数学实验练习题2010-2011学年(2)

数学实验练习题

一、计算下列各题

注意:在下面的题目中m为你的学号的后2位.

第一、二、三次练习题

?6x1?3x2?4x3?3?1、求线性方程组 ??2x1?5x2?7x3??4 的解。

?8x?4x?3x??723?1?123???2、设A??221?，求A,,A?1，A的秩及A的特征值与特征向量。

?343?????211????1A?0203.求矩阵?? 的逆矩阵A 及特征值和特征向量。 ??41m???4、设向量a?(5,9,13),b?(7,?5,6),c?(?3,6,?3),求a?b,a?b,a?(b?c)5.求解下列各题：

mxmx?sinmxx(5)y?ecos,求ylim1)x?0 2)

100x3?x3)、xe?x2x425dxdx, 4）?25)、sinxcosxdx, 2?m?4x206)、?edx, 7)、?8)、?32?x2dx

1x312 10)、?1?x12dx ，9)、e0?1/2mx2dx

1x21?x2dx ，11)I??1?1?2?2e?x2/2sin(x2?y)dxdy

12) 将

m?x在x?0展开(最高次幂为4). 1013)

y?e1sinx(10)y(m) ,求

（提示：先定义函数, 再求值） 6.已知

12??f(x)?(x??)2?分别在下列条件下画出f(x)的图形： 22?e,(1)??1,?分别为0,?1,1(在同一坐标系上作图); (2) ??0,?分别为1,2,4, (在同一坐标系上作图).

??x?usint?y?ucost7.画 （1）??100t?z?m?(2)

0?t?200?u?2

z?sin(mxy)0?x?3,0?y?3

0?t?2?0?u?2? 的图（第7

?x?sin(t)(m/100?cosu)?（3）?y?cos(t)(m/100?cosu)?z?sinu?题只要写出程序）.

8. 设 xn?1?111????, {xn}是否收敛？若收敛，其值为多少？精确ppp23n到小数点后15有效数字。其中p?7?m/20.

1a?x?(x?)?n?1n2xn， 9. 设 ??x?01）设a?m（学号），x0?3，数列{xn}是否收敛？若收敛，其值为多少？精确到小数点后15有效数字。

2）试对不同的a（要求至少取若收敛，其值为多少？收敛的值与初值x0是否有关？ 请写出你的猜想。

?an?an?1?man?2 10、设 ?， 编程计算a100.（学号为单号的取m=2, 学号为双号的取

?a1?1,a2?1m=1） 11、编程找出

c?1000,c?b?5 的所有勾股数，并问：能否利用通项表示 {a,b,c}?

对书上第35页问题1，求解下列问题12－14

12、 求出1999年的肉价及2000、2001年的猪肉价格与产量. 13、 给出1999年后第n年猪肉价格与产量的一般表达式. 14 猪肉价格与产量会稳定吗？哪一年开始稳定？稳定值为多少？ 15、练习1，（书上53页）

16、练习2，（书上53页） 17、练习3，（书上54页） 18、练习4，（书上54页）

19、在同一坐标系上绘制曲线：x?0.2y2?1?0,3x?2y?3?0，并求出它们的交点。

第四次练习题

实验九1，2，4，6，7，12，14

二、在下列各题中选做一题 （注：做同一题目者一个小班不能超过4人）

1．一幢楼房的后面是一个很大的花园。在花园中仅靠着楼房有一个温室，温室伸入花园宽2m，高3m，温室正上方是楼房的窗台。清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上。因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子不能太短。现清洁工只有一架7m长的梯子，你认为它能达到要求吗？能满足要求的梯子的最小长度为多少？ 2. 问题

现有一个木工，一个电工和一个油漆工，三人相互同意彼此装修他们自己的房子。在装修之前，他们达成了如下协议：

（1） 每人总共工作10天（包括给自己家干活在内）； （2） 每人的日工资根据一般的市价在60----80元之间； （3） 每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等。

下表是他们协商后制定出的工作天数的分配方案，如何计算出他们每人应得的工资？ 工 种 天 数 在木工家的工作天数 在电工家的工作天数 在油漆工家的工作天数 木工 2 4 4 电工 1 5 4 油漆工 6 1 3 3. 考虑利用多种方法方法计算: 1).圆周率π的值; 2)自然对数的底e. 计算精度达到10-17.（至少三种方法）

4、动物繁殖问题

某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0~5岁；第二组，6~10岁；第三组，11~15岁。动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三年龄组在其年龄段平均繁殖3个后代。第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1/2，1/4。假设农场现有三个年龄段的动物各1000头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多头？一般地，5n年后 农场三个年龄段的动物各有多头？

