【备战2016】(北京版)高考数学分项汇编 专题14 推理与证明、新定
更新时间:2023-04-09 11:39:01 阅读量: 实用文档 文档下载
专题14 推理与证明、新定义
1. 【2006高考北京理第8题】下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆数如图所示,图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段,,AB BC CA 的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则20,30;35,30;55,50 ( )
(A )123x x x >>
(B )132x x x >>
(C )231x x x >>
(D )321x x x >>
【答案】
C
2. 【2009高考北京理第8题】点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点,且|||PA AB =,则称点P 为“点”,那么下列结论中正确的是 ( )
A .直线l 上的所有点都是“点”
B .直线l 上仅有有限个点是“点”
C .直线l 上的所有点都不是“点”
D .直线l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“
点” 【答案】
A
考点:创新题型.
3. 【2014高考北京理第8题】学生的语文、数学成绩均被评为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有()
A.2人 B.3人 C.4人 D.5人
B
【答案】
4. 【2005高考北京理第14题】已知n 次式项式n n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110)( .
如果在一种算法中,计算),,4,3,2(0n k x k =的值需要k -1次乘法,计算P 3(x 0)的值共需要9次运
算(6次乘法,3次加法),那么计算P 10(x 0)的值共需要
次运算.
下面给出一种减少运算次数的算法:P 0(x )=a 0,P k +1(x )=x P k (x )+a k +1(k =0,1,2,…,n -1).利用该算法,计算P 3(x 0)的值共需要6次运算,计算P 10(x 0)的值共需要 次运算.
【答案】1(3)22
n n n +
考点:信息题。
5. 【2007高考北京理第20题】(本小题共13分)已知集合{}12(2)k A a a a k =≥,,,,其中(12)i a i k ∈=Z ,,,,由A 中的元素构成两个相应的集合:{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈,,,,
{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈,,,.其中()a b ,是有序数对,集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n .若对于任意的a A ∈,总有a A -?,则称集合A 具有性质P .(I )检验集合{}0123,,,与{}123-,,是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合,写出相应的集合S 和T ; (II )对任何具有性质P 的集合A ,证明:(1)2
k k n -≤; (III )判断m 和n 的大小关系,并证明你的结论.
6. 【2008高考北京理第20题】(本小题共13分)
对于每项均是正整数的数列12n A a a a :,,,,定义变换1T ,1T 将数列A 变换成数列
1()T A :
12111n n a a a ---,,,,. 对于每项均是非负整数的数列12m B b b b :,,,,定义变换2T ,2T 将数列B 各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列2()T B ;
又定义2221212()2(2)m m S B b b mb b b b =+++++++.
设0A 是每项均为正整数的有穷数列,令121(())(012)k k A T T A k +==,
,,. (Ⅰ)如果数列0A 为5,3,2,写出数列12A A ,;
(Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列A ,证明1(())()S T A S A =; (Ⅲ)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A ,存在正整数K ,当k K ≥时,1()()k k S A S A +=.
7. 【2010高考北京理第20题】(13分)已知集合S n ={X |X =(x 1,x 2,…,x n ),x i ∈{0,1},i =1,2,…,n }(n ≥2).对于A =(a 1,a 2,…,a n ),B =(b 1,b 2,…,b n )∈S n ,定义A 与B 的差为A -B =(|a 1-b 1|,|a 2-b 2|,…,|a n -b n |);A 与B 之间的距离为d (A ,B )=1n i
i i a b =-∑
(1)证明:A ,B ,C ∈S n ,有A -B ∈S n ,且d (A -C ,B -C )=d (A ,B );
(2)证明:A ,B ,C ∈S n ,d (A ,B ),d (A ,C ),d (B ,C )三个数中至少有一个是偶数;
(3)设P S n ,P 中有m (m ≥2)个元素,记P 中所有两元素间距离的平均值为d
(P
),
证明:()2(1)
mn d P m ≤-.
8. 【2011高考北京理第20题】若数列n A :1a ,2a ,…,(2)n a n ≥满足1||1k k a a +-=(k =1,2,…,
1n -),则称n A 为E 数列。记12()n n S A a a a =+++.(1)写出一个满足150a a ==,且5()0S A >的E 数列5A ;(2)若112a =,2000n =,证明:E 数列n A 是递增数列的充要条件是2011n a =;(3)对任意给定的整数(2)n n ≥,是否存在首项为0的E 数列n A ,使得()0n S A =?如果存在,写出一个满足条件的E 数列n A ;如果不存在,说明理由。
9. 【2012高考北京理第20题】(本小题共13分) 设A 是由m n ?个实数组成的m 行n 列的数表,满足:每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零. 记(),S m n 为所有这样的数表组成的集合. 对于(),A S m n ∈,记()i r A 为A 的第i 行各数之和(1i m ),()j c A 为A 的第j 列各数之和(1j n );记()k A 为1()r A ,2()r A ,
…,()m r A ,1()c A ,2()c A ,…,()n c A 中的最小值.
(1)对如下数表A ,求()k A 的值;
1
1 0.8- 0.1 0.3- 1-
(2)设数表()2,3A S ∈形如
1 1 c
求()k A 的最大值;
(3)给定正整数t ,对于所有的()2,21A S t ∈+,求()k A 的最大值
.
a b 1-
10. 【2014高考北京理第20题】(本小题满分13分) 对于数对序列1122:(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ,记111()T P a b =+,
112(){(),}(2)k k k k T P b Max T P a a a k n -=+++
+≤≤,其中112{(),}k k Max T P a a a -+++表示1()k T P -
和12k a a a +++两个数中最大的数.
(1)对于数对序列:(2,5),(4,1)P ,求12(),()T P T P 的值;
(2)记m 为a ,b ,c ,d 四个数中最小的数,对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列:(,),(,)P a b c d 和:(,),(,)P c d a b ',试分别对m a =和m d =两种情况比较2()T P 和2()T P '的大小;
(3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P 使5()T P 最小,并写出5()T P 的值.(只需写出结论
).
考点:新定义题型.
11. 【2015高考北京,理8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、
乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是()
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】D
考点:本题考点定位为函数应用问题,考查学生对新定义“燃油效率”的理解和对函数图象的理解.
12. 【2015高考北京,理20】已知数列{}n a 满足:*1a ∈N ,136a ≤,且121823618n n n n
n a a a a a +?=?->?,≤,,()12n =,,…. 记集合{}
*|n M a n =∈N .
(Ⅰ)若16a =,写出集合M 的所有元素;
(Ⅱ)若集合M 存在一个元素是3的倍数,证明:M 的所有元素都是3的倍数;
(Ⅲ)求集合M 的元素个数的最大值.
【答案】(1){6,12,24}M =,(2)证明见解析,(3)
8
考点定位:1.分段函数形数列通项公式求值;2.归纳法证明;3.数列元素分析.
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