直线与圆的位置关系教学案例设计

直线与圆的位置关系教学案例设计

丰城一中

张国良

问题预设

教学过程设计 设计意图

(一)复习提问 问题 1 通过何种方 法可以确定 点和圆的位 置关系 问题 1:前面我们学习了点和圆的位置关系？请大家回忆一下点和圆有几种位 置关系. 生：点在圆上，点在圆外

,点在圆内. 师：如何判断点与圆的位置关系的？ 生：点到圆心的距离与圆的半径的比较.设点到圆心的距离为 d,圆的半径为 r (1)当 d>r 时，点在圆外. (2)当 d=r 时，点在圆上. (3)当 d<r 时， 点在圆内. 2. 图 示 与 数 值之间有何 种关系 问题 2 动手画出这几种对应的位置关系图

通过问题 引导学生 复习回顾 旧知，以实 现对点与 圆位置关 系的归纳 总结，能及 时反馈旧 知识的掌 握情况，为 直线与圆 的位置关 系的学习 作好铺垫 学生动手 能可以使 知识更加 形象鲜明， 形成知识 能力

师： (1)A 点在

圆内

OA OB OCr; r.

r;

(2)B 点在 圆上 (3)C 点在 圆外 问题 3 3. 三 条 线 段 相比较你有 和发现

如图，O 是直线 l 外一点，A、B、C、D 是直线 l 上的点，且 OD⊥ l , 线段 OD 的长度是点 O 到直线 l 的距离.

生：OD 的长度是 O 到直线 l 的距离. 师：我们分别以 OA、OB、OC、OD 为半径画圆，会到的怎样的图形 小组之间欣赏：看看同学们画的图形

(二)探索新知 4. 看 着 初 升 的太阳我们 不仅看到了 美丽。还能 看到什么？ 1.创设情境： 借助媒体 演示，形象 地得到圆 与直线的 位置关系， 激发学生 学习的兴 趣. 通过 学生观察， “太阳”升 起的过程 中，太阳周 边与地平 线形成三 中明显的 位置关系 画面 用直线与 圆展现 交 点 情 况： ( 1 )没有 交点 ( 2 )只有 一个交点 ( 3 )有两 个交点 体现数形 结合思想 学生由想 象过度到 实物演示， 让学生直O

给出一段太阳东升西落的视频，让学生在美的境界中进入学习状态.观察在太 阳升起的过程中，其周边与地平线有几个交点？

5. 通 过 观 察 就可以解决 的问题，为 何要小组探 究解决

我们对刚才的景象进行数学的抽象不难发现， 直线和圆在相对运动过程中会 有三种不同的位置关系.请大家观察直线与圆处在不同位置关系时有哪些 不同点(引导学生 观察图形，发现问题)

6. 学 生 如 何 把圆心、直 线圆三者相 联系？

直线与圆处在不同位置关系时直线与圆的公共点个数不同. (将公共点个数确 立为直线和圆位置关系分类的原则，对三种分类进行定义) 问题 1 那大家想一想，直线与圆公共点有几种情况呢？ 生：有三种，没有公共点，一个公共点，两个公共点. 师：在黑板上画出这三种情况.

观看到变 化过程，由d

O

O d HH

dH

抽象到具 体，形成知 识

2.揭示课题

——直线与圆的位置关系、 和 三种(学生口述教师板书)

直线与圆的位置关系只有 7. 数 与 形 的 结合在于抽 象与形象的 结合

1.直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交. 2.

直线与圆有惟一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线. 3.直线与圆没有公共点时，叫直线与圆相离. 让学生体 会到数学 知识无处 不在，应用 数学无处 不有.

3.得出新知： 直线与圆的三种位置关系中 r 和 d 满足的关系： 直线与圆相离 <=> d﹥r 直线(切线)与圆相切 <=> d﹦r 直线(割线)与圆相交 <=> d﹤ 练习1.已知圆的半径是 5.5cm,圆心到直线的距离为 d,当 d=7.5 cm 时，直 线与圆有 个公共点，当 d=5 cm 时，直线与圆有 个公 共点，当 d=5.5cm 时直线与圆有 个公共点。 问题 2. 如何结合圆心与直线的距离看待直线与圆的位置关系 师生活动：引导学生回忆义务教育阶段判断直线与圆的位置关系的思想过 程.可以展示下面的表格，使问题直观形象.