要求：1 建立动物各年龄段数量的预测模型；

2 利用所建模型，用数学软件计算15年后各年龄段的动物数量。

5．投资效益问题

一个投资公司有22亿资金可用来投资，现有6个项目可供选择，各项目所需资金和预计收益如下表：

项目 1 2 3 4 5 6 所需资金5 2 6 4 6 8 （亿） 预计收益0.5 0.4 0.6 0.5 0.9 1 （亿） 问：选择哪几个项目投资，可使投资收益最大？ 要求：1. 建立数学模型。

2. 提出一般的求解方法。（穷举法不得分）

6．食 谱 问 题

某公司饲养实验用的动物以供出售。已知这些动物的生长对饲料中三种营养成分：蛋白质、矿物质、维生素特别敏感，每个动物每天至少需要蛋白质70g，矿物质3g，维生素10g，该公司能买到5种不同的饲料，每种饲料1kg所含营养成分如表1所示，每种饲料1kg的成本如表2所示。

求既能满足动物生长需要，又使总成本最低的饲料配方。

表1 五种饲料单位重量（1kg）所含营养成分 饲料 A1 A2 A3 A4 A5

表2 五种饲料单位重量（1kg）成本

饲料 成本（元）

A1 0．2

A2 0．7

A3 0．4

A4 0．3

A5 0．5

蛋白质（g） 0．30 2．00 1．00 0．60 1．80 矿物质（g） 0．10 0．05 0．02 0．20 0．05 维生素（g） 0．05 0．10 0．02 0．20 0．08 7．、规 划 问 题

三个工厂（A1,A2,A3）生产的产品供应四个用户B1、B2、B3、B4的需要，已知各工厂的产量、用户需要量及单位产品从各工厂到各用户的运费如下表所示 工厂产量 300 200 400 B1 5 3 4 200 B2 2 5 5 100 B3 6 4 2 450 B4 7 6 3 250 A1 A2 A3 用户需要量 欲制定一个合理的调运方案，要依次满足如下的目标，试建立数学模型并求解。 目标一：用户B4为重要部门，需要量应尽量满足； 目标二：每个用户的满足率不低于80%；

目标三：因道路限制，从A2到B4的路线应少分配运输任务； 目标四：总运费尽量不超过3000元。

8．抢渡长江

“渡江”是武汉城市的一张名片。1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。有44人参加横渡，40人达到终

点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜”。

2001年，“武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。2002年，正式命名为“武汉国际抢渡长江挑战赛”，于每年的5月1日进行。由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。

2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。据报载，当日的平均水温16.8℃, 江水的平均流速为1.89米/秒。参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。

假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米，见示意图。

请你们通过数学建模来分析上述情况, 并回答以下问题:

1). 假定在竞渡过程中游泳者的速度大

小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5

起点: 武昌汉阳门

长江水流方向

1160m 终点: 汉阳南岸咀 1000m 米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。

2). 在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么 1934年 和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。

9、我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

对于一个饮料量为355毫升的易拉罐，设易拉罐是一个正圆柱体，假设其上下底面的厚度分别是侧面厚度的a倍和b倍。什么是它的最优设计？即在底面半

径和圆柱高度分别是多少时，易拉罐所用的材料最省。对a,b取不同的值进行讨论。

10、某厂利用三种原料（煤）、（电）、（钢）生产两种型号的产品，三种原料每月的可供量分别为100t、2500kw.h、240t，生产所耗的原料数量及销售所得的收益见下表。问工厂如何安排生产计划，可使工厂的总收益最大？ 煤 电 钢 第一种型号 1 500 2 第二种型号 1 200 3 2.4 每月可供量 100 25000 240 每台收益（万） 1.8 11. 拟合问题

在一物理实验中，我们得到下列一些数据， 输入 输出 -3.1416 -34.0000 -2.9845 -33.1121 -2.8274 -31.4089 -2.6704 -28.9323 -2.5133 -25.7432 -2.3562 -21.9203 -2.1991 -17.5576 -2.0420 -12.7627 -1.8850 -7.6534 -1.7279 -2.3557 -1.5708 3.0000 -1.4137 8.2818 -1.2566 13.3597 -1.0996 18.1087 -0.9425 22.4117 -0.7854 26.1630 -0.6283 29.2699 -0.4712 31.6562 -0.3142 33.2630 -0.1571 34.0507 0 34.0000 0.1571 33.1121 0.3142 31.4089 0.4712 28.9323 0.6283 25.7432 0.7854 21.9203 0.9425 17.5576

