作用的影响，则关于电场强度的下列说法中正确的是 （ ）

A．一定由C点指向A点 B．一定由A点指向C点 C．可能由B点指向D点 D．可能由D点指向B点 答案：A

2、(09海淀)如图9所示，BD是竖直平面内圆上的一条竖直直径，AC是该圆的 另一条直径，该圆处于匀强电场中，场强方向平行于圆周平面。将带等量 负电荷的相同小球从O点以相同的动能射出，射出方向不同时，小球会经过圆 周上不同的点，在这些所有的点中，到达A点时小球的动量总是最小。忽略空 气阻力，则下列说法中正确的是（ ）

A．可以断定电场方向由O点指向圆弧AEB上的某一点

B．到达B点时小球的动能和电势能之和总是最小

C．到达C点时小球的电势能和重力势能之和总是最小 D．对到达圆上的所有小球中，机械能最小的小球应落在圆弧CFD上的某一点 答案：BC （4）、斜面类问题

如图4-1所示，一根对称的“Λ”型玻璃管ABC置于竖直平面内，管与水平面夹角为θ＝30, 一侧管长为L=2m，管对称线OO′的左侧的空间存在竖直向上的匀强电场E1，管对称线OO′的右侧的空间存在与竖直方向成??30，大小为E2的匀强电场。质量为m，带正电电量为q的小球在管内从A点由静止开始运动，且与管壁的摩擦系数为μ，如果小球在B端与管作用没有机械能量损失，已知??0.5，qE1?3mg，qE2?零的位置在何处？

E1 L A θ O O′ B ? 第 10 页 共 14 页 00

12mv0?218REQ。

A E B

O D F 图9

C 3mg，求小球从A点开始至第一次速度为

O′ E2 E1 qE2 qE1 mg1 L θ mg B mg2 ? E2 C A mg O C

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