这样设计 教学程序， 能使学生 在探究过 程中产生 认知冲突， 激发他们 探究新知 的欲望

直线与圆 的位置关 系 8. 知 识 的 双 向应用对学 生的认知有 一 定 的 影 响，怎样解 决？ 公共点个数 与 的关系 图形

激发他们 学习数学 的兴趣，渗 透数学结 合思想

相交

两个

相切

一个

相离

没有

练习 2 :如果⊙O 的半径为 r ,圆心 O 到直线 l 的距离为 d =5,若⊙O 与直 线 l 至少有一个公共点，则 r 需满足的条件是 。 9. 知 识 学 习 简单，应用 不易，如何 转换学生的 双向思维 问题 3 如何利用圆心到直线的距离 与半径 的大小关系判别直线与圆的位置 关系

巩固已有 知识

比较

与 的大小，确定直线与圆的位置关系. 教师巡视，督促自学和学法指导，引导学生解决自学过程中存在的问题. 形成知识 的双向应 用 直线 l 和⊙O 相交 d <r 直线 l 和⊙O 相切 d = r 直线 l 和⊙O 相离 d > r

10. 知 识 应 用 结 合 前 知，有一定 的困难要小 组先讨论， 解决问题的 突 破 点 在 哪？

4.例题讲解 例 1.已知⊙O 的直径为 10. (1) 如果圆心 O 到直线 l 的距离为 4, 那么直线 l 与⊙O 有怎样的位置关系？ 为什么？ (2) 如果圆心 O 到直线 l 的距离为 5, 那么直线 l 与⊙O 有怎样的位置关系？ 为什么？ (3) 如果圆心 O 到直线 l 的距离为 6, 那么直线 l 与⊙O 有怎样的位置关系？ 为什么？ 解析：判断直线与圆的位置关系要考虑那几个量，已知中有怎样的量?它们与你 需要的量之间又怎样的关系？ 学生小组讨论后，形成解题思路，老师指导，可独立写出过程 解： (1)⊙O 的半径为 5 即 r=5 圆心 O 到直线 l 的距离为 4 可以得出 d=4 4<5 符合 d <r 所以直线 l 和⊙O 相交 学生独立完成(2) (3) 对已有知 识系统理 解应用

详细过程 为了是学 生思维形 成有理有 据，为了阐 明数学逻

辑的严密 性

例 2 在 Rt△ABC 中，∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以 C 为圆心，r 为半径的圆 与 AB 有怎样的位置关系？为什么？ (1)r=2cm; (2)r=2.4cm (3)r=3cm.

分类讨论 思想.锻炼 学生的思 维的严谨 性.

分析：要了解 AB 与⊙C 的位置关系，只要知道圆心 C 到 AB 的距离 d 与 r 的关 系.已知 r,只需 求出 C 到 AB 的距离 d。 先作辅助 线；然后求 出圆心 到直线的 距离；下面 再作出比 较，并下结 论.

即圆心 C 到 AB 的距离 d=2.4cm 所以 (1)当 r=2cm 时, 有 d>r, 因此⊙C 和 AB 相离。

(三)知识应用，解决问题1.下列直线是圆的切线的是( )

A、与圆有公共点的直线.分层设计练 习

B、到圆心的距离等于半径的直线. D、到圆心的距离小于半径的直线.

C、到圆心距离大于半径的直线.

2.⊙O 的半径为 R,直线 l 和⊙O 有公共点，若圆心到直线 l 的距离是 d,则

d 与 R 的大小关系是(A. d>R

) C. d R D. d R

B. d<R

3.Rt△ABC 中，∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,给出下列三个结论： ① 以点 C 为圆心，1.3cm 长为半径的圆与 AB 相离； ② 以点 C 为圆心，2.4cm 长为半径的圆与 AB 相切； ③ 以点 C 为圆心，2.5cm 长为半径的圆与 AB 相交，上述结论中正确的个数是( )

A.0 个

B 1个

C.2 个

D.3 个

4.△ABC 中，∠C=90°,AC=3,CB=6,若以 C 为圆心，以 r 为半径作圆，那么： (1)当直线 AB 与⊙C 相离时，r 的取值范围是_____. (2)当直线 AB 与⊙C 相切时，r 的取值范围是_____ (3)当直线 AB 与⊙C 相交时，r 的取值范围是_____

知识归纳 图形

直线与圆的位置关系

相离

相切

相交

公共点个数

0

1

2

圆心到直线的距离 d 与 半径 r 的关系

d>r

d=r

d<r

公共点的名称

切点

交点

直线名称

切线

割线

教学反思：

在讲解直线与圆的位置关系的判定的过程中，采用小组讨论的方法，培养学生互助、 协作的精神。从现实生活中抽象出数学模型，体现了数学产生于生活的思想，并且将新旧 知识进行了类比、转化，充分发挥了学生的主观能动性，体现了学生是学习的主体，真正 成为学习的主人，转变了角色。 学生小结，让学生自己归纳本节课学习的内容，培养学生用数学语言归纳问题的能力。 然后老师在多媒体打出图表。本节课的设计，力求体现“以学生发展为本”的教学理念。 教学过程中，以问题为载体，学生活动为主线，为学生提供了探究问题、分析问题、解决 问题的活动空间。让学生体验到数学活动充满了探索和创造。在教学过程中，注意到培养 学生合作交流的意识和能力。

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