1.0996 12.7627 1.2566 7.6534 1.4137 2.3557 1.5708 -3.0000 1.7279 -8.2818 1.8850 -13.3597 2.0420 -18.1087 2.1991 -22.4117 2.3562 -26.1630 2.5133 -29.2699 2.6704 -31.6562 2.8274 -33.2630 2.9845 -34.0507 3.1416 -34.0000

已知该系统输入与输出之间存在6阶多项式的关系，用多项式拟合的方法求解出输入输出之间的关系。

如果关系式与x轴（即输入）有两个交点，用工程的方法求出它们与x轴围成的面积，(即用定积分的定义，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积)，并与用Mathematic 中的命令求得结果进行比较。

12. 生日问题

在100个人的团体中，如果不考虑年龄的差异，研究是否有两个以上的人生日相同。假设每人的生日在一年365天中的任意一天式等可能的，那么随机找n个人（不超过365人）。求这n个人生日各不相同的概率是多少？从而求这n个人中至少有两人生日相同这一随机事件发生的概率是多少？

实验目的

用计算机求解概率计算问题。用多项式拟合方法确定求概率的近似计算公式，了解随机现象的计算机模拟技术。 实验内容与要求

（1） 求出n个人中至少有两人生日相同的概率P(n)的计算公式。 （2） 根据P(n)的计算公式，用计算机分别计算出当团体人数取n=1,2,….100

时概率值：P(1),P(2),…P(n)。绘制图形，描述概率值随团体人数变化的规律。

（3） 特殊概率值的计算。在有30个学生的班上，至少有两个同学生日相

同的概率是多少？50个人的团体中，至少有两个同学生日相同的概率又是多少？在70个人的团体中，情况又如何？

（4） 用5次多项式拟合方法寻找一个近似计算概率的公式。

13. 鱼雷击舰问题 一、问题

一敌舰在某海域内沿正北方航行时，我方战舰恰好位于敌舰的正西方1n mile 处。我舰向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度为0.42n mile/min，鱼雷速度为敌舰速度的2倍。试问敌舰航行多远时将被击中？

二、实验目的

学习利用计算机模拟方法解决实际问题。

y 0.60.50.40.3ykQkPk0.20.1P0xkQ0x 类似问题 －追逐问题

假设在正方形ABCD的四个顶点处各站一人。在某一时刻，四人同时以匀速v沿顺时针方向追逐下一个人，并且在任意时刻他们始终保持追逐的方向实对准追逐目标，例如，A追逐B，任意时刻A始终向着B追。可以证明四人的运动轨迹按螺旋曲线状会合与中心O。用计算机模拟每个人的行进轨迹，并图示整个会合过程。

0.20.40.60.8

14. 怎样安全渡河问题

3名商人各带1名随从乘船渡河，一只小船只能容纳2人，由他们自己划行，随从们密约，在河的任一岸，一旦随从人数比商人多，就杀商人，此密约被商人知道，若如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样安排每次乘船方案，才能安全渡河呢？

15、动物繁殖问题

某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0~5岁；第二组，6~10岁；第三组，11~15岁。动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三年龄组在其年龄段平均繁殖3个后代。第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1/2，1/4。假设农场现有三个年龄段的动物各1000头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多头？一般地，5n年后农场三个年龄段的动物各有多头？

要求：1. 建立动物各年龄段数量的预测模型；

2. 利用所建模型，用数学软件计算15年后各年龄段的动物数量。

设xi表示第k个时间周期第i组年龄段动物的数量（k=1，2，3；i=1，2，3）。

16. 传染病模型

问题的提出：医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。

17. 常染体隐性疾病模型

现在世界上已经发现的遗传病有将 近4000种。在一般情况下，遗传疾病和特殊的种族、部落及群体 有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在 地中海沿岸为多，镰状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。 患者经常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则 是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的隐性患 者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐 性病患者结合，他们的后代就可能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但绝不 会出现显性特征，不会受到疾病的折磨。在考虑控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者的概率。

(k)

要求：1. 建立动物各年龄段数量的预测模型；

2. 利用所建模型，用数学软件计算15年后各年龄段的动物数量。

设xi表示第k个时间周期第i组年龄段动物的数量（k=1，2，3；i=1，2，3）。

16. 传染病模型

问题的提出：医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。

17. 常染体隐性疾病模型

现在世界上已经发现的遗传病有将 近4000种。在一般情况下，遗传疾病和特殊的种族、部落及群体 有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在 地中海沿岸为多，镰状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。 患者经常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则 是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的隐性患 者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐 性病患者结合，他们的后代就可能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但绝不 会出现显性特征，不会受到疾病的折磨。在考虑控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者的概率。

(k)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4yag.html